Lógica matemática y fundamentos (2014-15) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 12

2015-04-30T17:49:03Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- ResolucionProposicional.hs
-- Resolución proposicional.
-- ---------------------------------------------------------------------

module ResolucionProposicional where

import SintaxisSemantica
import FormasNormales
import Clausulas
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Resolventes --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- resolvente :: Cláusula -> Cláusula -> Literal -> Cláusula
-- tal que (resolvente c1 c2 l) es la resolvente de c1 y c2 respecto del
-- literal l. Por ejemplo,
-- resolvente [no p,q] [no q,r] q ==> [no p,r]
-- resolvente [no p,no q] [q,r] (no q) ==> [no p,r]
-- resolvente [no p,q] [no p,no q] q ==> [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

resolvente :: Cláusula -> Cláusula -> Literal -> Cláusula
resolvente c1 c2 l = nub (filter (/= l )(filter
(/= (complementario l)) (c1 ++ c2)))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- resolventes :: Cláusula -> Cláusula -> [Cláusula]
-- tal que (resolventes c1 c2) es el conjunto de las resolventes de c1 y
-- c2. Por ejemplo,
-- resolventes [no p,q] [p,no q] ==> [[q,no q],[no p,p]]
-- resolventes [no p,q] [p,q] ==> [[q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

resolventes :: Cláusula -> Cláusula -> [Cláusula]
resolventes c1 c2 = [resolvente c1 c2 l | l <- c1,
elem (complementario l) c2 ]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- resolventesCláusulaConjunto :: Cláusula -> [Cláusula] -> [Cláusula]
-- tal que (resolventes c s) es el conjunto de las resolventes de c y
-- s. Por ejemplo,
-- resolventesCláusulaConjunto [no p,q] [[p,q],[p,r],[no q,s]]
-- ==> [[q],[q,r],[no p,s]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

resolventesCláusulaConjunto :: Cláusula -> [Cláusula] -> [Cláusula]
resolventesCláusulaConjunto c s = aux c s
where aux x [] = []
aux x (y:ys) = resolventes x y ++
aux x ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Eliminación de tautologías --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- esTautología :: Cláusula -> Bool
-- tal que (esTautología c) se verifica si c es una tautología. Por
-- ejemplo,
-- esTautología [p, q, no p] ==> True
-- esTautología [p, q, no r] ==> False
-- esTautología [] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esTautología :: Cláusula -> Bool
esTautología c = or [elem (complementario x) c | x <- c]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- eliminaTautologías :: [Cláusula] -> [Cláusula]
-- tal que (eliminaTautologías s) es el conjunto obtenido eliminando las
-- tautologías de s. Por ejemplo,
-- eliminaTautologías [[p, q], [p, q, no p]] ==> [[p,q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaTautologías :: [Cláusula] -> [Cláusula]
eliminaTautologías s = [ x | x <- s, not( esTautologia x)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Decisión de inconsistencia por resolución --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- esInconsistentePorResolución :: [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esInconsistentePorResolución s) se verifica si s es
-- inconsistente mediante resolución. Por ejemplo,
-- esInconsistentePorResolución [[p],[no p,q],[no q]]
-- ==> True
-- esInconsistentePorResolución [[p],[no p,q]]
-- ==> False
-- esInconsistentePorResolución [[p,q],[no p,q],[p,no q],[no p,no q]]
-- ==> True
-- esInconsistentePorResolución [[p,q],[p,r],[no q,no r],[no p]]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistentePorResolución :: [Cláusula] -> Bool
esInconsistentePorResolución s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Validez mediante resolución --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- esVálidaPorResolución :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálidaPorResolución f) se verifica si f es válida por
-- resolución. Por ejemplo,
-- esVálidaPorResolución (p --> p) ==> True
-- esVálidaPorResolución ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- esVálidaPorResolución (p --> q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esVálidaPorResolución :: Prop -> Bool
esVálidaPorResolución f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia mediante resolución --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- esConsecuenciaPorResolución :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuenciaPorResolución s f) se verifica si f es
-- consecuencia de s mediante el método de resolución. Por ejemplo,
-- esConsecuenciaPorResolución [p --> q, q --> r] (p --> r)
-- ==> True
-- esConsecuenciaPorResolución [p --> q, q --> r] (p <--> r)
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuenciaPorResolución :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuenciaPorResolución s f = undefined

</source>

Relación 11

2015-04-29T18:39:07Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- Clausulas.hs
-- Cláusulas.
-- ---------------------------------------------------------------------

module Clausulas where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librería suxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import FormasNormales
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir el tipo de datos Cláusula como una lista de
-- literales.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Cláusula = [Literal]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- cláusula :: Prop -> Cláusula
-- tal que (cláusula f) es la cláusula de la fórmula-clausal f. Por
-- ejemplo,
-- cláusula p ==> [p]
-- cláusula (no p) ==> [no p]
-- cláusula (((no p) \/ r) \/ ((no p) \/ q)) ==> [q,r,no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

cláusula :: Prop -> Cláusula
cláusula f = literalesFormulaFNN f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- cláusulasFNC :: Prop -> [Cláusula]
-- tal que (cláusulasFNC f) es el conjunto de cláusulas de la fórmula en
-- forma normal conjuntiva f. Por ejmplo,
-- cláusulasFNC (p /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p],[r, no q]]
-- cláusulasFNC (((no p) \/ q) /\ ((no p) \/ (no r)))
-- ==> [[q, no p],[no p,no r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

cláusulasFNC :: Prop -> [Cláusula]
cláusulasFNC = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- cláusulas :: Prop -> [Cláusula]
-- tal que (cláusulas f) es un conjunto de cláusulas equivalente a
-- f. Por ejemplo,
-- cláusulas (p /\ (q --> r))
-- ==> [[p],[r,no q]]
-- cláusulas (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> [[q,no p],[no p,no r]]
-- cláusulas (no(p <--> r))
-- ==> [[p,r],[p,no p],[r,no r],[no p,no r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

cláusulas :: Prop -> [Cláusula]
cláusulas f = clausulasFNC (formaNormalConjuntiva f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Cláusulas de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- cláusulasConjunto :: [Prop] -> [Cláusula]
-- tal que (cláusulasConjunto s) es un conjunto de cláusulas equivalente
-- a s. Por ejemplo,
-- cláusulasConjunto [p --> q, q --> r] ==> [[q,no p],[r,no q]]
-- cláusulasConjunto [p --> q, q <--> p] ==> [[q,no p],[p,no q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

cláusulasConjunto :: [Prop] -> [Cláusula]
cláusulasConjunto s = nub (aux s)
where aux [] = []
aux (x:xs) = clausulas x ++ aux xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una cláusula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- símbolosProposicionalesCláusula :: Cláusula -> [Prop]
-- tal que (símbolosProposicionalesCláusula c) es el conjunto de los
-- símbolos proposicionales de c. Por ejemplo,
-- símbolosProposicionalesCláusula [p, q, no p] ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

símbolosProposicionalesCláusula :: Cláusula -> [Prop]
símbolosProposicionalesCláusula f = simbolosPropConj f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- símbolosProposicionalesConjuntoCláusula :: [Cláusula] -> [Prop]
-- tal que (símbolosProposicionalesConjuntoCláusula s) es el conjunto de los
-- símbolos proposicionales de s. Por ejemplo,
-- símbolosProposicionalesConjuntoCláusula [[p, q],[no q, r]]
-- ==> [p,q,r]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

símbolosProposicionalesConjuntoCláusula :: [Cláusula] -> [Prop]
símbolosProposicionalesConjuntoCláusula s = nub (aux s)
where aux [] = []
aux (x:xs) = simbolosPropConj x ++ aux x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una cláusula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- interpretacionesCláusula :: Cláusula -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesCláusula c) es el conjunto de
-- interpretaciones de c. Por ejemplo,
-- interpretacionesCláusula [p, q, no p] ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- interpretacionesCláusula [] ==> [[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

interpretacionesCláusula :: Cláusula -> [Interpretación]
interpretacionesCláusula c = subconjuntos
(simbolosProposicionalesClausula c)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesConjuntoCláusula :: [Cláusula] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjuntoCláusula s) es el conjunto de
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjuntoCláusula [[p, no q],[no p, q]]
-- ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- interpretacionesConjuntoCláusula []
-- ==> [[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

interpretacionesConjuntoCláusula :: [Cláusula] -> [Interpretación]
interpretacionesConjuntoCláusula c = nub (aux c)
where aux [] = [[]]
aux (x:xs) =
interpretacionesClausula x ++ aux xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloLiteral :: Interpretación -> Literal -> Bool
-- tal que (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo de l. Por
-- ejemplo,
-- esModeloLiteral [p,r] p ==> True
-- esModeloLiteral [p,r] q ==> False
-- esModeloLiteral [p,r] (no p) ==> False
-- esModeloLiteral [p,r] (no q) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloLiteral :: Interpretación -> Literal -> Bool
esModeloLiteral = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- esModeloCláusula :: Interpretación -> Cláusula -> Bool
-- tal que (esModeloCláusula i c) se verifica si i es modelo de c . Por
-- ejemplo,
-- esModeloCláusula [p,r] [p, q] ==> True
-- esModeloCláusula [r] [p, no q] ==> True
-- esModeloCláusula [q,r] [p, no q] ==> False
-- esModeloCláusula [q,r] [] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloCláusula :: Interpretación -> Cláusula -> Bool
esModeloCláusula i c = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- modelosCláusula :: Cláusula -> [Interpretación]
-- tal que (modelosCláusula c) es la lista de los modelos de c. Por
-- ejemplo,
-- modelosCláusula [no p, q] ==> [[p,q],[q],[]]
-- modelosCláusula [no p, p] ==> [[p],[]]
-- modelosCláusula [] ==> []
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

modelosCláusula :: Cláusula -> [Interpretación]
modelosCláusula c = aux (interpretacionesClausula c)
where aux [] = []
aux (x:xs) | esModeloClausula x c = x : aux xs
| otherwise = aux xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esModeloConjuntoCláusulas :: Interpretación -> [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esModeloConjuntoCláusulas i c) se verifica si i es modelo de
-- c. Por ejemplo,
-- esModeloConjuntoCláusulas [p,r] [[p, no q], [r]] ==> True
-- esModeloConjuntoCláusulas [p] [[p, no q], [r]] ==> False
-- esModeloConjuntoCláusulas [p] [] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esModeloConjuntoCláusulas :: Interpretación -> [Cláusula] -> Bool
esModeloConjuntoCláusulas i s = aux i s
where aux i [] = True
aux i (x:xs) = esModeloClausula i x && aux i xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- modelosConjuntoCláusulas :: [Cláusula] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjuntoCláusulas s) es la lista de los modelos de
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjuntoCláusulas [[no p, q], [no q, p]]
-- ==> [[p,q],[]]
-- modelosConjuntoCláusulas [[no p, q], [p], [no q]]
-- ==> []
-- modelosConjuntoCláusulas [[p, no p, q]]
-- ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

modelosConjuntoCláusulas :: [Cláusula] -> [Interpretación]
modelosConjuntoCláusulas s = aux1 (aux2 s)
where aux1 [] = []
aux1 (x:xs) | not (elem (reverse x) xs) = x : aux1 xs
| otherwise = aux1 xs

aux2 s = aux2 (interpretacionesConjuntoClausula s)
where aux2 [] = []
aux2 (x:xs) | esModeloConjuntoClausulas x s = x : aux2 xs
| otherwise = aux2 xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Cláusulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- esCláusulaVálida :: Cláusula -> Bool
-- tal que (esCláusulaVálida c) se verifica si la cláusula c es
-- válida. Por ejemplo,
-- esCláusulaVálida [p, q, no p] ==> True
-- esCláusulaVálida [p, q, no r] ==> False
-- esCláusulaVálida [] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esCláusulaVálida :: Cláusula -> Bool
esCláusulaVálida c = modelosClausula c == interpretacionesClausula c

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- esCláusulaInsatisfacible :: Cláusula -> Bool
-- tal que (esCláusulaInsatisfacible c) se verifica si la cláusula c es
-- insatisfacible. Por ejemplo,
-- esCláusulaInsatisfacible [p, q, no p] ==> False
-- esCláusulaInsatisfacible [p, q, no r] ==> False
-- esCláusulaInsatisfacible [] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esCláusulaInsatisfacible :: Cláusula -> Bool
esCláusulaInsatisfacible c = modelosClausula c == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- esCláusulaSatisfacible :: Cláusula -> Bool
-- tal que (esCláusulaSatisfacible c) se verifica si la cláusula c es
-- satisfacible. Por ejemplo,
-- esCláusulaSatisfacible [p, q, no p] ==> True
-- esCláusulaSatisfacible [p, q, no r] ==> True
-- esCláusulaSatisfacible [] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esCláusulaSatisfacible :: Cláusula -> Bool
esCláusulaSatisfacible c = modelosClausula c /= []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos válidos, consistentes e inconsistentes de cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esConjuntoVálidoDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esConjuntoVálidoDeCláusulas s) se verifica si el conjunto de
-- cláusulas s es válido. Por ejemplo,
-- esConjuntoVálidoDeCláusulas [[no p, q], [no q, p]] ==> False
-- esConjuntoVálidoDeCláusulas [[no p, p], [no q, q]] ==> True
-- esConjuntoVálidoDeCláusulas [] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esConjuntoVálidoDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
esConjuntoVálidoDeCláusulas s = aux s
where aux [] = True
aux (x:xs) = esClausulaValida x &&
aux xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- esConjuntoConsistenteDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esConjuntoConsistenteDeCláusulas s) se verifica si el
-- conjunto de cláusulas s es consistente. Por ejemplo,
-- esConjuntoConsistenteDeCláusulas [[no p, q], [no q, p]] ==> True
-- esConjuntoConsistenteDeCláusulas [[no p, p], [no q, q]] ==> True
-- esConjuntoConsistenteDeCláusulas [] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esConjuntoConsistenteDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
esConjuntoConsistenteDeCláusulas s = modelosConjuntoClausulas s /= []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConjuntoInconsistenteDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esConjuntoInconsistenteDeCláusulas s) se verifica si el
-- conjunto de cláusulas s es consistente. Por ejemplo,
-- esConjuntoInconsistenteDeCláusulas [[no p,q],[no q,p]] ==> False
-- esConjuntoInconsistenteDeCláusulas [[no p],[p]] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esConjuntoInconsistenteDeCláusulas :: [Cláusula] -> Bool
esConjuntoInconsistenteDeCláusulas s = modelosConjuntoClausulas s == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Validez de fórmulas mediante cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esVálidaPorCláusulas :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálidaPorCláusulas f) se verifica si el conjunto de
-- cláusulas de f es válido. Por ejemplo,
-- esVálidaPorCláusulas (p --> q) ==> False
-- esVálidaPorCláusulas (p --> p) ==> True
-- esVálidaPorCláusulas ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esVálidaPorCláusulas :: Prop -> Bool
esVálidaPorCláusulas f = esConjuntoValidoDeClausulas (clausulas f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia mediante cláusulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuenciaEntreCláusulas :: [Cláusula] -> [Cláusula] -> Bool
-- tal que (esConsecuenciaEntreCláusulas s1 s2) se verifica si todos los
-- modelos de s1 son modelos de s2. Por ejemplo,
-- esConsecuenciaEntreCláusulas [[no p,q],[no q,r]] [[no p,r]]
-- ==> True
-- esConsecuenciaEntreCláusulas [[p]] [[p],[q]]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuenciaEntreCláusulas :: [Cláusula] -> [Cláusula] -> Bool
esConsecuenciaEntreCláusulas s1 s2 = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23: Definir la función
-- esConsecuenciaPorCláusulas1 :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuenciaPorCláusulas s f) se verifica si las cláusulas
-- de f son consecuencias de las de s. Por ejemplo,
-- esConsecuenciaPorCláusulas [(p --> q), (q --> r)] (p --> r)
-- ==> True
-- esConsecuenciaPorCláusulas [p] (p /\ q)
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuenciaPorCláusulas :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuenciaPorCláusulas s f = undefined

