Pedrosrei en 10:44 29 may 2013

2013-05-29T10:44:17Z

Mjoseh: Página creada con ' header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL } theory R14 imports Main begin text { ------------------------------------------------...'

2013-05-29T09:32:35Z

Página creada con '<source lang = "Isar"> header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *} theory R14 imports Main begin text {* ------------------------------------------------...'

Página nueva

<source lang = "Isar">
header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R14
imports Main
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares n = undefined"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaImpares n = n*n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno n = undefined"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia n x = undefined"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p xs = undefined"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR n = undefined"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1

factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

corollary "factI n = factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia xs y = undefined"

value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end

</source>

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
       sumaImpares 5  =  25
    ------------------------------------------------------------------ *}
+  -- "Pedro Ros"
 fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
-   "sumaImpares n = undefined"
+   "sumaImpares 0 = 0 "
 value "sumaImpares 5" -- "= 25"
@@ Línea 23: / Línea 24: @@
       sumaImpares n = n*n
    ------------------------------------------------------------------- *}
+  -- "Pedro Ros"
 lemma "sumaImpares n = n*n"
-oops
+proof (induct n)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 35: / Línea 42: @@
       sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
    ------------------------------------------------------------------ *}
+  -- "Pedro Ros"
 fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
-   "sumaPotenciasDeDosMasUno n = undefined"
+   "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
 value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"
@@ Línea 45: / Línea 53: @@
       sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
    ------------------------------------------------------------------- *}
+  -- "Pedro Ros"
 lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
-oops
+proof (induct n)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 56: / Línea 70: @@
       copia 3 x = [x,x,x]
    ------------------------------------------------------------------ *}
+  -- "Pedro Ros"
 fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
-   "copia n x = undefined"
+   "copia 0 _ =[] "
 value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"
@@ Línea 71: / Línea 86: @@
    Nota: La conjunción se representa por ∧
    ----------------------------------------------------------------- *}
+  -- "Pedro Ros"
 fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
-   "todos p xs = undefined"
+    "todos p [] = True"
 value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
@@ Línea 82: / Línea 98: @@
    iguales a x.
    ------------------------------------------------------------------- *}
+  -- "Pedro Ros"
 lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
-oops
+proof (induct n)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 92: / Línea 114: @@
      factR 4 = 24
    ------------------------------------------------------------------ *}
+  -- "Pedro Ros"
 fun factR :: "nat ⇒ nat" where
-   "factR n = undefined"
+   "factR 0     = 1"
 value "factR 4" -- "= 24"

Relación 14 - Historial de revisiones

Pedrosrei en 10:44 29 may 2013

Mjoseh: Página creada con ' header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *} theory R14 imports Main begin text {* ------------------------------------------------...'

Mjoseh: Página creada con ' header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL } theory R14 imports Main begin text { ------------------------------------------------...'