Lógica matemática y fundamentos (2014-15) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 7

2015-04-10T14:32:30Z

Emimarriv:

<source lang = "haskell">
-- TablerosSemánticos.hs
-- Tableros semánticos proposicionales.
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us.es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module TablerosSemanticos where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import SintaxisSemantica
import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Literales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 0: Definir la función
-- literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo,
-- literal p ==> True
-- literal (no p) ==> True
-- literal (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

literal :: Prop -> Bool
literal (Atom f) = True
literal (Neg (Atom f)) = True
literal _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Notación uniforme --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir la función
-- dobleNegación :: Prop -> Bool
-- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por
-- ejemplo,
-- dobleNegación (no (no p)) ==> True
-- dobleNegación (no (p --> q)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

dobleNegación :: Prop -> Bool
dobleNegación (Neg (Neg f)) = True
dobleNegación _ = False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir la función
-- alfa :: Prop -> Bool
-- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.
-- ---------------------------------------------------------------------

alfa :: Prop -> Bool
alfa (Conj f g) = True
alfa (Neg (Disj f g))=True
alfa (Neg(Impl f g))=True
alfa (Equi f g) = True
alfa _ =False
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- beta :: Prop -> Bool
-- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.
-- ---------------------------------------------------------------------

beta :: Prop -> Bool
beta (Disj f g) = True
beta (Neg (Conj f g))=True
beta (Impl f g)=True
beta (Neg (Equi f g)) = True
beta _ =False

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir la función
-- componentes :: Prop -> [Prop]
-- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula
-- f. Por ejemplo,
-- componentes (p /\ q --> r) ==> [no (p /\ q),r]
-- componentes (no (p /\ q --> r)) ==> [(p /\ q),no r]
-- ---------------------------------------------------------------------

componentes :: Prop -> [Prop]
componentes (Conj f g) = [f,g]
componentes (Neg (Impl f g)) = [f, no g]
componentes (Neg (Disj f g)) = [no f, no g]
componentes (Equi f g) = [no (f-->g), no (g-->f)]

componentes g = [quitanegacion (no x)|x<-componentes (quitanegacion (no g))]
where quitanegacion (Neg (Neg f)) =f
quitanegacion f = f
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos mediante tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool
-- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de
-- literales. Por ejemplo,
-- conjuntoDeLiterales [p --> q, no r, r /\ s, p] ==> False
-- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool
conjuntoDeLiterales = all (literal)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir la función
-- tieneContradicción :: [Prop] -> Bool
-- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una
-- fórmula y su negación. Por ejemplo,
-- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

tieneContradicción :: [Prop] -> Bool
tieneContradicción fs = or [elem (no p) fs| p<-fs]
tieneContradicción' fs = or (map (\x-> elem (no x) fs) fs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- expansiónDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble
-- negación f. Por ejemplo,
-- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==> [[q,p,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónDN fs (Neg (Neg f)) = [f:(filter (/=Neg(Neg f)) fs)]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- expansiónAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la
-- fórmula alfa f. Por ejemplo,
-- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==> [[p1,p2,q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónAlfa fs f = [componentes f++(filter (/=f) fs)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- expansiónBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
-- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la
-- fórmula beta f. Por ejemplo,
-- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==> [[p1,q,r],[p2,q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

expansiónBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]]
expansiónBeta fs f = [x:(filter(/=f) fs), y:(filter (/=f) fs)]
where x = head (componentes f)
y = last (componentes f)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,
-- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] => [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]
-- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] => [[p1,p2,r,(q \/ s)]]
-- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] => [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucesores :: [Prop] -> [[Prop]]
sucesores xs |existeDN xs = expansiónDN xs x
|existeAlfa xs = expansiónAlfa xs y
| otherwise = expansiónBeta xs z
where existeDN xs = or (map
(dobleNegación) xs)
existeAlfa xs= or (map (alfa) xs)
x= head (filter (dobleNegación) xs)
y= head (filter (alfa) xs)
z= head (filter (beta) xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs
-- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,
-- modelosTab [p --> q, no(q --> p)]
-- ==> [[no p,q],[q,no p]]
-- modelosTab [p --> q, no q --> no p]
-- ==> [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]]
modelosTab fs = [x |x<-aux xs, (not.tieneContradicción) x]