</source>

Relación 9

2015-04-25T17:53:00Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- FormasNormales.hs
-- Formas normales.
-- ---------------------------------------------------------------------

module FormasNormales where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librería suxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Equivalencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
-- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son
-- equivalentes. Por ejemplo,
-- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True
-- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True
-- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True
-- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
esEquivalente f g = esValida (Equi f g)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal negativa --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de equivalencia. Por ejemplo,
-- eliminaEquivalencias (p <--> q)
-- ==> ((p --> q) /\ (q --> p))
-- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r))
-- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
eliminaEquivalencias (Equi h g) = Conj (Impl (eliminaEquivalencias h) (eliminaEquivalencias g))
(Impl (eliminaEquivalencias g)
(eliminaEquivalencias h))
eliminaEquivalencias (Impl h g) = Impl (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Conj h g) = Conj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Disj h g) = Disj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Neg h) = Neg (eliminaEquivalencias h)
eliminaEquivalencias (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de implicación. Por ejemplo,
-- eliminaImplicaciones (p --> q)
-- ==> (no p \/ q)
-- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
eliminaImplicaciones (Impl h g) = Disj (Neg (eliminaImplicaciones h)) (eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Conj h g) = Conj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Disj h g) = Disj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Neg h) = Neg (eliminaImplicaciones h)
eliminaImplicaciones (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- interiorizaNegación :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde
-- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,
-- interiorizaNegación (no (no p)) ==> p
-- interiorizaNegación (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q)
-- interiorizaNegación (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q)
-- interiorizaNegación (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q)
-- interiorizaNegación (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q)
-- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaNegación :: Prop -> Prop
interiorizaNegación = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal negativa. Por ejemplo,
-- formaNormalNegativa (p <--> q)
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r)
-- ==> ((no p /\ q) \/ r)
-- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s)
-- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
formaNormalNegativa f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de
-- fórmula.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Literal = Prop

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- complementario :: Literal -> Literal
-- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,
-- complementario p ==> no p
-- complementario (no p) ==> p
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

complementario :: Literal -> Literal
complementario (Atom f ) = Neg (Atom f)
complementario (Neg (Atom f)) = (Atom f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
-- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la
-- fórmula en forma normal negativa f.
-- literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r]
-- literalesFórmulaFNN p ==> [p]
-- literalesFórmulaFNN (no p) ==> [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN (Atom f) = [Atom f]
literalesFormulaFNN (Neg f) | literal (Neg f) = [(Neg f)]
| otherwise = literalesFormulaFNN f
literalesFormulaFNN (Disj f g) = nub (aux f g)
literalesFormulaFNN (Conj f g) = nub (aux f g)

aux f g | literal f = [f] ++ literalesFormulaFNN g
| literal g = [g] ++ literalesFormulaFNN f
| literal f && literal g = [f,g]
| otherwise = literalesFormulaFNN f ++ literalesFormulaFNN g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal conjuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r))
-- interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
interiorizaDisyunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> (p /\ (no q \/ r))
-- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))
-- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r))
-- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (interiorizaNegacion
(eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias f)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.2: Definir la función
-- validaPorFNC:: Prop -> Bool
-- tal que (validaPorFNC f) comprueba si f es válida. Por ejemplo,
-- validaPorFNC ((p --> q) \/ (q --> p)) == True
-- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False
-- validaPorFNC (p --> p) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

validaPorFNC:: Prop -> Bool
validaPorFNC f = valida (formaNormalConjuntiva f) f

valida (Disj f g) y = aux (conjunto y)
where aux [] = True
aux (x:xs) = elem (complementario x) xs
||aux xs
valida (Conj f g) y = (comprobacion y)

conjunto x = literalesFormulaFNN1 (formaNormalConjuntiva x)

ordenaEnPares f = aux (conjunto f)
where aux [] = []
aux xs = [take 2 xs] ++ aux (drop 2 xs)

comprobacion f = or [elem (complementario (head x)) (drop 1 x)
| x <- ordenaEnPares f]

literalesFormulaFNN1 :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN1 (Atom f) = [Atom f]
literalesFormulaFNN1 (Neg f) | literal (Neg f) = [(Neg f)]
| otherwise = literalesFormulaFNN1 f
literalesFormulaFNN1 (Disj f g) = (aux1 f g)
literalesFormulaFNN1 (Conj f g) = (aux1 f g)

aux1 f g | literal f = [f] ++ literalesFormulaFNN1 g
| literal g = [g] ++ literalesFormulaFNN1 f
| literal f && literal g = [f,g]
| otherwise = literalesFormulaFNN1 f ++ literalesFormulaFNN1 g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal disyuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r))
-- interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
interiorizaConjunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r))
-- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> (no p \/ (q /\ no r))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
-- tal que (satisfaciblePorFND f) comprueba si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True
-- satisfaciblePorFND (p /\ (no p)) == False
-- satisfaciblePorFND ((p --> q) \/ (q --> p)) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
satisfaciblePorFND f = undefined

</source>

Relación 9

2015-04-22T12:17:48Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- FormasNormales.hs
-- Formas normales.
-- ---------------------------------------------------------------------

module FormasNormales where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librería suxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Equivalencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
-- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son
-- equivalentes. Por ejemplo,
-- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True
-- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True
-- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True
-- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
esEquivalente f g = modelosFormula f == modelosFormula g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal negativa --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de equivalencia. Por ejemplo,
-- eliminaEquivalencias (p <--> q)
-- ==> ((p --> q) /\ (q --> p))
-- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r))
-- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
eliminaEquivalencias (Equi h g) = Conj (Impl h g) (Impl g h)
eliminaEquivalencias (Impl h g) = Impl (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Conj h g) = Conj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Disj h g) = Disj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Neg h) = Neg (eliminaEquivalencias h)
eliminaEquivalencias (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de implicación. Por ejemplo,
-- eliminaImplicaciones (p --> q)
-- ==> (no p \/ q)
-- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
eliminaImplicaciones (Impl h g) = Disj (Neg h) g
eliminaImplicaciones (Conj h g) = Conj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Disj h g) = Disj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Neg h) = Neg (eliminaImplicaciones h)
eliminaImplicaciones (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- interiorizaNegación :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde
-- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,
-- interiorizaNegación (no (no p)) ==> p
-- interiorizaNegación (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q)
-- interiorizaNegación (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q)
-- interiorizaNegación (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q)
-- interiorizaNegación (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q)
-- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaNegación :: Prop -> Prop
interiorizaNegación = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal negativa. Por ejemplo,
-- formaNormalNegativa (p <--> q)
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r)
-- ==> ((no p /\ q) \/ r)
-- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s)
-- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
formaNormalNegativa f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de
-- fórmula.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Literal = Prop

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- complementario :: Literal -> Literal
-- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,
-- complementario p ==> no p
-- complementario (no p) ==> p
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

complementario :: Literal -> Literal
complementario (Atom f ) = Neg (Atom f)
complementario (Neg (Atom f)) = (Atom f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
-- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la
-- fórmula en forma normal negativa f.
-- literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r]
-- literalesFórmulaFNN p ==> [p]
-- literalesFórmulaFNN (no p) ==> [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN (Atom f) = [Atom f]
literalesFormulaFNN (Neg f) | literal (Neg f) = [(Neg f)]
| otherwise = literalesFormulaFNN f
literalesFormulaFNN (Disj f g) = nub (aux f g)
literalesFormulaFNN (Conj f g) = nub (aux f g)

aux f g | literal f = [f] ++ literalesFormulaFNN g
| literal g = [g] ++ literalesFormulaFNN f
| literal f && literal g = [f,g]
| otherwise = literalesFormulaFNN f ++ literalesFormulaFNN g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal conjuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r))
-- interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
interiorizaDisyunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> (p /\ (no q \/ r))
-- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))
-- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r))
-- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (interiorizaNegacion
(eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias f)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.2: Definir la función
-- validaPorFNC:: Prop -> Bool
-- tal que (validaPorFNC f) comprueba si f es válida. Por ejemplo,
-- validaPorFNC ((p --> q) \/ (q --> p)) == True
-- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False
-- validaPorFNC (p --> p) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

validaPorFNC:: Prop -> Bool
validaPorFNC f = valida (formaNormalConjuntiva f) f

valida (Disj f g) y = aux (conjunto y)
where aux [] = True
aux (x:xs) = elem (complementario x) xs
||aux xs
valida (Conj f g) y = (comprobacion y)

conjunto x = literalesFormulaFNN1 (formaNormalConjuntiva x)

ordenaEnPares f = aux (conjunto f)
where aux [] = []
aux xs = [take 2 xs] ++ aux (drop 2 xs)

comprobacion f = or [elem (complementario (head x)) (drop 1 x)
| x <- ordenaEnPares f]

literalesFormulaFNN1 :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN1 (Atom f) = [Atom f]
literalesFormulaFNN1 (Neg f) | literal (Neg f) = [(Neg f)]
| otherwise = literalesFormulaFNN1 f
literalesFormulaFNN1 (Disj f g) = (aux1 f g)
literalesFormulaFNN1 (Conj f g) = (aux1 f g)

aux1 f g | literal f = [f] ++ literalesFormulaFNN1 g
| literal g = [g] ++ literalesFormulaFNN1 f
| literal f && literal g = [f,g]
| otherwise = literalesFormulaFNN1 f ++ literalesFormulaFNN1 g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal disyuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r))
-- interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
interiorizaConjunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r))
-- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> (no p \/ (q /\ no r))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
-- tal que (satisfaciblePorFND f) comprueba si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True
-- satisfaciblePorFND (p /\ (no p)) == False
-- satisfaciblePorFND ((p --> q) \/ (q --> p)) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
satisfaciblePorFND f = undefined

</source>

Relación 9

2015-04-22T12:08:15Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- FormasNormales.hs
-- Formas normales.
-- ---------------------------------------------------------------------

module FormasNormales where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librería suxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Equivalencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
-- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son
-- equivalentes. Por ejemplo,
-- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True
-- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True
-- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True
-- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
esEquivalente f g = modelosFormula f == modelosFormula g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal negativa --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de equivalencia. Por ejemplo,
-- eliminaEquivalencias (p <--> q)
-- ==> ((p --> q) /\ (q --> p))
-- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r))
-- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
eliminaEquivalencias (Equi h g) = Conj (Impl h g) (Impl g h)
eliminaEquivalencias (Impl h g) = Impl (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Conj h g) = Conj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Disj h g) = Disj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Neg h) = Neg (eliminaEquivalencias h)
eliminaEquivalencias (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de implicación. Por ejemplo,
-- eliminaImplicaciones (p --> q)
-- ==> (no p \/ q)
-- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
eliminaImplicaciones (Impl h g) = Disj (Neg h) g
eliminaImplicaciones (Conj h g) = Conj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Disj h g) = Disj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Neg h) = Neg (eliminaImplicaciones h)
eliminaImplicaciones (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- interiorizaNegación :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde
-- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,
-- interiorizaNegación (no (no p)) ==> p
-- interiorizaNegación (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q)
-- interiorizaNegación (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q)
-- interiorizaNegación (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q)
-- interiorizaNegación (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q)
-- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaNegación :: Prop -> Prop
interiorizaNegación = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal negativa. Por ejemplo,
-- formaNormalNegativa (p <--> q)
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r)
-- ==> ((no p /\ q) \/ r)
-- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s)
-- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
formaNormalNegativa f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de
-- fórmula.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Literal = Prop

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- complementario :: Literal -> Literal
-- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,
-- complementario p ==> no p
-- complementario (no p) ==> p
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

complementario :: Literal -> Literal
complementario (Atom f ) = Neg (Atom f)
complementario (Neg (Atom f)) = (Atom f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
-- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la
-- fórmula en forma normal negativa f.
-- literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r]
-- literalesFórmulaFNN p ==> [p]
-- literalesFórmulaFNN (no p) ==> [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literalesFormulaFNN :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN (Atom f) = [Atom f]
literalesFormulaFNN (Neg f) | literal (Neg f) = [(Neg f)]
| otherwise = literalesFormulaFNN f
literalesFormulaFNN (Disj f g) = nub (aux f g)
literalesFormulaFNN (Conj f g) = nub (aux f g)

aux f g | literal f = [f] ++ literalesFormulaFNN g
| literal g = [g] ++ literalesFormulaFNN f
| literal f && literal g = [f,g]
| otherwise = literalesFormulaFNN f ++ literalesFormulaFNN g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal conjuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r))
-- interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
interiorizaDisyunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> (p /\ (no q \/ r))
-- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))
-- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r))
-- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (interiorizaNegacion
(eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias f)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.2: Definir la función
-- validaPorFNC:: Prop -> Bool
-- tal que (validaPorFNC f) comprueba si f es válida. Por ejemplo,
-- validaPorFNC ((p --> q) \/ (q --> p)) == True
-- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False
-- validaPorFNC (p --> p) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

validaPorFNC:: Prop -> Bool
validaPorFNC f = valida (formaNormalConjuntiva f) f

valida (Disj f g) y = aux (conjunto y)
where aux [] = True
aux (x:xs) = elem (complementario x) xs
||aux xs
valida (Conj f g) y = (comprobacion y)

conjunto x = literalesFormulaFNN1 (formaNormalConjuntiva x)

ordenaEnPares f = aux (conjunto f)
where aux [] = []
aux xs = [take 2 xs] ++ aux (drop 2 xs)

comprobacion f = or [elem (complementario (head x)) (drop 1 x)
| x <- ordenaEnPares f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal disyuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r))
-- interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
interiorizaConjunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r))
-- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> (no p \/ (q /\ no r))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
-- tal que (satisfaciblePorFND f) comprueba si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True
-- satisfaciblePorFND (p /\ (no p)) == False
-- satisfaciblePorFND ((p --> q) \/ (q --> p)) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
satisfaciblePorFND f = undefined

</source>

Relación 9

2015-04-20T17:31:47Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- FormasNormales.hs
-- Formas normales.
-- ---------------------------------------------------------------------

module FormasNormales where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librería suxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Equivalencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
-- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son
-- equivalentes. Por ejemplo,
-- esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p)) ==> True
-- esEquivalente (p --> q) ((no p) \/ q) ==> True
-- esEquivalente (p /\ q) (no ((no p) \/ (no q))) ==> True
-- esEquivalente (p \/ q) (no ((no p) /\ (no q))) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
esEquivalente f g = modelosFormula f == modelosFormula g

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal negativa --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de equivalencia. Por ejemplo,
-- eliminaEquivalencias (p <--> q)
-- ==> ((p --> q) /\ (q --> p))
-- eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r))
-- ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
eliminaEquivalencias (Equi h g) = Conj (Impl h g) (Impl g h)
eliminaEquivalencias (Impl h g) = Impl (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Conj h g) = Conj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Disj h g) = Disj (eliminaEquivalencias h)
(eliminaEquivalencias g)
eliminaEquivalencias (Neg h) = Neg (eliminaEquivalencias h)
eliminaEquivalencias (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de implicación. Por ejemplo,
-- eliminaImplicaciones (p --> q)
-- ==> (no p \/ q)
-- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
eliminaImplicaciones (Impl h g) = Disj (Neg h) g
eliminaImplicaciones (Conj h g) = Conj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Disj h g) = Disj (eliminaImplicaciones h)
(eliminaImplicaciones g)
eliminaImplicaciones (Neg h) = Neg (eliminaImplicaciones h)
eliminaImplicaciones (Atom h) = Atom h

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- interiorizaNegación :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde
-- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,
-- interiorizaNegación (no (no p)) ==> p
-- interiorizaNegación (no (p /\ q)) ==> (no p \/ no q)
-- interiorizaNegación (no (p \/ q)) ==> (no p /\ no q)
-- interiorizaNegación (no (no (p \/ q))) ==> (p \/ q)
-- interiorizaNegación (no ((no p) \/ q)) ==> (p /\ no q)
-- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaNegación :: Prop -> Prop
interiorizaNegación = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal negativa. Por ejemplo,
-- formaNormalNegativa (p <--> q)
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r)
-- ==> ((no p /\ q) \/ r)
-- formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s)
-- ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
formaNormalNegativa f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de
-- fórmula.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Literal = Prop

