Relación 6 - Historial de revisiones

Albgonpar en 09:16 4 abr 2015

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Jalonso en 07:07 26 mar 2015

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Jalonso en 07:07 26 mar 2015

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Mjoseh: /* Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden */

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‎Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden

Mjoseh: /* Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden */

2015-03-22T16:30:54Z

‎Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden

Mjoseh: Página creada con '=== Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden === ---- '''Ejercicio 1.''' Sea F la fórmula P(x) → P ( a ) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es...'

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Página creada con '=== Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden === ---- '''Ejercicio 1.''' Sea F la fórmula P(x) → P ( a ) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es...'

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=== Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden ===

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'''Ejercicio 1.'''
Sea F la fórmula P(x) → P ( a ) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es
F satisfacible? ¿Tiene modelos? ¿Es F una fórmula válida?

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de
aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f , de aridad 1. Sea I = ( U, I ) la
estructura dada por:
U = { a, b, c, d } ;
I ( P ) = { a, b } ,
I ( Q ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, b )} ,
I ( f ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, a ) , ( d, c )} .
Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I :
* P ( x ) → ∃ yQ ( y, x ) .
* ∀ xQ ( f ( x ) , x ) .
* Q ( f ( x ) , x ) → Q ( x, x ) .
* Q ( x, y ) → P ( x ) .
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.'''

En el lenguaje con igualdad L = { a, f } , siendo f un símbolo de función
de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
* F_1 : = ∀ x [ f ( x ) = a ] ,
* F_2 : = ∀ x ∀ y [ f ( x ) = f ( y ) → x = y ] ,
* F_3 : = ∀ x [ x = a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .

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'''Solución:'''

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 . No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
 Tomando A(x) = a
 P(a) = 1
 Q(y,a) = 0 para cualquier asignación de y
 Luego la implicación es falsa.
 . No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
 Tomando de nuevo A(x)=a
 Q(f(a),a)=Q(b,a)=0
 Luego hemos encontrado un x que no satisface Q(f(x),x) y
 por tanto la fórmula es falsa.
 . Si es válida pues para toda asignación de x se verifica la fórmula.
 Si A(x)=a entonces Q(f(a),a)=Q(b,a)=0 y Q(a,a)=0 luego la implicación es verdadera.
 Si A(x)=b entonces Q(f(b),b)=Q(b,b)=1 y Q(b,b)=1 luego la implicación es verdadera.
 Si A(x)=c entonces Q(f(c),c)=Q(a,c)=0 y Q(c,c)=0 luego la implicación es verdadera.
 Si A(x)=d entonces Q(f(d),d)=Q(c,d)=0 y Q(d,d)=0 luego la implicación es verdadera.
 . No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
 Tomando A(x)=c y A(y)=b tenemos que Q(c,b)=1 y P(c)=0 luego es falsa la implicación.

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	'''Solución:'''		'''Solución:'''
		+
		+	1. No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
		+	Tomando A(x) = a
		+	P(a) = 1
		+	Q(y,a) = 0 para cualquier asignación de y
		+	Luego la implicación es falsa.
		+
		+	2. No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
		+	Tomando de nuevo A(x)=a
		+	Q(f(a),a)=Q(b,a)=0
		+	Luego hemos encontrado un x que no satisface Q(f(x),x) y
		+	por tanto la fórmula es falsa.
		+
		+	3. Si es válida pues para toda asignación de x se verifica la fórmula.
		+	Si A(x)=a entonces Q(f(a),a)=Q(b,a)=0 y Q(a,a)=0 luego la implicación es verdadera.
		+	Si A(x)=b entonces Q(f(b),b)=Q(b,b)=1 y Q(b,b)=1 luego la implicación es verdadera.
		+	Si A(x)=c entonces Q(f(c),c)=Q(a,c)=0 y Q(c,c)=0 luego la implicación es verdadera.
		+	Si A(x)=d entonces Q(f(d),d)=Q(c,d)=0 y Q(d,d)=0 luego la implicación es verdadera.
		+
		+	4. No es válida pues existe una asignación que hace a la fórmula falsa.
		+	Tomando A(x)=c y A(y)=b tenemos que Q(c,b)=1 y P(c)=0 luego es falsa la implicación.
		+
		+	-- Alba González Parra

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 '''Ejercicio 2.''' Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f, de aridad 1. Sea I = (U, I) la estructura dada por:
-U = {a, b, c, d} ;
+* U = {a, b, c, d} ;
-I (P) = {a, b} ,
+* I(P) = {a, b} ,
-I (Q) = {(a,b), (b,b), (c,b)} ,
+* I(Q) = {(a,b), (b,b), (c,b)} ,
-I (f) = {(a,b), (b,b), (c,a), (d,c)} .
+* I(f) = {(a,b), (b,b), (c,a), (d,c)} .
 Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I:
 * P(x) → ∃yQ(y,x).

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 '''Ejercicio 1.'''
-Sea F la fórmula P(x) → P ( a ) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es
+Sea F la fórmula P(x) → P (a) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es
 F satisfacible? ¿Tiene modelos? ¿Es F una fórmula válida?
@@ Línea 11: / Línea 11: @@
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-'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
+'''Ejercicio 2.''' Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f, de aridad 1. Sea I = (U, I) la estructura dada por:
-Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de
+U = {a, b, c, d} ;
-aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f , de aridad 1. Sea I = ( U, I ) la
+I (P) = {a, b} ,
-estructura dada por:
+I (Q) = {(a,b), (b,b), (c,b)} ,
-U = { a, b, c, d } ;
+I (f) = {(a,b), (b,b), (c,a), (d,c)} .
-I ( P ) = { a, b } ,
+Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I:
-I ( Q ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, b )} ,
+* P(x) → ∃yQ(y,x).
-I ( f ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, a ) , ( d, c )} .
+* ∀xQ(f(x),x).
-Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I :
+* Q(f(x),x) → Q(x,x).
-* P ( x ) → ∃ yQ ( y, x ) .
+* Q(x,y) → P(x).
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-'''Ejercicio 3.'''
+'''Ejercicio 3.''' En el lenguaje con igualdad L = {a,f} , siendo f un símbolo de función de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
+* F₁ : = ∀x[f(x) ≠ a],
-En el lenguaje con igualdad L = { a, f } , siendo f un símbolo de función
+* F₂ : = ∀x∀y[f(x) = f(y) → x = y],
-de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
+* F₃ : = ∀x[x ≠ a → ∃y[f(y) = x]] .
 Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.

@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 En el lenguaje con igualdad L = { a, f } , siendo f un símbolo de función
 de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
-* F_1 : = ∀ x [ f ( x ) = a ] ,
+* F_1 : = ∀ x [ f ( x ) ≠ a ] ,
 * F_2 : = ∀ x ∀ y [ f ( x ) = f ( y ) → x = y ] ,
-* F_3 : = ∀ x [ x = a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .
+* F_3 : = ∀ x [ x ≠ a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .
 Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.

@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 * F_3 : = ∀ x [ x = a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .
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 '''Solución:'''