Lógica matemática y fundamentos (2012-13) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 6

2013-03-27T11:03:34Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_9:
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_11:
assumes 1:"∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))"and
2:"∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))" and
3:"∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))" and
"∀x. (x≠m)"
shows "∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_12:
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-
ejemplo. *)

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))"
"∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))"
"∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))"
"∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))"
shows "∃x.(D(x) ∧ B(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_21:
assumes 1:"∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) "and
2:"∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))" and
"∀x. (P(x)⟶F(x))"
shows "¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_22:
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_23:
assumes 1:"¬(∃x. P(x)∧R(x))" and
2:"∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))"
shows "P(a)⟶Q(a)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-27T11:01:26Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_9:
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_11:
assumes 1:"∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))"and
2:"∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))" and
3:"∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))" and
"∀x. (x≠m)"
shows "∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_12:
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-
ejemplo. *)

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))"
"∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))"
"∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))"
"∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))"
shows "∃x.(D(x) ∧ B(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_21:
assumes 1:"∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) "and
2:"∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))" and
"∀x. (P(x)⟶F(x))"
shows "¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_22:
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_23:
assumes 1:"¬(∃x. P(x)∧R(x))" and
2:"∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))"
shows "P(a)⟶Q(a)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T14:33:05Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-
ejemplo. *)

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))"
"∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))"
"∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))"
"∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))"
shows "∃x.(D(x) ∧ B(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T12:29:01Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T12:25:22Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.*)
(*Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T12:20:15Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.*)
(*Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T12:07:17Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.*)
(*Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T12:05:28Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un *)
(* contraejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.*)
(*Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-26T02:15:34Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.*)
(*Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-24T01:05:19Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-24T01:00:50Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
text (* Lo he hecho con apli2 y lo tengo bien, pero no sé qué pasa que
Isabelle no lo prueba y además da un contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-24T00:57:37Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. He hecho el ejercicio con apli2 y lo tengo bien,
pero no sé qué pasa que Isabelle no lo demuestra y da un contra-
ejemplo con quickcheck"

assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-24T00:00:01Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. He hecho el ejercicio con apli2 y lo tengo bien,
pero no sé qué pasa que Isabelle no lo demuestra y da un contra-
ejemplo con quickcheck"

assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-23T18:01:02Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-23T17:42:35Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-23T14:58:53Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-23T14:56:38Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x) )"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-22T22:38:49Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-22T22:28:32Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 5

2013-03-20T14:08:53Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R5: Eliminación de conectivas *}

theory R5
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta es relación es demostrar cómo a partir de las
conectivas False, ∧ y ⟶ pueden definirse las restantes.
---------------------------------------------------------------------
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir ⟷ usando ∧ y ⟶; es decir, sustituir en
(A ⟷ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ∧ y ⟷ y
demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Lo divido en dos subpruebas por resultarme más cómodo *}
lemma ejercicio_1a:
assumes 0: "(A ⟷ B)"
shows "(A⟶B)∧(B⟶A)"
proof -
have 1:"A⟶ B" using 0 ..
have 2:"B⟶A" using 0 ..
show "(A⟶B)∧(B⟶A)" using 1 2 ..
qed

lemma ejercicio_1b:
assumes "(A⟶B)∧(B⟶A)"
shows "(A ⟷ B)"
proof
assume A
have 1: "(A⟶B)" using assms ..
show B using 1 `A` ..
next
assume B
have 2: "(B⟶A)" using assms ..
show A using 2 `B` ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir ¬ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(¬A) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes "(A⟶ False)"
shows "¬A"
using ccontr
proof
assume "¬¬False"
thus "False" by (rule notnotD)
next
show "¬A"
proof (rule ccontr)
assume "¬¬A"
hence "A" by (rule notnotD)
show "False" using assms `A` ..
qed
qed

lemma ejercicio_2b:
assumes "¬A"
shows "A⟶ False"
proof
assume "A"
show "False" using assms `A` by (rule notE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir ∨ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(A ∨ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3a:
assumes "(A ⟶ False) ⟶ B"
shows "A ∨ B"
proof (rule disjE)
show "¬A ∨ A" by (rule excluded_middle)
next
assume "¬A"
{assume "A"
have False using `¬A` `A`..}
hence "A ⟶ False"..
with assms(1) have "B"..
thus "A ∨ B"..
next
assume "A"
thus "A ∨ B"..
qed