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- complementario :: Literal -> Literal
-- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,
-- complementario p ==> no p
-- complementario (no p) ==> p
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

complementario :: Literal -> Literal
complementario (Atom f ) = Neg (Atom f)
complementario (Neg (Atom f)) = (Atom f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
-- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la
-- fórmula en forma normal negativa f.
-- literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==> [p,no q,r]
-- literalesFórmulaFNN p ==> [p]
-- literalesFórmulaFNN (no p) ==> [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Francisco Javier Carmona

literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
literalesFormulaFNN (Disj f g) =
(literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g)
literalesFormulaFNN (Conj f g) =
(literalesFormulaFNN f) `union` (literalesFormulaFNN g)
literalesFormulaFNN f = [f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal conjuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r)) ==> ((p \/ q) /\ (p \/ r))
-- interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r) ==> ((p \/ r) /\ (q \/ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
interiorizaDisyunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> (p /\ (no q \/ r))
-- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))
-- formaNormalConjuntiva (no(p <--> r))
-- ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalConjuntiva f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.2: Definir la función
-- validaPorFNC:: Prop -> Bool
-- tal que (validaPorFNC f) comprueba si f es válida. Por ejemplo,
-- validaPorFNC ((p --> q) \/ (q --> p)) == True
-- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False
-- validaPorFNC (p --> p) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

validaPorFNC:: Prop -> Bool
validaPorFNC = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformación a forma normal disyuntiva --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por
-- ejemplo,
-- interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r)) ==> ((p /\ q) \/ (p /\ r))
-- interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r) ==> ((p /\ r) \/ (q /\ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
interiorizaConjunción = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,
-- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r))
-- ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r))
-- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r)))
-- ==> (no p \/ (q /\ no r))
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalDisyuntiva f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
-- tal que (satisfaciblePorFND f) comprueba si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True
-- satisfaciblePorFND (p /\ (no p)) == False
-- satisfaciblePorFND ((p --> q) \/ (q --> p)) == True

-- ---------------------------------------------------------------------

satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
satisfaciblePorFND f = undefined

</source>

Relación 7

2015-04-12T12:18:15Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- TablerosSemánticos.hs
-- Tableros semánticos proposicionales.
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us.es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module TablerosSemanticos where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 0: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Notación uniforme --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- dobleNegación :: Prop -> Bool
-- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por
-- ejemplo,
-- dobleNegación (no (no p)) ==> True
-- dobleNegación (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

dobleNegación :: Prop -> Bool
dobleNegación (Neg (Neg f)) = True
dobleNegación _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- alfa :: Prop -> Bool
-- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.
-- ---------------------------------------------------------------------

alfa :: Prop -> Bool
alfa (Conj f g) = True
alfa (Neg (Disj f g))=True
alfa (Neg(Impl f g))=True
alfa (Equi f g) = True
alfa _ =False
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- beta :: Prop -> Bool
-- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.
-- ---------------------------------------------------------------------

beta :: Prop -> Bool
beta (Disj f g) = True
beta (Neg (Conj f g))=True
beta (Impl f g)=True
beta (Neg (Equi f g)) = True
beta _ =False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- componentes :: Prop -> [Prop]
-- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula
-- f. Por ejemplo,
-- componentes (p /\ q --> r) ==> [no (p /\ q),r]
-- componentes (no (p /\ q --> r)) ==> [(p /\ q),no r]
-- ---------------------------------------------------------------------

componentes :: Prop -> [Prop]
componentes (Conj f g) = [f,g]
componentes (Neg (Impl f g)) = [f, no g]
componentes (Neg (Disj f g)) = [no f, no g]
componentes (Equi f g) = [no (f-->g), no (g-->f)]

componentes g = [quitanegacion (no x)|x<-componentes (quitanegacion (no g))]
where quitanegacion (Neg (Neg f)) =f
quitanegacion f = f

-- Francisco Javier Carmona

componentes1 :: Prop -> [Prop]
componentes1 (Neg (Neg f)) = [f]
componentes1 (Conj f g) = [f,g]
componentes1 (Neg (Impl f g)) = [f, Neg g]
componentes1 (Neg (Disj f g)) = [Neg f, Neg g]
componentes1 (Equi f g) = [Impl f g, Impl g f]
componentes1 (Disj f g) = [f,g]
componentes1 (Impl f g) = [Neg f, g]
componentes1 (Neg (Conj f g)) = [Neg f, Neg g]
componentes1 (Neg (Equi f g)) = [Neg (Impl f g), Neg (Impl g f)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos mediante tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool
-- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de
-- literales. Por ejemplo,
-- conjuntoDeLiterales [p --> q, no r, r /\ s, p] ==> False
-- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool
conjuntoDeLiterales = all (literal)

-- Francisco Javier Carmona

conjuntoDeLiterales1 :: [Prop] -> Bool
conjuntoDeLiterales1 fs = aux fs
where aux [] = True
aux (x:xs) = literal x && aux xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- tieneContradicción :: [Prop] -> Bool
-- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una
-- fórmula y su negación. Por ejemplo,
-- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

tieneContradicción :: [Prop] -> Bool
tieneContradicción fs = or [elem (no p) fs| p<-fs]
tieneContradicción' fs = or (map (\x-> elem (no x) fs) fs)

tieneContradiccion1 :: [Prop]->Bool
tieneContradiccion1 [] = False
tieneContradiccion1 ((Neg x):xs) = elem x xs || elem (Neg (Neg x)) xs || tieneContradiccion xs
tieneContradiccion1 (x:xs) = elem (Neg x) xs || tieneContradiccion xs

-- Aunque en general tieneContradiccion1 no es más eficiente, sí lo puede ser para
-- casos puntuales, p.e. ys = [Neg (Atom "q")] ++ [Atom "s" | x <- [1..100000]]++[Atom "q"]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- expansiónDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble
-- negación f. Por ejemplo,
-- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==> [[q,p,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónDN fs (Neg (Neg f)) = [f:(filter (/=Neg(Neg f)) fs)]

-- Francisco Javier Carmona

expansionDN1 :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansionDN1 fs f = [(componentes f) ++ [ x | x <- fs, x /= f]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- expansiónAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la
-- fórmula alfa f. Por ejemplo,
-- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==> [[p1,p2,q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónAlfa fs f = [componentes f++(filter (/=f) fs)]

-- Francisco Javier Carmona

expansionAlfa1 :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansionAlfa1 fs f = [(componentes f) ++ [x | x <- fs, x /= f]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- expansiónBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la
-- fórmula beta f. Por ejemplo,
-- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==> [[p1,q,r],[p2,q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónBeta fs f = [x:(filter(/=f) fs), y:(filter (/=f) fs)]
where x = head (componentes f)
y = last (componentes f)

-- Francisco Javier Carmona

expansionBeta1 :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansionBeta1 fs f = [[head(componentes f)] ++ [x | x <- fs, x /= f],
[head( reverse(componentes f))] ++ [x | x <- fs, x /= f]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,
-- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] => [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]
-- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] => [[p1,p2,r,(q \/ s)]]
-- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] => [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucesores :: [Prop] -> [[Prop]]
sucesores xs |existeDN xs = expansiónDN xs x
|existeAlfa xs = expansiónAlfa xs y
| otherwise = expansiónBeta xs z
where existeDN xs = or (map
(dobleNegación) xs)
existeAlfa xs= or (map (alfa) xs)
x= head (filter (dobleNegación) xs)
y= head (filter (alfa) xs)
z= head (filter (beta) xs)

-- Francisco Javier Carmona

sucesores1 :: [Prop] -> [[Prop]]
sucesores1 fs | [] /= haydoble fs = expansionDN fs (head (haydoble fs))
| [] /= hayalfa fs = expansionAlfa fs (head (hayalfa fs))
| [] /= haybeta fs = expansionBeta fs (head (haybeta fs))
| otherwise = [[]]

haydoble xs = [ x | x <- xs, dobleNegacion x]

hayalfa ys = [y | y <- ys, alfa y]

haybeta zs = [z | z <- zs, beta z]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs
-- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,
-- modelosTab [p --> q, no(q --> p)]
-- ==> [[no p,q],[q,no p]]
-- modelosTab [p --> q, no q --> no p]
-- ==> [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]]
modelosTab fs = [x |x<-aux xs, (not.tieneContradicción) x]

where aux xs |conjuntoDeLiterales xs = [xs]
| otherwise =map (nub) (concat[(modelosTab x)|x<-sucesores xs])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por
-- ejemplo,
-- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==> True
-- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto [] _ = True
subconjunto [x] [y] =False
subconjunto (x:xs) ys |elem x ys = subconjunto xs ys
| otherwise=False

-- Francisco Javier Carmona

subconjunto1 :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto1 xs ys = length xs == length [x | x <- xs, elem x ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales
-- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por
-- ejemplo,
-- modelosGenerales [p --> q, no q --> no p] ==> [[no p],[q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]]
modelosGenerales fs = aux ps (modelosTab fs)
where aux [] ys = ys
aux (x:xs) ys = aux xs (delete x ys)
ps = [x |x<-modelosTab fs, f x (modelosTab fs)]
f x xs = or [ subconjunto y x|y<-xs,x/=y]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Teoremas por tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool
-- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es
-- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo,
-- esTeoremaPorTableros (p --> p) ==> True
-- esTeoremaPorTableros (p --> q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool
esTeoremaPorTableros f = null (modelosTab [no f])

-- Francisco Javier Carmona

esTeoremaPorTableros1 :: Prop -> Bool
esTeoremaPorTableros1 f = modelosTab [Neg f] == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia por tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es
-- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por
-- ejemplo,
-- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p <--> r) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool
esDeduciblePorTableros fs f = null (modelosGenerales (no f:fs))

-- Francisco Javier Carmona

esDeduciblePorTableros1 :: [Prop] -> Prop -> Bool
esDeduciblePorTableros1 fs f = modelosTab ((Neg f):fs) == []

</source>

Relación 5

2015-04-01T17:07:25Z

Fracarmol1:

<source lang="isar">
header {* R5: Argumentación en lógica de primer orden *}

theory R5_sol
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio1
assumes "H(s)"
"H(x) ⟶ M(x)"
shows "M(s)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio2
assumes "(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. I(x) ∧ T(x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio5
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃x. T(x,m) ∧ T(x,p)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio6
assumes "∀x y z. H(x,y) ⟶ P(z,x) ∧ P(z,y)"
"H(x,y) → H(y,x)"
"H(j,l)"
"P(c,l)"
shows "P(c,j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio8
assumes "∀x. E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ ∃z. A(z) ∧ I(z,x)"
"∃x. M(x) ⟶ ∃z. M(z) ∧ I(z,x)"
"M(x) ⟶ ¬P(x)"
shows "∃x. A(x) ∧ M(x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio9
assumes "∀x. Af(x) ⟶ (∀y. E(y) ⟶ Ap(x,y))"
"∀x. E(x) ⟶ ¬Ap(j,x)"
shows "(∃x. E(x) ∧ N(x)) ⟶ ¬Af(j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 5

2015-03-31T12:17:39Z

Fracarmol1:

<source lang="isar">
header {* R5: Argumentación en lógica de primer orden *}

theory R5_sol
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio1
assumes "H(s)"
"H(x) ⟶ M(x)"
shows "M(s)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio2
assumes "I(x)"
"T(x)"
shows "I(x) ∧ T(x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio5
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃x. T(x,m) ∧ T(x,p)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio6
assumes "∀x y z. H(x,y) ⟶ P(z,x) ∧ P(z,y)"
"H(j,l)"
"P(c,l)"
shows "P(c,j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio8
assumes "∀x. E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ ∃z. A(z) ∧ I(z,x)"
"∃x. M(x) ⟶ ∃z. M(z) ∧ I(z,x)"
"M(x) ⟶ ¬P(x)"
shows "∃x. A(x) ∧ M(x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio9
assumes "∀x y. Af(x) ∧ E(y) ⟶ Ap(x,y)"
"∀y. E(y) ⟶ ¬Ap(j,y)"
shows "∃y. N(y) ⟶ ¬Af(j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 5

2015-03-31T12:16:47Z

Fracarmol1:

<source lang="isar">
header {* R5: Argumentación en lógica de primer orden *}

theory R5_sol
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio1
assumes "H(s)"
"H(x) ⟶ M(x)"
shows "M(s)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio2
assumes "I(x)"
"T(x)"
shows "I(x) ∧ T(x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio5
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃x. T(x,m) ∧ T(x,p)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio6
assumes "∀x y z. H(x,y) ⟶ P(z,x) ∧ P(z,y)"
"H(j,l)"
"P(c,l)"
shows "P(c,j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio8
assumes "∀x. E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ ∃z. A(z) ∧ I(z,x)"
"∃x. M(x) ⟶ ∃z. M(z) ∧ I(z,x)"
"M(x) ⟶ ¬P(x)"
shows "∃x. A(x) ∧ M(x)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio9
assumes "∀x y. Af(x) ∧ E(y) ⟶ Ap(x,y)"
"∀y. E(y) ⟶ ¬Ap(j,y)"
shows "∃y. N(y) ⟶ ¬Af(j)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 4

2015-03-31T11:10:20Z

Fracarmol1:

<source lang ="isar">
header {* R4: Deducción natural de primer orden *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
cuantificadores y de la igualdad:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
· excluded_middel:(¬P ∨ P)

· allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
· allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
· exI: P x ⟹ ∃x. P x
· exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

· refl: t = t
· subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
· trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
· sym: s = t ⟹ t = s
· not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t
· ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
· box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
· arg_cong: x = y ⟹ f x = f y
· fun_cong: f = g ⟹ f x = g x
· cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)"
proof (rule impI)
assume "∀x. P x"
{ fix a
have "P a ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
have "Q a" using `P a ⟶ Q a` `P a` by (rule mp)}
thus "∀x. Q x" by (rule allI)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2a:
assumes "∃x. ¬(P x)"
shows "¬(∀x. P x)"
proof
assume "∀x. P x"
obtain a where "¬ (P a)" using assms by (rule exE)
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
show "False" using `¬ (P a)` `P a` by (rule notE)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
∀x. P x ⊢ ∀y. P y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3a:
assumes "∀x. P x"
shows "∀y. P y"
proof
{ fix a
show "P a" using assms by (rule allE)}
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))"
proof
assume "∀x. ¬(Q x)"
{ fix a
have "P a ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
have "¬ (Q a)" using `∀x. ¬(Q x)` by (rule allE)
have "¬(P a)" using `P a ⟶ Q a` `¬ (Q a)` by (rule mt)}
thus "∀x. ¬ (P x)" by (rule allI)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "∀x. P x ⟶ ¬(Q x)"
shows "¬(∃x. P x ∧ Q x)"
proof
assume "∃x. P x ∧ Q x"
obtain a where "P a ∧ Q a" using `∃x. P x ∧ Q x` by (rule exE)
have "P a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjE)
have "Q a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjE)
have "P a ⟶ ¬(Q a)" using assms by (rule allE)
have "¬(Q a)" using `P a ⟶ ¬(Q a)` `P a` by (rule mp)
show "False" using `¬(Q a)` `Q a` by (rule notE)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "∀x y. P x y"
shows "∀u v. P u v"

proof (rule allI)+
fix a b
have "∀y. P a y" using assms by (rule allE)
thus " P a b" by (rule allE)
qed

--Jaime Alberto

lemma ejercicio_6b:
assumes 1: "∀x y. P x y"
shows "∀u v. P u v"
proof -
{fix u0
{fix v0
have 2: "∀y. P u0 y" using 1 by (rule allE)
have 3: "P u0 v0" using 2 by (rule allE)}
then have 4: "∀v. P u0 v" by (rule allI)}
then show "∀u v. P u v" by (rule allI)
qed

