Problema 1

Enunciado

Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
nv(p → p ∨ q) = 3.
prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
           |Vari Char
           |Nega F
           |Conj F F
           |Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = 1 + (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d) 

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1 + (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 ≤ 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = 1 + (nv m) ≤ 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = 1+ (prof m)≤ 1+ 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que 
n ≤ 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n≤ 2^n -> 2n≤2^(n+1), luego si (n+1)≤2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1≤n.
 
nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) ≤ 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}

De Lógica matemática y fundamentos (2012-13)

Enunciado