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∨ B"
shows "(A ⟶ False) ⟶ B"
proof
assume 1: "A ⟶ False"
show "B" using assms(1)
proof
assume "A"
with 1 have False..
thus "B"..
next
assume "B"
thus "B".
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Encontrar una fórmula equivalente a
(A ∨ (B ∧ C)) ⟷ A
que sólo use las conectivas False, ∧ y ⟶ y demostrar la
equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. Usaré el ejercicio 1 que ha puesto Pedro y el 3 que he puesto yo"

lemma ejercicio_4a:
assumes "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
shows "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
proof
have 1: "((A ∨ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A ⟶ (A ∨ B ∧ C))" using assms by (rule ejercicio_1a)
hence 2: "(A ∨ B ∧ C) ⟶ A"..
have 3: "A ⟶ (A ∨ B ∧ C)" using 1..
show "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A"
proof
assume "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"
hence "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)
with 2 show "A"..
qed
show "A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C)"
proof
assume "A"
with 3 have "A ∨ B ∧ C"..
thus "(A ⟶ False)⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
qed
qed

lemma ejercicio_4b:
assumes "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
shows "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
proof
have 1: "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟷ A" using assms by (rule ejercicio_1b)
{assume "A ∨ B ∧ C"
hence "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
with 1 show "A"..}
{assume "A"
with 1 have "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"..
thus "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)}
qed

end
</source>

Relación 5

2013-03-20T14:06:40Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R5: Eliminación de conectivas *}

theory R5
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta es relación es demostrar cómo a partir de las
conectivas False, ∧ y ⟶ pueden definirse las restantes.
---------------------------------------------------------------------
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir ⟷ usando ∧ y ⟶; es decir, sustituir en
(A ⟷ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ∧ y ⟷ y
demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Lo divido en dos subpruebas por resultarme más cómodo *}
lemma ejercicio_1a:
assumes 0: "(A ⟷ B)"
shows "(A⟶B)∧(B⟶A)"
proof -
have 1:"A⟶ B" using 0 ..
have 2:"B⟶A" using 0 ..
show "(A⟶B)∧(B⟶A)" using 1 2 ..
qed

lemma ejercicio_1b:
assumes "(A⟶B)∧(B⟶A)"
shows "(A ⟷ B)"
proof
assume A
have 1: "(A⟶B)" using assms ..
show B using 1 `A` ..
next
assume B
have 2: "(B⟶A)" using assms ..
show A using 2 `B` ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir ¬ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(¬A) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes "(A⟶ False)"
shows "¬A"
using ccontr
proof
assume "¬¬False"
thus "False" by (rule notnotD)
next
show "¬A"
proof (rule ccontr)
assume "¬¬A"
hence "A" by (rule notnotD)
show "False" using assms `A` ..
qed
qed

lemma ejercicio_2b:
assumes "¬A"
shows "A⟶ False"
proof
assume "A"
show "False" using assms `A` by (rule notE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir ∨ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(A ∨ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3a:
assumes "(A ⟶ False) ⟶ B"
shows "A ∨ B"
proof (rule disjE)
show "¬A ∨ A" by (rule excluded_middle)
next
assume "¬A"
{assume "A"
have False using `¬A` `A`..}
hence "A ⟶ False"..
with assms(1) have "B"..
thus "A ∨ B"..
next
assume "A"
thus "A ∨ B"..
qed

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∨ B"
shows "(A ⟶ False) ⟶ B"
proof
assume 1: "A ⟶ False"
show "B" using assms(1)
proof
assume "A"
with 1 have False..
thus "B"..
next
assume "B"
thus "B".
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Encontrar una fórmula equivalente a
(A ∨ (B ∧ C)) ⟷ A
que sólo use las conectivas False, ∧ y ⟶ y demostrar la
equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. Usaré el ejercicio 1 que ha puesto Pedro y el 3 que he puesto yo"

lemma ejercicio_4a:
assumes "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
shows "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
proof
have 1: "((A ∨ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A ⟶ (A ∨ B ∧ C))" using assms by (rule ejercicio_1a)
hence 2: "(A ∨ B ∧ C) ⟶ A"..
have 3: "A ⟶ (A ∨ B ∧ C)" using 1..
show "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A"
proof
assume "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"
hence 4: "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)
with 2 show "A"..
qed
show "A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C)"
proof
assume "A"
with 3 have "A ∨ B ∧ C"..
thus "(A ⟶ False)⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
qed
qed