-- Rocio Rodriguez

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "∃x y. P x y"
shows "∃u v. P u v"

proof -
obtain a where "∃y. P a y" using assms by (rule exE)
then obtain b where "P a b" by (rule exE)
hence "∃v. P a v" by (rule exI)
thus "∃u v. P u v" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
assumes "∃x. ∀y. P x y"
shows "∀y. ∃x. P x y"

proof
obtain a where "∀y. P a y" using assms by (rule exE)
fix b
have "P a b" using `∀y. P a y` by (rule allE)
thus "∃x. P x b" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "∃x. P a ⟶ Q x"
shows "P a ⟶ (∃x. Q x)"

proof
assume "P a"
obtain b where "P a ⟶ Q b" using assms by (rule exE)
have "Q b" using `P a ⟶ Q b` `P a` by (rule mp)
thus "∃x. Q x" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10a:
fixes P Q :: "'b ⇒ bool"
assumes "P a ⟶ (∃x. Q x)"
shows "∃x. P a ⟶ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
(∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11a:
assumes "(∃x. P x) ⟶ Q a"
shows "∀x. P x ⟶ Q a"

proof
fix b
show "P b ⟶ Q a"
proof
assume "P b"
hence "∃x. P x" by (rule exI)
show "Q a" using assms `∃x. P x` by (rule mp)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q a"
shows "∃x. P x ⟶ Q a"

proof -
fix b
have "P b ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
thus "∃x. P x ⟶ Q a" by (rule exI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13a:
assumes "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P x ∨ Q x"

proof
fix a
show "P a ∨ Q a" using assms
proof
assume "∀x. P x"
hence "P a" by (rule allE)
thus "P a ∨ Q a" by (rule disjI1)
next
assume "∀x. Q x"
hence "Q a" by (rule allE)
thus "P a ∨ Q a" by (rule disjI2)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14a:
assumes "∃x. P x ∧ Q x"
shows "(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)"

proof
obtain a where "P a ∧ Q a" using assms by (rule exE)
hence "P a" by (rule conjunct1)
thus "∃x. P x" by (rule exI)
have "Q a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjunct2)
thus "∃x. Q x" by (rule exI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15a:
assumes "∀x y. P y ⟶ Q x"
shows "(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)"

proof
assume "∃y. P y"
then obtain b where "P b" by (rule exE)
{fix a
have "∀y. P y ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
hence "P b ⟶ Q a" by (rule allE)
have "Q a" using `P b ⟶ Q a` `P b` by (rule mp)}
thus "∀x. Q x" by (rule allI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16a:
assumes 1:"¬(∀x. ¬(P x))"
shows "∃x. P x"

proof-
fix x0
{assume 2: "¬(∃x. P x)"
{fix x1
{assume 3: "P x1"
have 4: "∃x. P x" using 3 by (rule exI)
have 5: "False" using 2 4 by (rule notE)}
then have 6: "¬ P x1" by (rule notI)}
then have 7: "∀x. ¬ P x" by (rule allI)
have 8: "False" using 1 7 by (rule notE)}
then show "∃x. P x" by (rule ccontr)
qed

-- Rocio Rodriguez

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x. ¬(P x)"
shows "¬(∃x. P x)"

proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where "P a" by (rule exE)
have " ¬ (P a)" using assms by (rule allE)
show False using `¬(P a)` `P a` by (rule notE)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18a:
assumes "∃x. P x"
shows "¬(∀x. ¬(P x))"

proof
assume "∀x. ¬(P x)"
obtain a where "P a" using assms by (rule exE)
have "¬(P a)" using `∀x. ¬(P x)` by (rule allE)
show False using `¬(P a)` `P a`by (rule notE)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19a:
assumes "P a ⟶ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P a ⟶ Q x"

proof
fix b
show "P a ⟶ Q b"
proof
assume "P a"
have "∀x. Q x" using assms `P a` by (rule mp)
thus "Q b" by (rule allE)
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
{∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z,
∀x. ¬(R x x)}
⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z"
"∀x. ¬(R x x)"
shows "∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)"

proof (rule allI)+
fix a b
show "R a b ⟶ ¬(R b a )"
proof
assume 1:"R a b"
show"¬(R b a)"
proof
assume 2:"R b a"
have 3:"R a b ∧ R b a" using 1 2..
have "∀y z. R a y ∧ R y z ⟶ R a z" using assms(1)..
hence "∀z. R a b ∧ R b z ⟶ R a z"..
hence 4:"R a b ∧ R b a ⟶ R a a"..
have 5:"R a a" using 4 3..
have 6:" ¬(R a a)" using assms(2)..
show False using 6 5..
qed
qed
qed
--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
{∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_21a:
assumes "∀x. P x ∨ Q x"
"∃x. ¬(Q x)"
"∀x. R x ⟶ ¬(P x)"
shows "∃x. ¬(R x)"

proof-
obtain a where "¬(Q a)" using assms(2) by (rule exE)
have "P a ∨ Q a" using assms(1) by (rule allE)
show "∃x. ¬(R x)" using `P a ∨ Q a`
proof
assume "P a"
hence 1:"¬¬(P a)" by (rule notnotI)
have 2:"R a ⟶ ¬(P a)" using assms(3) by (rule allE)
have "¬(R a)" using 2 1 by (rule mt)
thus "∃x. ¬(R x)" by (rule exI)
next
assume "Q a"
have False using `¬(Q a)` `Q a` by (rule notE)
thus "∃x. ¬(R x)" by (rule ccontr)
qed
qed

-Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
{∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_22a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x"
"¬(∃x. P x ∧ R x)"
shows "∀x. P x ⟶ Q x"

proof
fix a
show "P a ⟶ Q a"
proof
assume 1:"P a"
have 2:"P a ⟶ Q a ∨ R a" using assms(1) by (rule allE)
have 3:"Q a ∨ R a" using 2 1 by (rule mp)
show "Q a" using 3
proof
assume "Q a"
next
assume 4:"R a"
have "P a ∧ R a" using 1 4 by (rule conjI)
hence 5:"∃x. P x ∧ R x" by (rule exI)
have False using assms(2) 5 by (rule notE)
thus "Q a" by (rule ccontr)
qed
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_23a:
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
shows "∃x y. R x y"

proof -
obtain a where "∃y. R a y ∨ R y a " using assms by (rule exE)
then obtain b where 1:"R a b ∨ R b a" by (rule exE)
show "∃x y. R x y" using 1
proof
assume "R a b"
hence "∃y. R a y" by (rule exI)
thus "∃x y. R x y" by (rule exI)
next
assume "R b a"
hence "∃y. R b y" by (rule exI)
thus "∃x y. R x y" by (rule exI)
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_24a:
"(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)"

proof
assume "∃x. ∀y. P x y"
then obtain a where 1:"∀y. P a y" by (rule exE)
{fix b
have "P a b" using 1 by (rule allE)
hence "∃x. P x b" by (rule exI)}
thus "∀y. ∃x. P x y" by (rule allI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_25a:
"(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)"

proof
assume 1:"∀x. P x ⟶ Q"
show "(∃x. P x) ⟶ Q"
proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where 3:"P a" by (rule exE)
have 4:"P a ⟶ Q"using 1 by (rule allE)
show "Q" using 4 3 by (rule mp)
qed
next
assume 5:"(∃x. P x) ⟶ Q"
show "∀x. P x ⟶ Q"
proof
fix a
show "P a⟶Q"
proof
assume "P a"
hence 6:"∃x. P x" by (rule exI)
show "Q" using 5 6 by (rule mp)
qed
qed
qed

--Jaime Alberto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_26a:
"((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
"((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
proof
assume 0: "(∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)"
have 1: "∀x. P x" using 0 by (rule conjunct1)
have 2: "∀x. Q x" using 0 by (rule conjunct2)
{fix a
have 3: "P a" using 1 by (rule allE)
have 4: "Q a" using 2 by (rule allE)
have 5: "P a ∧ Q a" using 3 4 by (rule conjI)}
thus "∀x. P x ∧ Q x" by (rule allI)
next
assume 0: "∀x. P x ∧ Q x"
{fix a
have 1: "P a ∧ Q a" using 0 by (rule allE)
have 2: "P a" using 1 by (rule conjunct1)}
hence 3: "∀x. P x" by (rule allI)
{fix a
have 4: "P a ∧ Q a" using 0 by (rule allE)
have 5: "Q a" using 4 by (rule conjunct2)}
hence 6: "∀x. Q x" by (rule allI)
show "(∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)" using 3 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar o refutar
((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_27a:
"((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)"
proof
assume "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
moreover
{assume "∀x. P x"
{fix a
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
have "P a ∨ Q a" using `P a` by (rule disjI1)}
hence "∀x. P x ∨ Q x" by (rule allI)}
moreover
{assume "∀x. Q x"
{fix a
have "Q a" using `∀x. Q x` by (rule allE)
have "P a ∨ Q a" using `Q a` by (rule disjI2)}
hence "∀x. P x ∨ Q x" by (rule allI)}
ultimately show "∀x. P x ∨ Q x" by (rule disjE)
next
assume "∀x. P x ∨ Q x"
oops

text{*
Consideremos los números naturales, ℕ. Sea P = "Ser par" y Q = "Ser impar". Claramente
∀x, P x ∨ Q x, pero es falso (∀x P x)∨(∀x Q x), pues no todo número es par
y no todo número es impar. Por tanto la propiedad, en general, es falsa. Es decir,
((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟶ (∀x. P x ∨ Q x) pero en general
(∀x. P x ∨ Q x) no implica ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x))
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar o refutar
((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_28a:
"((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)"

proof
assume 1:"(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)"
show "∃x. P x ∨ Q x" using 1
proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where "P a" by (rule exE)
hence "P a ∨ Q a" by (rule disjI1)
thus "∃x. P x ∨ Q x" by (rule exI)
next
assume "∃x. Q x"
then obtain a where "Q a" by (rule exE)
hence "P a ∨ Q a" by (rule disjI2)
thus "∃x. P x ∨ Q x" by (rule exI)
qed
next
assume "∃x. P x ∨ Q x"
then obtain a where 2:"P a ∨ Q a" by (rule exE)
show "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" using 2
proof
assume "P a"
hence "∃x. P x" by (rule exI)
thus "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" by (rule disjI1)
next
assume "Q a"
hence "∃x. Q x" by (rule exI)
thus "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" by (rule disjI2)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar o refutar
(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_29:

"(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)"
oops
text{*
Propiedad en general falsa. Sean los números naturales, y la propiedad P x y = "x + y es par". Claramente, para todo x, existe un y tal que P x y se verifica (baste tomar y = x). Pero, sea cual sea el y natural que tomemos, da igual el y que tomemos: no para todo elemento que le sumemos la suma será par.
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar o refutar
(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_30a:
"(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)"
proof (rule iffI)
assume 1: "¬(∀x. P x)"
show "∃x. ¬P x"
proof (rule ccontr)
assume 2: "¬(∃x. ¬P x)"
show "False"
proof -
{ fix a
{ assume 3: "¬P a"
have 4: "∃x.¬ P x" using 3 by (rule exI)
have 5: "False" using 2 4 by (rule notE)}
hence 6: "P a" by (rule ccontr)}
hence 7: "∀x. P x" by (rule allI)
show 8: "False" using 1 7 by (rule notE)
qed
qed
next
assume 9: "∃x. ¬P x"
show "¬(∀x. P x)"
proof -
{assume 10: "¬¬(∀x. P x)"
have 11: "∀x. P x" using 10 by (rule notnotD)
obtain a where 12: "¬P a" using 9 by (rule exE)
have 13: "P a" using 11 by (rule allE)
have 14: "False" using 12 13 by (rule notE)}
thus 15: "¬(∀x. P x)" by (rule ccontr)
qed
qed

section {* Ejercicios sobre igualdad *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar o refutar
P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31a:
assumes "P a"
shows "∀x. x = a ⟶ P x"
proof (rule allI)
fix b
show "b = a ⟶ P b"
proof (rule impI)
assume 1: "b = a"
show "P b"
proof -
have 2: "a = b" using 1 by (rule sym)
show 3: "P b" using 2 assms(1) by (rule subst)
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar o refutar
∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_32a:
fixes R :: "'c ⇒ 'c ⇒ bool"
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
"¬(∃x. R x x)"
shows "∃(x::'c) y. x ≠ y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)}
⊢ P (f a) a (f a)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33a:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "P (f a) a (f a)"
proof -
have 1: "P a a a" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y z. P a y z ⟶ P (f a) y (f z)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "∀z. P a a z ⟶ P (f a) a (f z)" using 2 by (rule allE)
have 4: "P a a a ⟶ P (f a) a (f a)" using 3 by (rule allE)
show 5: "P (f a) a (f a)" using 4 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34a:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "∃z. P (f a) z (f (f a))"
proof -
have 1: "P a (f a) (f a)" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y z. P a y z ⟶ P (f a) y (f z)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "∀z. P a (f a) z ⟶ P (f a) (f a) (f z)" using 2 by (rule allE)
have 4: "P a (f a) (f a) ⟶ P (f a) (f a) (f (f a))" using 3 by (rule allE)
have 5: "P (f a) (f a) (f (f a))" using 4 1 by (rule mp)
show 6: "∃z. P (f a) z (f (f a))" using 5 by (rule exI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar o refutar
{∀y. Q a y,
∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)}
⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35a:
assumes "∀y. Q a y"
"∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)"
shows "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))"
proof -
have 1: "Q a (s a)" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y. Q a y ⟶ Q (s a) (s y)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "Q a (s a) ⟶ Q (s a) (s (s a))" using 2 by (rule allE)
have 4: "Q (s a) (s (s a))" using 3 1 by (rule mp)
have 5: "Q a (s a) ∧ Q (s a) (s (s a))" using 1 4 by (rule conjI)
show 6: "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))" using 5 by (rule exI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar o refutar
{x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36a:
assumes "x = f x" and
"odd (f x)"
shows "odd x"
proof -
show "odd x" using assms(1) assms(2) by (rule ssubst)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar o refutar
{x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37a:
assumes "x = f x" and
"triple (f x) (f x) x"
shows "triple x x x"
proof -
show "triple x x x" using assms(1) assms(2) by (rule ssubst)
qed

end

</source>

Relación 4

2015-03-30T08:43:16Z

Fracarmol1:

<source lang ="isar">
header {* R4: Deducción natural de primer orden *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
cuantificadores y de la igualdad:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
· excluded_middel:(¬P ∨ P)

· allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
· allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
· exI: P x ⟹ ∃x. P x
· exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

· refl: t = t
· subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
· trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
· sym: s = t ⟹ t = s
· not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t
· ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
· box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
· arg_cong: x = y ⟹ f x = f y
· fun_cong: f = g ⟹ f x = g x
· cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)"
proof (rule impI)
assume "∀x. P x"
{ fix a
have "P a ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
have "Q a" using `P a ⟶ Q a` `P a` by (rule mp)}
thus "∀x. Q x" by (rule allI)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2a:
assumes "∃x. ¬(P x)"
shows "¬(∀x. P x)"
proof
assume "∀x. P x"
obtain a where "¬ (P a)" using assms by (rule exE)
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
show "False" using `¬ (P a)` `P a` by (rule notE)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
∀x. P x ⊢ ∀y. P y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3a:
assumes "∀x. P x"
shows "∀y. P y"
proof
{ fix a
show "P a" using assms by (rule allE)}
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))"
proof
assume "∀x. ¬(Q x)"
{ fix a
have "P a ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
have "¬ (Q a)" using `∀x. ¬(Q x)` by (rule allE)
have "¬(P a)" using `P a ⟶ Q a` `¬ (Q a)` by (rule mt)}
thus "∀x. ¬ (P x)" by (rule allI)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "∀x. P x ⟶ ¬(Q x)"
shows "¬(∃x. P x ∧ Q x)"
proof
assume "∃x. P x ∧ Q x"
obtain a where "P a ∧ Q a" using `∃x. P x ∧ Q x` by (rule exE)
have "P a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjE)
have "Q a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjE)
have "P a ⟶ ¬(Q a)" using assms by (rule allE)
have "¬(Q a)" using `P a ⟶ ¬(Q a)` `P a` by (rule mp)
show "False" using `¬(Q a)` `Q a` by (rule notE)
qed