where aux xs |conjuntoDeLiterales xs = [xs]
| otherwise =map (nub) (concat[(modelosTab x)|x<-sucesores xs])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por
-- ejemplo,
-- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==> True
-- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto [] _ = True
subconjunto [x] [y] =False
subconjunto (x:xs) ys |elem x ys = subconjunto xs ys
| otherwise=False
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]]
-- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales
-- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por
-- ejemplo,
-- modelosGenerales [p --> q, no q --> no p] ==> [[no p],[q]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]]
modelosGenerales fs = aux ps (modelosTab fs)
where aux [] ys = ys
aux (x:xs) ys = aux xs (delete x ys)
ps = [x |x<-modelosTab fs, f x (modelosTab fs)]
f x xs = or [ subconjunto y x|y<-xs,x/=y]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Teoremas por tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool
-- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es
-- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo,
-- esTeoremaPorTableros (p --> p) ==> True
-- esTeoremaPorTableros (p --> q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool
esTeoremaPorTableros f = null (modelosTab [no f])
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia por tableros --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es
-- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por
-- ejemplo,
-- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p <--> r) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool
esDeduciblePorTableros fs f = null (modelosGenerales (no f:fs))

</source>

2015-02-09T17:07:33Z

Emimarriv:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

*Main> perfectos 500
[6,28,496]
(1.44 secs, 15935120 bytes)

*Main> perfectos2 500
[6,28,496]
(0.22 secs, 14803544 bytes)

Es decir, el segundo es más eficiente.

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y =distanciaAux xs ys
| otherwise =[1]++(distanciaAux xs ys)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

Pablo José Gerlach Mena

-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = undefined

-- Por recursión:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = undefined

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = undefined

-- Usando iterate:

factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = undefined

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el nÃºmero de nodos de la
-- imagen especular de un Ã¡rbol es el mismo que el nÃºmero de nodos del
-- Ã¡rbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x

-- La comprobaciÃ³n es

-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo _ i d) = 1+ max(profundidad i) (profundidad d)

--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>

Relación 1

2015-02-09T17:02:59Z

Emimarriv:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

*Main> perfectos 500
[6,28,496]
(1.44 secs, 15935120 bytes)

*Main> perfectos2 500
[6,28,496]
(0.22 secs, 14803544 bytes)

Es decir, el segundo es más eficiente.

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y =distanciaAux xs ys
| otherwise =[1]++(distanciaAux xs ys)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

Pablo José Gerlach Mena

-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = undefined

-- Por recursión:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = undefined

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = undefined

-- Usando iterate:

factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = undefined

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el nÃºmero de nodos de la
-- imagen especular de un Ã¡rbol es el mismo que el nÃºmero de nodos del
-- Ã¡rbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x

-- La comprobaciÃ³n es

-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>

Relación 1

2015-02-09T16:59:10Z

Emimarriv:

<source lang = "haskell">
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media3 x y z = (x+y+z)/3

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra x = rem x 10

Miriam R.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------

perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]

Definimos las funciones auxiliares:

factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]

esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n

También podríamos definirla como:

perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]

Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:

prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n

Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:

*Main> perfectos 500
[6,28,496]
(1.44 secs, 15935120 bytes)

*Main> perfectos2 500
[6,28,496]
(0.22 secs, 14803544 bytes)

Es decir, el segundo es más eficiente.

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)

Definimos la función auxiliar:

distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y =distanciaAux xs ys
| otherwise =[1]++(distanciaAux xs ys)

Pablo José Gerlach Mena

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]

Pablo José Gerlach Mena

-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = undefined

-- Por recursión:

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = undefined

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = undefined

-- Usando iterate:

factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = undefined

-- Comparación de los tiempos de evaluación:

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n

-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.

-- Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducciÃ³n que para todo Ã¡rbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
DemostraciÃ³n por inducciÃ³n en x

[Caso base: Hoja]

espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja

Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed

[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]

[Sea N a i d con i, d arboles]

espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def

como i, d son arboles por hipótesis de induccion

= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d

Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed

Emilio Martinez
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la funciÃ³n
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del Ã¡rbol x; es decir, primero visita la raÃz del Ã¡rbol, a
-- continuaciÃ³n recorre el subÃ¡rbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subÃ¡rbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)

--Emilio Martinez

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la funciÃ³n
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del Ã¡rbol x; es decir, primero recorre el subÃ¡rbol
-- izquierdo, a continuaciÃ³n el subÃ¡rbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del Ã¡rbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo Ã¡rbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x

-- La comprobaciÃ³n es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.

--Emilio Martinez Rivero

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración por inducción en x.

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
Demostración:

-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)

</source>