Lógica matemática y fundamentos (2012-13) Lógica matemática y fundamentos (2012-13)

-- FormasNormales.hs
-- Formas normales.
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module FormasNormales where

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-- Librería suxiliares                                                --
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import SintaxisSemantica 
import Data.List

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-- Equivalencia lógica                                                --
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-- Ejercicio 1: Definir la función
--    esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
-- tal que (esEquivalente f g) se verifica si f y g son
-- equivalentes. Por ejemplo,
--    esEquivalente (p <--> q) ((p --> q) /\ (q --> p))  ==>  True
--    esEquivalente (p --> q)  ((no p) \/ q)             ==>  True
--    esEquivalente (p /\ q)   (no ((no p) \/ (no q)))   ==>  True
--    esEquivalente (p \/ q)   (no ((no p) /\ (no q)))   ==>  True
-- ---------------------------------------------------------------------

esEquivalente :: Prop -> Prop -> Bool
esEquivalente f g = undefined

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-- Transformación a forma normal negativa                             --
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-- Ejercicio 2: Definir la función
--    eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de equivalencia. Por ejemplo,
--    eliminaEquivalencias (p <--> q)
--    ==> ((p --> q) /\ (q --> p))
--    eliminaEquivalencias ((p <--> q) /\ (q <--> r))
--    ==> (((p --> q) /\ (q --> p)) /\ ((q --> r) /\ (r --> q)))
-- ---------------------------------------------------------------------

eliminaEquivalencias :: Prop -> Prop
eliminaEquivalencias = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
--    eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
-- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin
-- signos de implicación. Por ejemplo,
--    eliminaImplicaciones (p --> q)
--    ==> (no p \/ q)
--    eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p <--> q))
--    ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
-- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.
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eliminaImplicaciones :: Prop -> Prop
eliminaImplicaciones  = undefined

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-- Ejercicio 4: Definir la función
--    interiorizaNegación :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde
-- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,
--    interiorizaNegación (no (no p))         ==>  p
--    interiorizaNegación (no (p /\ q))       ==>  (no p \/ no q)
--    interiorizaNegación (no (p \/ q))       ==>  (no p /\ no q)
--    interiorizaNegación (no (no (p \/ q)))  ==>  (p \/ q)
--    interiorizaNegación (no ((no p) \/ q))  ==>  (p /\ no q)
-- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones. 
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaNegación :: Prop -> Prop
interiorizaNegación = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
--    formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal negativa. Por ejemplo,
--    formaNormalNegativa (p <--> q)
--    ==> ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))
--    formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --> r)
--    ==> ((no p /\ q) \/ r)
--    formaNormalNegativa ((p /\ (q --> r)) --> s)
--    ==> ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalNegativa :: Prop -> Prop
formaNormalNegativa f = undefined

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-- Literales                                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

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-- Ejercicio 6: Definir la función
--    literal :: Prop -> Bool
-- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por
-- ejemplo, 
--    literal p               ==>  True
--    literal (no p)          ==>  True
--    literal (no (p --> q))  ==>  False
-- ---------------------------------------------------------------------

literal :: Prop -> Bool
literal = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de
-- fórmula. 
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type Literal = Prop

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-- Ejercicio 8: Definir la función
--    complementario :: Literal -> Literal
-- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,
--    complementario p       ==>  no p
--    complementario (no p)  ==>  p
-- ---------------------------------------------------------------------

complementario :: Literal -> Literal
complementario = undefined 

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-- Ejercicio 9: Definir la función
--    literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
-- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la
-- fórmula en forma normal negativa f.
--    literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r))  ==>  [p,no q,r]
--    literalesFórmulaFNN p                     ==>  [p]
--    literalesFórmulaFNN (no p)                ==>  [no p]
-- ---------------------------------------------------------------------

literalesFórmulaFNN :: Prop -> [Literal]
literalesFórmulaFNN = undefined 

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-- Transformación a forma normal conjuntiva                           --
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-- Ejercicio 10: Definir la función
--    interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por
-- ejemplo,  
--    interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r))  ==>  ((p \/ q) /\ (p \/ r))
--    interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r)  ==>  ((p \/ r) /\ (q \/ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaDisyunción :: Prop -> Prop
interiorizaDisyunción = undefined 

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-- Ejercicio 11: Definir la función
--    formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,
--    formaNormalConjuntiva (p /\ (q --> r))
--    ==> (p /\ (no q \/ r))
--    formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --> r)))
--    ==> ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))
--    formaNormalConjuntiva (no(p <--> r))
--    ==> (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))
-- ---------------------------------------------------------------------

formaNormalConjuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (formaNormalNegativa f)

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-- Ejercicio 11.2: validaPorFNC

validaPorFNC:: Prop -> Bool
validaPorFNC = undefined

-- validaPorFNC ((p --> q) \/ (q --> p))    == True
-- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False
-- validaPorFNC (p --> p)                   == True

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-- Transformación a forma normal disyuntiva                           --
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-- Ejercicio 12: Definir la función
--    interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
-- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f
-- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por
-- ejemplo,  
--    interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r))  ==>  ((p /\ q) \/ (p /\ r))
--    interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r)  ==>  ((p /\ r) \/ (q /\ r))
-- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.
-- ---------------------------------------------------------------------

interiorizaConjunción :: Prop -> Prop
interiorizaConjunción = undefined

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-- Ejercicio 13: Definir la función
--    formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
-- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en
-- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,
--    formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --> r))
--    ==> ((p /\ no q) \/ (p /\ r))
--    formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --> r)))
--    ==> (no p \/ (q /\ no r))
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formaNormalDisyuntiva :: Prop -> Prop
formaNormalDisyuntiva f = undefined

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-- Ejercicio 13.2: satisfaciblePorFND


satisfaciblePorFND:: Prop -> Bool
satisfaciblePorFND f = undefined


-- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True
-- satisfaciblePorFND (p /\ (no p))               == False
-- satisfaciblePorFND ((p --> q) \/ (q --> p))    == True