-María Dolores Mateo

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "∀x y. P x y"
shows "∀u v. P u v"

proof (rule allI)+
fix a b
have "∀y. P a y" using assms by (rule allE)
thus " P a b" by (rule allE)
qed

--Jaime Alberto

lemma ejercicio_6b:
assumes 1: "∀x y. P x y"
shows "∀u v. P u v"
proof -
{fix u0
{fix v0
have 2: "∀y. P u0 y" using 1 by (rule allE)
have 3: "P u0 v0" using 2 by (rule allE)}
then have 4: "∀v. P u0 v" by (rule allI)}
then show "∀u v. P u v" by (rule allI)
qed

-- Rocio Rodriguez

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "∃x y. P x y"
shows "∃u v. P u v"

proof -
obtain a where "∃y. P a y" using assms by (rule exE)
then obtain b where "P a b" by (rule exE)
hence "∃v. P a v" by (rule exI)
thus "∃u v. P u v" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
assumes "∃x. ∀y. P x y"
shows "∀y. ∃x. P x y"

proof
obtain a where "∀y. P a y" using assms by (rule exE)
fix b
have "P a b" using `∀y. P a y` by (rule allE)
thus "∃x. P x b" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "∃x. P a ⟶ Q x"
shows "P a ⟶ (∃x. Q x)"

proof
assume "P a"
obtain b where "P a ⟶ Q b" using assms by (rule exE)
have "Q b" using `P a ⟶ Q b` `P a` by (rule mp)
thus "∃x. Q x" by (rule exI)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10a:
fixes P Q :: "'b ⇒ bool"
assumes "P a ⟶ (∃x. Q x)"
shows "∃x. P a ⟶ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
(∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11a:
assumes "(∃x. P x) ⟶ Q a"
shows "∀x. P x ⟶ Q a"

proof
fix b
show "P b ⟶ Q a"
proof
assume "P b"
hence "∃x. P x" by (rule exI)
show "Q a" using assms `∃x. P x` by (rule mp)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q a"
shows "∃x. P x ⟶ Q a"

proof -
fix b
have "P b ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
thus "∃x. P x ⟶ Q a" by (rule exI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13a:
assumes "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P x ∨ Q x"

proof
fix a
show "P a ∨ Q a" using assms
proof
assume "∀x. P x"
hence "P a" by (rule allE)
thus "P a ∨ Q a" by (rule disjI1)
next
assume "∀x. Q x"
hence "Q a" by (rule allE)
thus "P a ∨ Q a" by (rule disjI2)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14a:
assumes "∃x. P x ∧ Q x"
shows "(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)"

proof
obtain a where "P a ∧ Q a" using assms by (rule exE)
hence "P a" by (rule conjunct1)
thus "∃x. P x" by (rule exI)
have "Q a" using `P a ∧ Q a` by (rule conjunct2)
thus "∃x. Q x" by (rule exI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15a:
assumes "∀x y. P y ⟶ Q x"
shows "(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)"

proof
assume "∃y. P y"
then obtain b where "P b" by (rule exE)
{fix a
have "∀y. P y ⟶ Q a" using assms by (rule allE)
hence "P b ⟶ Q a" by (rule allE)
have "Q a" using `P b ⟶ Q a` `P b` by (rule mp)}
thus "∀x. Q x" by (rule allI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16a:
assumes 1:"¬(∀x. ¬(P x))"
shows "∃x. P x"

proof-
fix x0
{assume 2: "¬(∃x. P x)"
{fix x1
{assume 3: "P x1"
have 4: "∃x. P x" using 3 by (rule exI)
have 5: "False" using 2 4 by (rule notE)}
then have 6: "¬ P x1" by (rule notI)}
then have 7: "∀x. ¬ P x" by (rule allI)
have 8: "False" using 1 7 by (rule notE)}
then show "∃x. P x" by (rule ccontr)
qed

-- Rocio Rodriguez

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x. ¬(P x)"
shows "¬(∃x. P x)"

proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where "P a" by (rule exE)
have " ¬ (P a)" using assms by (rule allE)
show False using `¬(P a)` `P a` by (rule notE)
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18a:
assumes "∃x. P x"
shows "¬(∀x. ¬(P x))"

proof
assume "∀x. ¬(P x)"
obtain a where "P a" using assms by (rule exE)
have "¬(P a)" using `∀x. ¬(P x)` by (rule allE)
show False using `¬(P a)` `P a`by (rule notE)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19a:
assumes "P a ⟶ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P a ⟶ Q x"

proof
fix b
show "P a ⟶ Q b"
proof
assume "P a"
have "∀x. Q x" using assms `P a` by (rule mp)
thus "Q b" by (rule allE)
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
{∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z,
∀x. ¬(R x x)}
⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z"
"∀x. ¬(R x x)"
shows "∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)"

proof (rule allI)+
fix a b
show "R a b ⟶ ¬(R b a )"
proof
assume 1:"R a b"
show"¬(R b a)"
proof
assume 2:"R b a"
have 3:"R a b ∧ R b a" using 1 2..
have "∀y z. R a y ∧ R y z ⟶ R a z" using assms(1)..
hence "∀z. R a b ∧ R b z ⟶ R a z"..
hence 4:"R a b ∧ R b a ⟶ R a a"..
have 5:"R a a" using 4 3..
have 6:" ¬(R a a)" using assms(2)..
show False using 6 5..
qed
qed
qed
--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
{∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_21a:
assumes "∀x. P x ∨ Q x"
"∃x. ¬(Q x)"
"∀x. R x ⟶ ¬(P x)"
shows "∃x. ¬(R x)"

proof-
obtain a where "¬(Q a)" using assms(2) by (rule exE)
have "P a ∨ Q a" using assms(1) by (rule allE)
show "∃x. ¬(R x)" using `P a ∨ Q a`
proof
assume "P a"
hence 1:"¬¬(P a)" by (rule notnotI)
have 2:"R a ⟶ ¬(P a)" using assms(3) by (rule allE)
have "¬(R a)" using 2 1 by (rule mt)
thus "∃x. ¬(R x)" by (rule exI)
next
assume "Q a"
have False using `¬(Q a)` `Q a` by (rule notE)
thus "∃x. ¬(R x)" by (rule ccontr)
qed
qed

-Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
{∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_22a:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x"
"¬(∃x. P x ∧ R x)"
shows "∀x. P x ⟶ Q x"

proof
fix a
show "P a ⟶ Q a"
proof
assume 1:"P a"
have 2:"P a ⟶ Q a ∨ R a" using assms(1) by (rule allE)
have 3:"Q a ∨ R a" using 2 1 by (rule mp)
show "Q a" using 3
proof
assume "Q a"
next
assume 4:"R a"
have "P a ∧ R a" using 1 4 by (rule conjI)
hence 5:"∃x. P x ∧ R x" by (rule exI)
have False using assms(2) 5 by (rule notE)
thus "Q a" by (rule ccontr)
qed
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_23a:
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
shows "∃x y. R x y"

proof -
obtain a where "∃y. R a y ∨ R y a " using assms by (rule exE)
then obtain b where 1:"R a b ∨ R b a" by (rule exE)
show "∃x y. R x y" using 1
proof
assume "R a b"
hence "∃y. R a y" by (rule exI)
thus "∃x y. R x y" by (rule exI)
next
assume "R b a"
hence "∃y. R b y" by (rule exI)
thus "∃x y. R x y" by (rule exI)
qed
qed

--Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_24a:
"(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)"

proof
assume "∃x. ∀y. P x y"
then obtain a where 1:"∀y. P a y" by (rule exE)
{fix b
have "P a b" using 1 by (rule allE)
hence "∃x. P x b" by (rule exI)}
thus "∀y. ∃x. P x y" by (rule allI)
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_25a:
"(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)"

proof
assume 1:"∀x. P x ⟶ Q"
show "(∃x. P x) ⟶ Q"
proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where 3:"P a" by (rule exE)
have 4:"P a ⟶ Q"using 1 by (rule allE)
show "Q" using 4 3 by (rule mp)
qed
next
assume 5:"(∃x. P x) ⟶ Q"
show "∀x. P x ⟶ Q"
proof
fix a
show "P a⟶Q"
proof
assume "P a"
hence 6:"∃x. P x" by (rule exI)
show "Q" using 5 6 by (rule mp)
qed
qed
qed

--Jaime Alberto
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_26a:
"((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
"((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
proof
assume 0: "(∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)"
have 1: "∀x. P x" using 0 by (rule conjunct1)
have 2: "∀x. Q x" using 0 by (rule conjunct2)
{fix a
have 3: "P a" using 1 by (rule allE)
have 4: "Q a" using 2 by (rule allE)
have 5: "P a ∧ Q a" using 3 4 by (rule conjI)}
thus "∀x. P x ∧ Q x" by (rule allI)
next
assume 0: "∀x. P x ∧ Q x"
{fix a
have 1: "P a ∧ Q a" using 0 by (rule allE)
have 2: "P a" using 1 by (rule conjunct1)}
hence 3: "∀x. P x" by (rule allI)
{fix a
have 4: "P a ∧ Q a" using 0 by (rule allE)
have 5: "Q a" using 4 by (rule conjunct2)}
hence 6: "∀x. Q x" by (rule allI)
show "(∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)" using 3 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar o refutar
((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_27a:
"((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)"
proof
assume "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
moreover
{assume "∀x. P x"
{fix a
have "P a" using `∀x. P x` by (rule allE)
have "P a ∨ Q a" using `P a` by (rule disjI1)}
hence "∀x. P x ∨ Q x" by (rule allI)}
moreover
{assume "∀x. Q x"
{fix a
have "Q a" using `∀x. Q x` by (rule allE)
have "P a ∨ Q a" using `Q a` by (rule disjI2)}
hence "∀x. P x ∨ Q x" by (rule allI)}
ultimately show "∀x. P x ∨ Q x" by (rule disjE)
next
assume "∀x. P x ∨ Q x"
oops

text{*
Consideremos los números naturales, ℕ. Sea P = "Ser par" y Q = "Ser impar". Claramente
∀x, P x ∨ Q x, pero es falso (∀x P x)∨(∀x Q x), pues no todo número es par
y no todo número es impar. Por tanto la propiedad, en general, es falsa. Es decir,
((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟶ (∀x. P x ∨ Q x) pero en general
(∀x. P x ∨ Q x) no implica ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x))
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar o refutar
((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_28a:
"((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)"

proof
assume 1:"(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)"
show "∃x. P x ∨ Q x" using 1
proof
assume "∃x. P x"
then obtain a where "P a" by (rule exE)
hence "P a ∨ Q a" by (rule disjI1)
thus "∃x. P x ∨ Q x" by (rule exI)
next
assume "∃x. Q x"
then obtain a where "Q a" by (rule exE)
hence "P a ∨ Q a" by (rule disjI2)
thus "∃x. P x ∨ Q x" by (rule exI)
qed
next
assume "∃x. P x ∨ Q x"
then obtain a where 2:"P a ∨ Q a" by (rule exE)
show "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" using 2
proof
assume "P a"
hence "∃x. P x" by (rule exI)
thus "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" by (rule disjI1)
next
assume "Q a"
hence "∃x. Q x" by (rule exI)
thus "(∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)" by (rule disjI2)
qed
qed

-- Jaime Alberto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar o refutar
(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_29:

"(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)"
oops
text{*
Propiedad en general falsa. Sean los números naturales, y la propiedad P x y = "x + y es par". Claramente, para todo x, existe un y tal que P x y se verifica (baste tomar y = x). Pero, sea cual sea el y natural que tomemos, da igual el y que tomemos: no para todo elemento que le sumemos la suma será par.
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar o refutar
(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_30a:
"(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)"
oops

section {* Ejercicios sobre igualdad *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar o refutar
P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31a:
assumes "P a"
shows "∀x. x = a ⟶ P x"
proof (rule allI)
fix b
show "b = a ⟶ P b"
proof (rule impI)
assume 1: "b = a"
show "P b"
proof -
have 2: "a = b" using 1 by (rule sym)
show 3: "P b" using 2 assms(1) by (rule subst)
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar o refutar
∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_32a:
fixes R :: "'c ⇒ 'c ⇒ bool"
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
"¬(∃x. R x x)"
shows "∃(x::'c) y. x ≠ y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)}
⊢ P (f a) a (f a)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33a:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "P (f a) a (f a)"
proof -
have 1: "P a a a" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y z. P a y z ⟶ P (f a) y (f z)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "∀z. P a a z ⟶ P (f a) a (f z)" using 2 by (rule allE)
have 4: "P a a a ⟶ P (f a) a (f a)" using 3 by (rule allE)
show 5: "P (f a) a (f a)" using 4 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34a:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "∃z. P (f a) z (f (f a))"
proof -
have 1: "P a (f a) (f a)" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y z. P a y z ⟶ P (f a) y (f z)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "∀z. P a (f a) z ⟶ P (f a) (f a) (f z)" using 2 by (rule allE)
have 4: "P a (f a) (f a) ⟶ P (f a) (f a) (f (f a))" using 3 by (rule allE)
have 5: "P (f a) (f a) (f (f a))" using 4 1 by (rule mp)
show 6: "∃z. P (f a) z (f (f a))" using 5 by (rule exI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar o refutar
{∀y. Q a y,
∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)}
⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35a:
assumes "∀y. Q a y"
"∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)"
shows "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))"
proof -
have 1: "Q a (s a)" using assms(1) by (rule allE)
have 2: "∀y. Q a y ⟶ Q (s a) (s y)" using assms(2) by (rule allE)
have 3: "Q a (s a) ⟶ Q (s a) (s (s a))" using 2 by (rule allE)
have 4: "Q (s a) (s (s a))" using 3 1 by (rule mp)
have 5: "Q a (s a) ∧ Q (s a) (s (s a))" using 1 4 by (rule conjI)
show 6: "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))" using 5 by (rule exI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar o refutar
{x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36a:
assumes "x = f x" and
"odd (f x)"
shows "odd x"
proof -
show "odd x" using assms(1) assms(2) by (rule ssubst)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar o refutar
{x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37a:
assumes "x = f x" and
"triple (f x) (f x) x"
shows "triple x x x"
proof -
show "triple x x x" using assms(1) assms(2) by (rule ssubst)
qed

end

</source>

Relación 3

2015-03-14T20:06:47Z

Fracarmol1:

<source lang = "isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1) assms(2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof - have 1: "q" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
show "r" using assms(2) 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have 1:"q⟶r" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
have 2:"q" using assms(2) assms(3) by (rule mp)
show "r" using 1 2 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"

proof -
{assume 1: "p"
have 2: "q" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using assms(2) 2 by (rule mp)}
then show "p⟶r" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q"
{assume 2: "p"
have 3:"q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have "r" using 3 1 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "q⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p⟶q"
{assume 2: "p"
have 3: "q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof-
{assume 1: "q"
note `p`}
thus "q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof-
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p" by (rule impI)}
thus "p⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q⟶r"
{assume 2:"p"
have 3: "q" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "r" using 1 3 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
thus "(q⟶r)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof -
{assume 1: "r"
{assume 2: "q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ (r ⟶ s)" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "r⟶s" using 4 2 by (rule mp)
have 6: "s" using 5 1 by (rule mp)}
hence "p⟶s" by (rule impI)}
hence "q⟶(p⟶s)" by (rule impI)}
thus "r⟶(q⟶(p⟶s))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"

proof-
{assume 1: "p⟶(q⟶r)"
{ assume 2: "p⟶q"
{assume 3: "p"
have 4: "q⟶r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
have 6: "r" using 4 5 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
hence "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p"
{assume 2: "q"
{assume 3:"p"
note `q`}
hence 4:"p⟶q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
hence "q⟶r" by (rule impI)}
thus "p⟶(q⟶r)" by (rule impI)
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13:
assumes "p"
"q"
shows "p ∧ q"
proof-
show "p∧q" using assms(1) assms(2) by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof-
show "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof-
show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∧ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
show "(p ∧ q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17:
assumes "(p ∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q ∧ r)"

proof-
have 1: "p ∧ q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "q ∧ r" using 4 2 by (rule conjI)
show "p ∧(q ∧ r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"

proof-
{assume "p"
have "q" using assms(1) by (rule conjunct2)}
thus "p⟶q" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19:
assumes "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ q ∧ r"

proof-
{assume 1: "p"
have 2: "p⟶q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "p⟶r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 1 by (rule mp)
have 6: "q ∧ r" using 4 5 by (rule conjI)}
thus "p⟶(q ∧ r)" by(rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_20:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
next
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using 2 by (rule conjunct2)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_21:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 3: "q ⟶ r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
thus "(p ∧ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_22:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
{ assume 1: "p"
{assume 2: "q"
have 3: "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
have 4: "r" using assms(1) 3 by (rule mp)}
then have 5: "q ⟶ r" by (rule impI)}
thus "p ⟶ (q ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_23:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧q"
{assume 2: "p"
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)}
hence 4: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
thus "p ∧ q ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_24:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ⟶ q"
have 2: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 4: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 4 3 by (rule mp)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 1: "q"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI1)}
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_28:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)
have 6: "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨r" by (rule disjE)}
thus "p ∨ q ⟶ p ∨ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_29:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof -
have "p ∨ p" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "p" using 3 by this}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_30:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p ∨ p" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have "p ∨ (q ∨ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "(p ∨ q) ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q ∨ r"
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "(p ∨ q) ∨ r" using 6 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 8: "r"
have 9: "(p ∨ q) ∨ r" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)}
ultimately show "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∨ q) ∨ r" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ (q ∨ r)" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q ∨ r" using 4 by (rule disjI1)
have 6: "p ∨ (q ∨ r)" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p ∨ (q ∨ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately show "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
have 5: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 4 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 6: "r"
have 7: "p ∧ r" using 1 6 by (rule conjI)
have 8: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 7 by (rule disjI2)}
ultimately show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 3: "q ∨ r" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 5: "p ∧ (q ∨ r)" using 4 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 6: "p ∧ r"
have 7: "r" using 6 by (rule conjunct2)
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p" using 6 by (rule conjunct1)
have 10: "p ∧ (q ∨ r)" using 9 8 by (rule conjI)}
ultimately show "p ∧ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have "p ∨ (q ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "p ∨ r" using 1 by (rule disjI1)
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 5: "q ∧ r"
have 6: "q" using 5 by (rule conjunct1)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule disjI2)
have 8: "r" using 5 by (rule conjunct2)
have 9: "p ∨ r" using 8 by (rule disjI2)
have 10: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 7 9 by (rule conjI)}
ultimately show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "(p ∨ q)" using assms(1) by (rule conjunct1)
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ (q ∧ r)" using 1 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 5: "p"
have 6: "p ∨ (q ∧ r)" using 5 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∧ r" using 3 7 by (rule conjI)
have 9: "p ∨ (q ∧ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)}
ultimately show "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 3 2 by (rule mp)}
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 7: "r" using 6 5 by (rule mp)}
ultimately have "r" by (rule disjE)}
thus "(p ∨ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "r" using assms(1) 2 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
next
{ assume 4: "q"
have 5: "p ∨ q" using 4 by (rule disjI2)
have 6: "r" using assms(1) 5 by (rule mp)}
thus "q ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof -
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(1) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
{assume 1: "¬q"
have 2: "¬p" using assms(1) 1 by (rule mt)}
thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "False" using assms(2) 3 by (rule notE)
have 5: "p" using 4 by (rule FalseE)}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(2) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q" using 4 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(¬p ∧ ¬q)"
have 2: "¬p ∧ ¬q" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "¬p" using 2 by (rule conjunct1)
have 6: "False" using 5 4 by (rule notE)}
moreover
{ assume 7: "q"
have 8: "¬q" using 2 by (rule conjunct2)
have 9: "False" using 8 7 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(¬p ∨ ¬q)"
have 2: "¬p ∨ ¬q" using 1 by (rule notnotD)
moreover
{assume 3: "¬p"
have 4: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 5: "False" using 3 4 by (rule notE)}
moreover
{ assume 6: "¬q"
have 7: "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 8: "False" using 6 7 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
{assume 1: "¬¬p"
have 2: "p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p ∨ q" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "False" using assms(1) 3 by (rule notE)}
thus 5: "¬p" by (rule ccontr)
next
{ assume 6: "¬¬q"
have 7: "q" using 6 by (rule notnotD)
have 8: "p ∨ q" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "False" using assms(1) 8 by (rule notE)}
thus 10: "¬q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(p ∨ q)"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule notnotD)
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "¬p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 5: "False" using 4 3 by (rule notE)}
moreover
{ assume 6: "q"
have 7: "¬q" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 8: "False" using 7 6 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(p ∧ q)"
have 2: "(p ∧ q)" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "¬p ∨ ¬q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 4: "¬p"
have 5: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 6: "False" using 4 5 by (rule notE)}
moreover
{ assume 7: "¬q"
have 8: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 9: "False" using 7 8 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof -
{assume 1: "¬¬(p ∧ ¬p)"
have 2: "p ∧ ¬p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "¬p" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "False" using 4 3 by (rule notE)}
thus "¬(p ∧ ¬p)" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "¬p" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "False" using 2 1 by (rule notE)
show 4: "q" using 3 by (rule FalseE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof -
show "p" using assms(1) by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "p ∨ ¬p" using 2 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "p ∨ ¬p" using 4 by (rule disjI1)}
ultimately show "p ∨ ¬p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof -
{assume 1: "(p ⟶ q) ⟶ p"
{ assume 3: "¬p"
have 4: "¬(p ⟶ q)" using 1 3 by (rule mt)
{ assume 5: "p"
have 6: "False" using 3 5 by (rule notE)
have 7: "q" using 6 by (rule FalseE)}
hence 8: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 9: "False" using 4 8 by (rule notE)}
hence 10: "p" by (rule ccontr)}
thus 11: "((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume 1: "p"
have 2: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 3: "¬q"
have 4: "¬p" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "False" using 4 1 by (rule notE)
have 6: "q" using 5 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 7: "q"
have 8: "q" using 7 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 4: "¬q"
have 5: "¬p ∧ ¬ q" using 2 4 by (rule conjI)
have 6: "False" using assms(1) 5 by (rule notE)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∨ q" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ q" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 10: "p"
have 11: "p ∨ q" using 10 by (rule disjI1)}
ultimately show "p ∨ q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "¬p"
have 2: "¬p ∨ ¬q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "False" using assms(1) 2 by (rule notE)}
thus 4: "p" by (rule ccontr)
next
{ assume 5: "¬q"
have 6: "¬p ∨ ¬q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "False" using assms(1) 6 by (rule notE)}
thus 8: "q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬p ∨ ¬q" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 6: "¬q"
have 7: "¬p ∨ ¬q" using 6 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∧ q" using 4 8 by (rule conjI)
have 10: "False" using assms(1) 9 by (rule notE)
have 11: "¬p ∨ ¬q" using 10 by (rule FalseE)}
ultimately have "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)}
ultimately show "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume "¬p"
{ assume "p"
with `¬p` have "False" by (rule notE)
hence "q" by (rule FalseE)}
hence "p ⟶ q" by (rule impI)
hence "(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)" by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 1: "p"
{ assume "q"
have "p" using 1 by this}
hence "q ⟶ p" by (rule impI)
hence "(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)" by (rule disjI2)}
ultimately show "(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)" by (rule disjE)
qed

end

</source>

Relación 3

2015-03-08T15:53:14Z

Fracarmol1:

<source lang = "isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1) assms(2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof - have 1: "q" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
show "r" using assms(2) 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have 1:"q⟶r" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
have 2:"q" using assms(2) assms(3) by (rule mp)
show "r" using 1 2 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"

proof -
{assume 1: "p"
have 2: "q" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using assms(2) 2 by (rule mp)}
then show "p⟶r" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q"
{assume 2: "p"
have 3:"q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have "r" using 3 1 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "q⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p⟶q"
{assume 2: "p"
have 3: "q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof-
{assume 1: "q"
note `p`}
thus "q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof-
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p" by (rule impI)}
thus "p⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q⟶r"
{assume 2:"p"
have 3: "q" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "r" using 1 3 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
thus "(q⟶r)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof -
{assume 1: "r"
{assume 2: "q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ (r ⟶ s)" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "r⟶s" using 4 2 by (rule mp)
have 6: "s" using 5 1 by (rule mp)}
hence "p⟶s" by (rule impI)}
hence "q⟶(p⟶s)" by (rule impI)}
thus "r⟶(q⟶(p⟶s))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"

proof-
{assume 1: "p⟶(q⟶r)"
{ assume 2: "p⟶q"
{assume 3: "p"
have 4: "q⟶r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
have 6: "r" using 4 5 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
hence "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p"
{assume 2: "q"
{assume 3:"p"
note `q`}
hence 4:"p⟶q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
hence "q⟶r" by (rule impI)}
thus "p⟶(q⟶r)" by (rule impI)
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13:
assumes "p"
"q"
shows "p ∧ q"
proof-
show "p∧q" using assms(1) assms(2) by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof-
show "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof-
show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∧ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
show "(p ∧ q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17:
assumes "(p ∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q ∧ r)"

proof-
have 1: "p ∧ q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "q ∧ r" using 4 2 by (rule conjI)
show "p ∧(q ∧ r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"

proof-
{assume "p"
have "q" using assms(1) by (rule conjunct2)}
thus "p⟶q" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19:
assumes "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ q ∧ r"

proof-
{assume 1: "p"
have 2: "p⟶q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "p⟶r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 1 by (rule mp)
have 6: "q ∧ r" using 4 5 by (rule conjI)}
thus "p⟶(q ∧ r)" by(rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_20:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
next
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using 2 by (rule conjunct2)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_21:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 3: "q ⟶ r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
thus "(p ∧ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_22:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
{ assume 1: "p"
{assume 2: "q"
have 3: "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
have 4: "r" using assms(1) 3 by (rule mp)}
then have 5: "q ⟶ r" by (rule impI)}
thus "p ⟶ (q ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_23:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧q"
{assume 2: "p"
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)}
hence 4: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
thus "p ∧ q ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_24:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ⟶ q"
have 2: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 4: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 4 3 by (rule mp)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 1: "q"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI1)}
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_28:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)
have 6: "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨r" by (rule disjE)}
thus "p ∨ q ⟶ p ∨ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_29:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof -
have "p ∨ p" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "p" using 3 by this}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_30:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p ∨ p" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have "p ∨ (q ∨ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "(p ∨ q) ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q ∨ r"
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "(p ∨ q) ∨ r" using 6 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 8: "r"
have 9: "(p ∨ q) ∨ r" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)}
ultimately show "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∨ q) ∨ r" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ (q ∨ r)" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q ∨ r" using 4 by (rule disjI1)
have 6: "p ∨ (q ∨ r)" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p ∨ (q ∨ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately show "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
have 5: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 4 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 6: "r"
have 7: "p ∧ r" using 1 6 by (rule conjI)
have 8: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 7 by (rule disjI2)}
ultimately show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 3: "q ∨ r" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 5: "p ∧ (q ∨ r)" using 4 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 6: "p ∧ r"
have 7: "r" using 6 by (rule conjunct2)
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p" using 6 by (rule conjunct1)
have 10: "p ∧ (q ∨ r)" using 9 8 by (rule conjI)}
ultimately show "p ∧ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have "p ∨ (q ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "p ∨ r" using 1 by (rule disjI1)
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 5: "q ∧ r"
have 6: "q" using 5 by (rule conjunct1)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule disjI2)
have 8: "r" using 5 by (rule conjunct2)
have 9: "p ∨ r" using 8 by (rule disjI2)
have 10: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 7 9 by (rule conjI)}
ultimately show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "(p ∨ q)" using assms(1) by (rule conjunct1)
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ (q ∧ r)" using 1 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 5: "p"
have 6: "p ∨ (q ∧ r)" using 5 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∧ r" using 3 7 by (rule conjI)
have 9: "p ∨ (q ∧ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)}
ultimately show "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 3 2 by (rule mp)}
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 7: "r" using 6 5 by (rule mp)}
ultimately have "r" by (rule disjE)}
thus "(p ∨ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "r" using assms(1) 2 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
next
{ assume 4: "q"
have 5: "p ∨ q" using 4 by (rule disjI2)
have 6: "r" using assms(1) 5 by (rule mp)}
thus "q ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof -
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(1) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
{assume 1: "¬q"
have 2: "¬p" using assms(1) 1 by (rule mt)}
thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "False" using assms(2) 3 by (rule notE)
have 5: "p" using 4 by (rule FalseE)}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(2) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q" using 4 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(¬p ∧ ¬q)"
have 2: "¬p ∧ ¬q" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "¬p" using 2 by (rule conjunct1)
have 6: "False" using 5 4 by (rule notE)}
moreover
{ assume 7: "q"
have 8: "¬q" using 2 by (rule conjunct2)
have 9: "False" using 8 7 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(¬p ∨ ¬q)"
have 2: "¬p ∨ ¬q" using 1 by (rule notnotD)
moreover
{assume 3: "¬p"
have 4: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 5: "False" using 3 4 by (rule notE)}
moreover
{ assume 6: "¬q"
have 7: "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 8: "False" using 6 7 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
{assume 1: "¬¬p"
have 2: "p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p ∨ q" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "False" using assms(1) 3 by (rule notE)}
thus 5: "¬p" by (rule ccontr)
next
{ assume 6: "¬¬q"
have 7: "q" using 6 by (rule notnotD)
have 8: "p ∨ q" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "False" using assms(1) 8 by (rule notE)}
thus 10: "¬q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(p ∨ q)"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule notnotD)
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "¬p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 5: "False" using 4 3 by (rule notE)}
moreover
{ assume 6: "q"
have 7: "¬q" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 8: "False" using 7 6 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule ccontr)
assume 1: "¬¬(p ∧ q)"
have 2: "(p ∧ q)" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "¬p ∨ ¬q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 4: "¬p"
have 5: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 6: "False" using 4 5 by (rule notE)}
moreover
{ assume 7: "¬q"
have 8: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 9: "False" using 7 8 by (rule notE)}
ultimately show "False" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof -
{assume 1: "¬¬(p ∧ ¬p)"
have 2: "p ∧ ¬p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "¬p" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "False" using 4 3 by (rule notE)}
thus "¬(p ∧ ¬p)" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "¬p" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "False" using 2 1 by (rule notE)
show 4: "q" using 3 by (rule FalseE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof -
show "p" using assms(1) by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "p ∨ ¬p" using 2 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "p ∨ ¬p" using 4 by (rule disjI1)}
ultimately show "p ∨ ¬p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof -
{assume 1: "(p ⟶ q) ⟶ p"
{ assume 3: "¬p"
have 4: "¬(p ⟶ q)" using 1 3 by (rule mt)
{ assume 5: "p"
have 6: "False" using 3 5 by (rule notE)
have 7: "q" using 6 by (rule FalseE)}
hence 8: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 9: "False" using 4 8 by (rule notE)}
hence 10: "p" by (rule ccontr)}
thus 11: "((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume 1: "p"
have 2: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 3: "¬q"
have 4: "¬p" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "False" using 4 1 by (rule notE)
have 6: "q" using 5 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 7: "q"
have 8: "q" using 7 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 4: "¬q"
have 5: "¬p ∧ ¬ q" using 2 4 by (rule conjI)
have 6: "False" using assms(1) 5 by (rule notE)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∨ q" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ q" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 10: "p"
have 11: "p ∨ q" using 10 by (rule disjI1)}
ultimately show "p ∨ q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "¬p"
have 2: "¬p ∨ ¬q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "False" using assms(1) 2 by (rule notE)}
thus 4: "p" by (rule ccontr)
next
{ assume 5: "¬q"
have 6: "¬p ∨ ¬q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "False" using assms(1) 6 by (rule notE)}
thus 8: "q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬p ∨ ¬q" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 6: "¬q"
have 7: "¬p ∨ ¬q" using 6 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∧ q" using 4 8 by (rule conjI)
have 10: "False" using assms(1) 9 by (rule notE)
have 11: "¬p ∨ ¬q" using 10 by (rule FalseE)}
ultimately have "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)}
ultimately show "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
oops

end

</source>

Relación 3

2015-03-07T19:05:15Z

Fracarmol1:

<source lang = "isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1) assms(2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof - have 1: "q" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
show "r" using assms(2) 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have 1:"q⟶r" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
have 2:"q" using assms(2) assms(3) by (rule mp)
show "r" using 1 2 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"

proof -
{assume 1: "p"
have 2: "q" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using assms(2) 2 by (rule mp)}
then show "p⟶r" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q"
{assume 2: "p"
have 3:"q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have "r" using 3 1 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "q⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p⟶q"
{assume 2: "p"
have 3: "q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof-
{assume 1: "q"
note `p`}
thus "q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof-
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p" by (rule impI)}
thus "p⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q⟶r"
{assume 2:"p"
have 3: "q" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "r" using 1 3 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
thus "(q⟶r)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof -
{assume 1: "r"
{assume 2: "q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ (r ⟶ s)" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "r⟶s" using 4 2 by (rule mp)
have 6: "s" using 5 1 by (rule mp)}
hence "p⟶s" by (rule impI)}
hence "q⟶(p⟶s)" by (rule impI)}
thus "r⟶(q⟶(p⟶s))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"

proof-
{assume 1: "p⟶(q⟶r)"
{ assume 2: "p⟶q"
{assume 3: "p"
have 4: "q⟶r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
have 6: "r" using 4 5 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
hence "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p"
{assume 2: "q"
{assume 3:"p"
note `q`}
hence 4:"p⟶q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
hence "q⟶r" by (rule impI)}
thus "p⟶(q⟶r)" by (rule impI)
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13:
assumes "p"
"q"
shows "p ∧ q"
proof-
show "p∧q" using assms(1) assms(2) by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof-
show "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof-
show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∧ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
show "(p ∧ q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17:
assumes "(p ∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q ∧ r)"

proof-
have 1: "p ∧ q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "q ∧ r" using 4 2 by (rule conjI)
show "p ∧(q ∧ r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"

proof-
{assume "p"
have "q" using assms(1) by (rule conjunct2)}
thus "p⟶q" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19:
assumes "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ q ∧ r"

proof-
{assume 1: "p"
have 2: "p⟶q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "p⟶r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 1 by (rule mp)
have 6: "q ∧ r" using 4 5 by (rule conjI)}
thus "p⟶(q ∧ r)" by(rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_20:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
next
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using 2 by (rule conjunct2)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_21:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 3: "q ⟶ r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
thus "(p ∧ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_22:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
{ assume 1: "p"
{assume 2: "q"
have 3: "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
have 4: "r" using assms(1) 3 by (rule mp)}
then have 5: "q ⟶ r" by (rule impI)}
thus "p ⟶ (q ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_23:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧q"
{assume 2: "p"
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)}
hence 4: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
thus "p ∧ q ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_24:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ⟶ q"
have 2: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 4: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 4 3 by (rule mp)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 1: "q"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI1)}
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_28:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)
have 6: "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨r" by (rule disjE)}
thus "p ∨ q ⟶ p ∨ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_29:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof -
have "p ∨ p" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "p" using 3 by this}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_30:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p ∨ p" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have "p ∨ (q ∨ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "(p ∨ q) ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q ∨ r"
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "(p ∨ q) ∨ r" using 6 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 8: "r"
have 9: "(p ∨ q) ∨ r" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)}
ultimately show "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∨ q) ∨ r" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ (q ∨ r)" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q ∨ r" using 4 by (rule disjI1)
have 6: "p ∨ (q ∨ r)" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p ∨ (q ∨ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately show "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
have 5: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 4 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 6: "r"
have 7: "p ∧ r" using 1 6 by (rule conjI)
have 8: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 7 by (rule disjI2)}
ultimately show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 3: "q ∨ r" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 5: "p ∧ (q ∨ r)" using 4 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 6: "p ∧ r"
have 7: "r" using 6 by (rule conjunct2)
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p" using 6 by (rule conjunct1)
have 10: "p ∧ (q ∨ r)" using 9 8 by (rule conjI)}
ultimately show "p ∧ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have "p ∨ (q ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "p ∨ r" using 1 by (rule disjI1)
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 5: "q ∧ r"
have 6: "q" using 5 by (rule conjunct1)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule disjI2)
have 8: "r" using 5 by (rule conjunct2)
have 9: "p ∨ r" using 8 by (rule disjI2)
have 10: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 7 9 by (rule conjI)}
ultimately show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "(p ∨ q)" using assms(1) by (rule conjunct1)
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ (q ∧ r)" using 1 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 5: "p"
have 6: "p ∨ (q ∧ r)" using 5 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∧ r" using 3 7 by (rule conjI)
have 9: "p ∨ (q ∧ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)}
ultimately show "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 3 2 by (rule mp)}
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 7: "r" using 6 5 by (rule mp)}
ultimately have "r" by (rule disjE)}
thus "(p ∨ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "r" using assms(1) 2 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
next
{ assume 4: "q"
have 5: "p ∨ q" using 4 by (rule disjI2)
have 6: "r" using assms(1) 5 by (rule mp)}
thus "q ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof -
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(1) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
{assume 1: "¬q"
have 2: "¬p" using assms(1) 1 by (rule mt)}
thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "False" using assms(2) 3 by (rule notE)
have 5: "p" using 4 by (rule FalseE)}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(2) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q" using 4 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
{assume 1: "¬¬p"
have 2: "p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p ∨ q" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "False" using assms(1) 3 by (rule notE)}
thus 5: "¬p" by (rule ccontr)
next
{ assume 6: "¬¬q"
have 7: "q" using 6 by (rule notnotD)
have 8: "p ∨ q" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "False" using assms(1) 8 by (rule notE)}
thus 10: "¬q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof -
{assume 1: "¬¬(p ∧ ¬p)"
have 2: "p ∧ ¬p" using 1 by (rule notnotD)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "¬p" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "False" using 4 3 by (rule notE)}
thus "¬(p ∧ ¬p)" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "¬p" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "False" using 2 1 by (rule notE)
show 4: "q" using 3 by (rule FalseE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof -
show "p" using assms(1) by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof -
{assume 1: "(p ⟶ q) ⟶ p"
{ assume 3: "¬p"
have 4: "¬(p ⟶ q)" using 1 3 by (rule mt)
{ assume 5: "p"
have 6: "False" using 3 5 by (rule notE)
have 7: "q" using 6 by (rule FalseE)}
hence 8: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 9: "False" using 4 8 by (rule notE)}
hence 10: "p" by (rule ccontr)}
thus 11: "((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 4: "¬q"
have 5: "¬p ∧ ¬ q" using 2 4 by (rule conjI)
have 6: "False" using assms(1) 5 by (rule notE)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∨ q" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ q" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 10: "p"
have 11: "p ∨ q" using 10 by (rule disjI1)}
ultimately show "p ∨ q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "¬p"
have 2: "¬p ∨ ¬q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "False" using assms(1) 2 by (rule notE)}
thus 4: "p" by (rule ccontr)
next
{ assume 5: "¬q"
have 6: "¬p ∨ ¬q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "False" using assms(1) 6 by (rule notE)}
thus 8: "q" by (rule ccontr)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have 1: "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 2: "¬p"
have 3: "¬p ∨ ¬q" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "p"
have 5: "¬q ∨ q" by (rule excluded_middle)
moreover
{ assume 6: "¬q"
have 7: "¬p ∨ ¬q" using 6 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 8: "q"
have 9: "p ∧ q" using 4 8 by (rule conjI)
have 10: "False" using assms(1) 9 by (rule notE)
have 11: "¬p ∨ ¬q" using 10 by (rule FalseE)}
ultimately have "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)}
ultimately show "¬p ∨ ¬q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
oops

end

</source>

Relación 3

2015-03-07T12:35:11Z

Fracarmol1:

<source lang = "isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1) assms(2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof - have 1: "q" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
show "r" using assms(2) 1 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have 1:"q⟶r" using assms(1) assms(3) by (rule mp)
have 2:"q" using assms(2) assms(3) by (rule mp)
show "r" using 1 2 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"

proof -
{assume 1: "p"
have 2: "q" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using assms(2) 2 by (rule mp)}
then show "p⟶r" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q"
{assume 2: "p"
have 3:"q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have "r" using 3 1 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "q⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p⟶q"
{assume 2: "p"
have 3: "q⟶r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
then show "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof-
{assume 1: "q"
note `p`}
thus "q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof-
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p" by (rule impI)}
thus "p⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "q⟶r"
{assume 2:"p"
have 3: "q" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "r" using 1 3 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
thus "(q⟶r)⟶(p⟶r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof -
{assume 1: "r"
{assume 2: "q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ (r ⟶ s)" using assms(1) 3 by (rule mp)
have 5: "r⟶s" using 4 2 by (rule mp)
have 6: "s" using 5 1 by (rule mp)}
hence "p⟶s" by (rule impI)}
hence "q⟶(p⟶s)" by (rule impI)}
thus "r⟶(q⟶(p⟶s))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"

proof-
{assume 1: "p⟶(q⟶r)"
{ assume 2: "p⟶q"
{assume 3: "p"
have 4: "q⟶r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
have 6: "r" using 4 5 by (rule mp)}
hence "p⟶r" by (rule impI)}
hence "(p⟶q)⟶(p⟶r)" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"

proof-
{assume 1: "p"
{assume 2: "q"
{assume 3:"p"
note `q`}
hence 4:"p⟶q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
hence "q⟶r" by (rule impI)}
thus "p⟶(q⟶r)" by (rule impI)
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13:
assumes "p"
"q"
shows "p ∧ q"
proof-
show "p∧q" using assms(1) assms(2) by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof-
show "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof-
show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∧ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
show "(p ∧ q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17:
assumes "(p ∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q ∧ r)"

proof-
have 1: "p ∧ q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 3: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "q ∧ r" using 4 2 by (rule conjI)
show "p ∧(q ∧ r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"

proof-
{assume "p"
have "q" using assms(1) by (rule conjunct2)}
thus "p⟶q" by (rule impI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19:
assumes "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ q ∧ r"

proof-
{assume 1: "p"
have 2: "p⟶q" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "p⟶r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
have 5: "r" using 3 1 by (rule mp)
have 6: "q ∧ r" using 4 5 by (rule conjI)}
thus "p⟶(q ∧ r)" by(rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_20:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
next
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∧ r" using assms(1) 1 by (rule mp)
have 3: "r" using 2 by (rule conjunct2)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_21:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 3: "q ⟶ r" using assms(1) 2 by (rule mp)
have 4: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 3 4 by (rule mp)}
thus "(p ∧ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_22:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
{ assume 1: "p"
{assume 2: "q"
have 3: "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
have 4: "r" using assms(1) 3 by (rule mp)}
then have 5: "q ⟶ r" by (rule impI)}
thus "p ⟶ (q ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_23:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∧q"
{assume 2: "p"
have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)}
hence 4: "p ⟶ q" by (rule impI)
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)}
thus "p ∧ q ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_24:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ⟶ q"
have 2: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
have 4: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 5: "r" using 4 3 by (rule mp)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p ∨ q" using assms(1) by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI2)}
moreover
{ assume 1: "q"
have 2: "q ∨ p" using 1 by (rule disjI1)}
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_28:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "r" using assms(1) 4 by (rule mp)
have 6: "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨r" by (rule disjE)}
thus "p ∨ q ⟶ p ∨ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_29:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof -
have "p ∨ p" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "p"
have 4: "p" using 3 by this}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_30:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p ∨ p" using assms(1) by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_31:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have "p ∨ (q ∨ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "(p ∨ q) ∨ r" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q ∨ r"
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 by (rule disjI2)
have 7: "(p ∨ q) ∨ r" using 6 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 8: "r"
have 9: "(p ∨ q) ∨ r" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)}
ultimately show "(p ∨ q) ∨ r" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∨ q) ∨ r" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ∨ (q ∨ r)" using 2 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q ∨ r" using 4 by (rule disjI1)
have 6: "p ∨ (q ∨ r)" using 5 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p ∨ (q ∨ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately show "p ∨ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_33:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 2: "q ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∧ q" using 1 3 by (rule conjI)
have 5: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 4 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 6: "r"
have 7: "p ∧ r" using 1 6 by (rule conjI)
have 8: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using 7 by (rule disjI2)}
ultimately show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_34:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p ∧ q"
have 2: "q" using 1 by (rule conjunct2)
have 3: "q ∨ r" using 2 by (rule disjI1)
have 4: "p" using 1 by (rule conjunct1)
have 5: "p ∧ (q ∨ r)" using 4 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 6: "p ∧ r"
have 7: "r" using 6 by (rule conjunct2)
have 8: "q ∨ r" using 7 by (rule disjI2)
have 9: "p" using 6 by (rule conjunct1)
have 10: "p ∧ (q ∨ r)" using 9 8 by (rule conjI)}
ultimately show "p ∧ (q ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_35:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have "p ∨ (q ∧ r)" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "p ∨ r" using 1 by (rule disjI1)
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 by (rule conjI)}
moreover
{ assume 5: "q ∧ r"
have 6: "q" using 5 by (rule conjunct1)
have 7: "p ∨ q" using 6 by (rule disjI2)
have 8: "r" using 5 by (rule conjunct2)
have 9: "p ∨ r" using 8 by (rule disjI2)
have 10: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 7 9 by (rule conjI)}
ultimately show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "(p ∨ q)" using assms(1) by (rule conjunct1)
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ (q ∧ r)" using 1 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "p ∨ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
moreover
{ assume 5: "p"
have 6: "p ∨ (q ∧ r)" using 5 by (rule disjI1)}
moreover
{ assume 7: "r"
have 8: "q ∧ r" using 3 7 by (rule conjI)
have 9: "p ∨ (q ∧ r)" using 8 by (rule disjI2)}
ultimately have "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)}
ultimately show "p ∨ (q ∧ r)" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof -
{ assume 1: "p ∨ q"
moreover
{ assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 3 2 by (rule mp)}
moreover
{ assume 5: "q"
have 6: "q ⟶ r" using assms(1) by (rule conjunct2)
have 7: "r" using 6 5 by (rule mp)}
ultimately have "r" by (rule disjE)}
thus "(p ∨ q) ⟶ r" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof (rule conjI)
{ assume 1: "p"
have 2: "p ∨ q" using 1 by (rule disjI1)
have 3: "r" using assms(1) 2 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
next
{ assume 4: "q"
have 5: "p ∨ q" using 4 by (rule disjI2)
have 6: "r" using assms(1) 5 by (rule mp)}
thus "q ⟶ r" by (rule impI)
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof -
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(1) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
thus "p ⟶ q" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "p" using 1 by this}
moreover
{ assume 3: "q"
have 4: "False" using assms(2) 3 by (rule notE)
have 5: "p" using 4 by (rule FalseE)}
ultimately show "p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- Francisco Javier Carmona

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
have "p ∨ q" using assms(1) by this
moreover
{ assume 1: "p"
have 2: "False" using assms(2) 1 by (rule notE)
have 3: "q" using 2 by (rule FalseE)}
moreover
{ assume 4: "q"
have 5: "q" using 4 by this}
ultimately show "q" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
oops

end

</source>

Relación 2a

2015-02-17T11:24:32Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us.es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [Atom p]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = nub ((simbolosPropForm p) ++ (simbolosPropForm q))
simbolosPropForm (Disj p q) = nub ((simbolosPropForm p) ++ (simbolosPropForm q))
simbolosPropForm (Impl p q) = nub ((simbolosPropForm p) ++ (simbolosPropForm q))
simbolosPropForm (Equi p q) = nub ((simbolosPropForm p) ++ (simbolosPropForm q))

-- Luis Curquejo

-- Comentario: La definición se puede mejorar usando la función union.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom f) xs | elem (Atom f) xs = True
| otherwise = False
significado (Neg f) xs = not (significado f xs)
significado (Conj f q) xs = (significado f xs) && (significado q xs)
significado (Disj f q) xs = (significado f xs) || (significado q xs)
significado (Impl f q) xs | (significado f xs) == True = significado q xs
| otherwise = True
significado (Equi f q) xs = (significado f xs) == (significado q xs)

--Luis Curquejo

-- Comentario: la definición se puede simplificar.

significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom p) i = elem (Atom p) i
significado (Neg p) i = not (significado p i)
significado (Conj p q) i = (significado p i)&&(significado q i)
significado (Disj p q) i = (significado p i)||(significado q i)
significado (Impl p q) i | significado p i = significado q i
| otherwise = True
significado (Equi p q) i = (significado p i)==(significado q i)

--María Dolores Mateo Ceballos

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos [a] = [[],[a]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub
where sub = subconjuntos xs
-- Me acordaba de primero (seguro) Javier Rodríguez Vivas

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion]
interpretacionesForm f = subconjuntos (simbolosPropForm f)

--Luis Curquejo

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool
esModeloFormula i f = significado f i

-- Luis Curquejo
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = [i | i <- subconjuntos (símbolosPropFórm f), esModeloFórmula i f]

-- Elisa Mazuelos Jiménez

-- Comentario: la definición se puede simplificar usando interpretacionesForm.

modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion]
modelosFormula f = [xs|xs<-(interpretacionesForm f), esModeloFormula xs f]

--María Dolores Mateo Ceballos

modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion]
modelosFormula f = aux (interpretacionesForm f)
where aux [] = []
aux (x:xs) | esModeloFormula x f = x : aux xs
| otherwise = aux xs

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esValida :: Prop -> Bool
esValida f = subconjuntos (simPro f) == modelosFormula f

-- Javier Rodríguez Vivas

-- Comentario: la definición se puede simplificar usando interpretacionesForm.

esValida :: Prop -> Bool
esValida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f

-- María Dolores Mateo Ceballos
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = null (modelosFórmula f)
--Emilio Martinez Rivero

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = modelosFormula f == []

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible = not . EsInsatisfacible
--Emilio Martinez Rivero

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = modelosFormula f /= []

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = nub(x++ unionGeneral xs)

--Javier Rodríguez Vivas
-- Francisco Javier Carmona

-- Comentario: La definición se puede mejorar usando la función union.

uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
uniónGeneral = nub . concat

-- Elisa Mazuelos Jiménez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
símbolosPropConj s = uniónGeneral [simb x | x<-s]

--Emilio Martinez Rivero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = nub (aux s)
where aux [] = []
aux (x:xs) = simbolosPropForm x ++
simbolosPropConj xs

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto = subconjuntos . símbolosPropConj

-- Elisa Mazuelos Jiménez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: InterpretaciÃ³n -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = elem False xs == False
where xs = [esModeloFormula i f | f<-s]

--Javier Rodriguez Vivas

-- Comentario: la definición se puede mejorar.

esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = and [esModeloFormula i f| f<-s]

--María Dolores Mateo Ceballos

esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = aux i s
where aux i [] = True
aux i (x:xs) = esModeloFormula i x &&
esModeloConjunto i xs

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = [x|x<-interpretacionesConjunto s, esModeloConjunto x s]
--Emilio Martinez Rivero
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = or [esModeloConjunto x s | x <- (modelosConjunto s)]

-- Elisa Mazuelos Jiménez

-- Comentario: La definición se puede mejorar.

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = modelosConjunto s /= []

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente = not . esConsistente

-- Elisa Mazuelos Jiménez

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = null (modelosConjunto s)

-- María Dolores Mateo Ceballos

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = modelosConjunto s == []

-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = and [esModeloFórmula x f| x<-modelosConjunto s]

--Emilio Martinez Rivero

-- Comentario: la definición no es correcta.

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = esInconsistente ((no f):s)

--María Dolores Mateo Ceballos

</source>

Relación 1

2015-02-13T16:22:26Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 x y |x== True && y== True = False
|x== True && y== False = True
|x== False && y== True = True
|x== False && y== False = False
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

xor_2' True x = not x
xor_2' False x = x

-- Jaime Alberto
xor_2'' :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2'' x y | x== True && y== True || x==False && y== False = False
| x== True && y== False || x== False && y== True = True

-- Elisa Mazuelos Jiménez:

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x | x == True = False
| otherwise = True
xor_2 False x | x == False = False
| otherwise = True

-- Esta última no es correcta (10/02/2015).
-- Corregida, gracias (10/02/2015).

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-----------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- Luis Curquejo. Solución acotando ligeramente los elementos x e y.

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [ (x,y,z) | z <- [1..n], x <- [1..z], y <- [1..z] , x^2 + y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

-- Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

-- También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

-- Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

-- Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- (1.44 secs, 15935120 bytes)

-- *Main> perfectos2 500
-- [6,28,496]
-- (0.22 secs, 14803544 bytes)

-- Es decir, el segundo es más eficiente.

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Rocio Rodriguez
perfectos x = [y|y<-[1..x-1], serPerfecto y]
serPerfecto x = x==sum (factores' x)
factores x = [y|y<-[1..x], rem x y == 0]
factores' x = init (factores x)

-- Luis Curquejo

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [ x | x <- [1..n], x == sum (factoresred x)]
where factoresred x = [ y | y <- [1..x-1], rem x y == 0]

-- Francisco Javier Carmona

perfectos1 :: Int -> [Int]
perfectos1 n = [ x | x <- [1..n],
x == sum (tail(reverse (factores x)))]

factores1 n = [x | x <- [1..n], rem n x == 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto

-- Francisco Javier Carmona

sumaConsecutivos1 :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos1 (x:xs) = [ (x+y) | (x,y) <- zip (x:xs) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

-- Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y = distanciaAux xs ys
| otherwise = [1]++(distanciaAux xs ys)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- María Dolores Mateo Ceballos
-- Francisco Javier Carmona
-- Aunque es parecido al anterior, sin usar función auxiliar:

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia [] _ = 0
distancia _ [] = 0
distancia (x:xs) (y:ys) | x==y = distancia xs ys
| otherwise = 1 + distancia xs ys

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

distancia' :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia' xs ys = sum [ 1 | (a,b)<-zip xs ys, a/=b]
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Francisco Javier Carmona

-- Rocio Rodriguez
factoriales1 = [fact x|x<-[0..]]
fact 0 = 1
fact x = x*fact (x-1)
-- Jaime Alberto
-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = [1]++(zipWith f [1..] [2..])
where f n y = product ([1..n]++[y])

-- Emilio Martinez

-- Por recursiÃ³n:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = 1:(aux 1 [1..])
where aux n (x:xs)= (n*x):(aux (n*x) xs)

-- Emilio Martinez

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = scanl (*) 1 [1..]

-- Emilio Martinez

-- Usando iterate:
-- Fran Franco
factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = map snd (iterate (\(x,y)->(x+1,x*y)) (1,1))

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- *Main> take 10 factoriales1
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales2
-- [1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales3
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 528020 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales4
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

-- Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Rocio Rodriguez
prop_espejo x = espejo (espejo x)==x
quickCheck prop_espejo
+++ OK, passed 100 tests.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

postorden' :: Arbol a -> [a]
postorden' Hoja = []
postorden' (Nodo a i d) = postorden' i ++ postorden' d ++ [a]
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)

--Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el nÃºmero de nodos de la
-- imagen especular de un Ã¡rbol es el mismo que el nÃºmero de nodos del
-- Ã¡rbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x

-- La comprobaciÃ³n es

-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo _ i d) = 1+ max(profundidad i) (profundidad d)

--Emilio Martinez
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>

Relación 1

2015-02-13T16:11:21Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 x y |x== True && y== True = False
|x== True && y== False = True
|x== False && y== True = True
|x== False && y== False = False
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

xor_2' True x = not x
xor_2' False x = x

-- Jaime Alberto
xor_2'' :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2'' x y | x== True && y== True || x==False && y== False = False
| x== True && y== False || x== False && y== True = True

-- Elisa Mazuelos Jiménez:

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x | x == True = False
| otherwise = True
xor_2 False x | x == False = False
| otherwise = True

-- Esta última no es correcta (10/02/2015).
-- Corregida, gracias (10/02/2015).

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-----------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- Luis Curquejo. Solución acotando ligeramente los elementos x e y.

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [ (x,y,z) | z <- [1..n], x <- [1..z], y <- [1..z] , x^2 + y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

-- Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

-- También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

-- Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

-- Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- (1.44 secs, 15935120 bytes)

-- *Main> perfectos2 500
-- [6,28,496]
-- (0.22 secs, 14803544 bytes)

-- Es decir, el segundo es más eficiente.

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Rocio Rodriguez
perfectos x = [y|y<-[1..x-1], serPerfecto y]
serPerfecto x = x==sum (factores' x)
factores x = [y|y<-[1..x], rem x y == 0]
factores' x = init (factores x)

-- Luis Curquejo

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [ x | x <- [1..n], x == sum (factoresred x)]
where factoresred x = [ y | y <- [1..x-1], rem x y == 0]

-- Francisco Javier Carmona

perfectos1 :: Int -> [Int]
perfectos1 n = [ x | x <- [1..n],
x == sum (tail(reverse (factores x)))]

factores1 n = [x | x <- [1..n], rem n x == 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto

-- Francisco Javier Carmona

sumaConsecutivos1 :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos1 (x:xs) = [ (x+y) | (x,y) <- zip (x:xs) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

-- Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y = distanciaAux xs ys
| otherwise = [1]++(distanciaAux xs ys)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- María Dolores Mateo Ceballos
-- Francisco Javier Carmona
-- Aunque es parecido al anterior, sin usar función auxiliar:

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia [] _ = 0
distancia _ [] = 0
distancia (x:xs) (y:ys) | x==y = distancia xs ys
| otherwise = 1 + distancia xs ys

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

distancia' :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia' xs ys = sum [ 1 | (a,b)<-zip xs ys, a/=b]
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Francisco Javier Carmona

-- Rocio Rodriguez
factoriales1 = [fact x|x<-[0..]]
fact 0 = 1
fact x = x*fact (x-1)
-- Jaime Alberto
-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = [1]++(zipWith f [1..] [2..])
where f n y = product ([1..n]++[y])

-- Emilio Martinez

-- Por recursiÃ³n:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = 1:(aux 1 [1..])
where aux n (x:xs)= (n*x):(aux (n*x) xs)

-- Emilio Martinez

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = scanl (*) 1 [1..]

-- Emilio Martinez

-- Usando iterate:
-- Fran Franco
factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = map snd (iterate (\(x,y)->(x+1,x*y)) (1,1))

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- *Main> take 10 factoriales1
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales2
-- [1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales3
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 528020 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales4
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

-- Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto

-- Francisco Javier Carmona

espejo1 :: Arbol a -> Arbol a
espejo1 Hoja = Hoja
espejo1 (Nodo a i d) = (Nodo a d i)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Rocio Rodriguez
prop_espejo x = espejo (espejo x)==x
quickCheck prop_espejo
+++ OK, passed 100 tests.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

postorden' :: Arbol a -> [a]
postorden' Hoja = []
postorden' (Nodo a i d) = postorden' i ++ postorden' d ++ [a]
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)

--Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el nÃºmero de nodos de la
-- imagen especular de un Ã¡rbol es el mismo que el nÃºmero de nodos del
-- Ã¡rbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x

-- La comprobaciÃ³n es

-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo _ i d) = 1+ max(profundidad i) (profundidad d)

--Emilio Martinez
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>

Relación 1

2015-02-13T16:08:10Z

Fracarmol1:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

-- Miriam R.
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 x y |x== True && y== True = False
|x== True && y== False = True
|x== False && y== True = True
|x== False && y== False = False
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

xor_2' True x = not x
xor_2' False x = x

-- Jaime Alberto
xor_2'' :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2'' x y | x== True && y== True || x==False && y== False = False
| x== True && y== False || x== False && y== True = True

-- Elisa Mazuelos Jiménez:

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x | x == True = False
| otherwise = True
xor_2 False x | x == False = False
| otherwise = True

-- Esta última no es correcta (10/02/2015).
-- Corregida, gracias (10/02/2015).

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-----------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- Luis Curquejo. Solución acotando ligeramente los elementos x e y.

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [ (x,y,z) | z <- [1..n], x <- [1..z], y <- [1..z] , x^2 + y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

-- Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

-- También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

-- Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

-- Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- (1.44 secs, 15935120 bytes)

-- *Main> perfectos2 500
-- [6,28,496]
-- (0.22 secs, 14803544 bytes)

-- Es decir, el segundo es más eficiente.

-- Pablo José Gerlach Mena

-- Rocio Rodriguez
perfectos x = [y|y<-[1..x-1], serPerfecto y]
serPerfecto x = x==sum (factores' x)
factores x = [y|y<-[1..x], rem x y == 0]
factores' x = init (factores x)

-- Luis Curquejo

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [ x | x <- [1..n], x == sum (factoresred x)]
where factoresred x = [ y | y <- [1..x-1], rem x y == 0]

-- Francisco Javier Carmona

perfectos1 :: Int -> [Int]
perfectos1 n = [ x | x <- [1..n],
x == sum (tail(reverse (factores x)))]

factores1 n = [x | x <- [1..n], rem n x == 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto

-- Francisco Javier Carmona

sumaConsecutivos1 :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos1 (x:xs) = [ (x+y) | (x,y) <- zip (x:xs) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

-- Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y = distanciaAux xs ys
| otherwise = [1]++(distanciaAux xs ys)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- María Dolores Mateo Ceballos
-- Francisco Javier Carmona
-- Aunque es parecido al anterior, sin usar función auxiliar:

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia [] _ = 0
distancia _ [] = 0
distancia (x:xs) (y:ys) | x==y = distancia xs ys
| otherwise = 1 + distancia xs ys

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

distancia' :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia' xs ys = sum [ 1 | (a,b)<-zip xs ys, a/=b]
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

-- Pablo José Gerlach Mena
-- Francisco Javier Carmona

-- Rocio Rodriguez
factoriales1 = [fact x|x<-[0..]]
fact 0 = 1
fact x = x*fact (x-1)
-- Jaime Alberto
-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = [1]++(zipWith f [1..] [2..])
where f n y = product ([1..n]++[y])

-- Emilio Martinez

-- Por recursiÃ³n:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = 1:(aux 1 [1..])
where aux n (x:xs)= (n*x):(aux (n*x) xs)

-- Emilio Martinez

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = scanl (*) 1 [1..]

-- Emilio Martinez

-- Usando iterate:
-- Fran Franco
factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = map snd (iterate (\(x,y)->(x+1,x*y)) (1,1))

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- *Main> take 10 factoriales1
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales2
-- [1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales3
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 528020 bytes)

-- *Main> take 10 factoriales4
-- [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

-- Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Rocio Rodriguez
prop_espejo x = espejo (espejo x)==x
quickCheck prop_espejo
+++ OK, passed 100 tests.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez
-- Rocio Rodriguez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- Realizado por Nikola Drousie:
-- Rocio Rodriguez

postorden' :: Arbol a -> [a]
postorden' Hoja = []
postorden' (Nodo a i d) = postorden' i ++ postorden' d ++ [a]
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero
-- Jaime Alberto
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)

--Emilio Martinez
-- Jaime Alberto
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el nÃºmero de nodos de la
-- imagen especular de un Ã¡rbol es el mismo que el nÃºmero de nodos del
-- Ã¡rbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x

-- La comprobaciÃ³n es

-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo _ i d) = 1+ max(profundidad i) (profundidad d)

--Emilio Martinez
-- Francisco Javier Carmona
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>