lemma ejercicio_4b:
assumes "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
shows "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
proof
have 1: "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟷ A" using assms by (rule ejercicio_1b)
{assume "A ∨ B ∧ C"
hence "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
with 1 show "A"..}
{assume "A"
with 1 have "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"..
thus "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)}
qed

end
</source>

Relación 5

2013-03-20T13:59:45Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R5: Eliminación de conectivas *}

theory R5
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta es relación es demostrar cómo a partir de las
conectivas False, ∧ y ⟶ pueden definirse las restantes.
---------------------------------------------------------------------
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir ⟷ usando ∧ y ⟶; es decir, sustituir en
(A ⟷ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ∧ y ⟷ y
demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Lo divido en dos subpruebas por resultarme más cómodo *}
lemma ejercicio_1a:
assumes 0: "(A ⟷ B)"
shows "(A⟶B)∧(B⟶A)"
proof -
have 1:"A⟶ B" using 0 ..
have 2:"B⟶A" using 0 ..
show "(A⟶B)∧(B⟶A)" using 1 2 ..
qed

lemma ejercicio_1b:
assumes "(A⟶B)∧(B⟶A)"
shows "(A ⟷ B)"
proof
assume A
have 1: "(A⟶B)" using assms ..
show B using 1 `A` ..
next
assume B
have 2: "(B⟶A)" using assms ..
show A using 2 `B` ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir ¬ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(¬A) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes "(A⟶ False)"
shows "¬A"
using ccontr
proof
assume "¬¬False"
thus "False" by (rule notnotD)
next
show "¬A"
proof (rule ccontr)
assume "¬¬A"
hence "A" by (rule notnotD)
show "False" using assms `A` ..
qed
qed

lemma ejercicio_2b:
assumes "¬A"
shows "A⟶ False"
proof
assume "A"
show "False" using assms `A` by (rule notE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir ∨ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(A ∨ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3a:
assumes "(A ⟶ False) ⟶ B"
shows "A ∨ B"
proof (rule disjE)
show "¬A ∨ A" by (rule excluded_middle)
next
assume "¬A"
{assume "A"
have False using `¬A` `A`..}
hence "A ⟶ False"..
with assms(1) have "B"..
thus "A ∨ B"..
next
assume "A"
thus "A ∨ B"..
qed

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∨ B"
shows "(A ⟶ False) ⟶ B"
proof
assume 1: "A ⟶ False"
show "B" using assms(1)
proof
assume "A"
with 1 have False..
thus "B"..
next
assume "B"
thus "B".
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Encontrar una fórmula equivalente a
(A ∨ (B ∧ C)) ⟷ A
que sólo use las conectivas False, ∧ y ⟶ y demostrar la
equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. Usaré el ejercicio 1 que ha puesto Pedro y el 3 que he puesto yo"

lemma ejercicio_4a:
assumes "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
shows "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
proof
have 1: "((A ∨ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A ⟶ (A ∨ B ∧ C))" using assms by (rule ejercicio_1a)
hence 2: "(A ∨ B ∧ C) ⟶ A"..
have 3: "A ⟶ (A ∨ B ∧ C)" using 1..
show "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A"
proof
assume "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"
hence 4: "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)
show "A" using 4
proof
assume "A"
thus "A".
next
assume "B ∧ C"
hence "A ∨ B ∧ C"..
with 2 show "A"..
qed
qed
show "A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C)"
proof
assume "A"
with 3 have "A ∨ B ∧ C"..
thus "(A ⟶ False)⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
qed
qed

lemma ejercicio_4b:
assumes "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
shows "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
proof
have 1: "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟷ A" using assms by (rule ejercicio_1b)
{assume "A ∨ B ∧ C"
hence "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
with 1 show "A"..}
{assume "A"
with 1 have "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"..
thus "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)}
qed

end
</source>

Relación 5

2013-03-19T23:02:12Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R5: Eliminación de conectivas *}

theory R5
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta es relación es demostrar cómo a partir de las
conectivas False, ∧ y ⟶ pueden definirse las restantes.
---------------------------------------------------------------------
*}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir ⟷ usando ∧ y ⟶; es decir, sustituir en
(A ⟷ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ∧ y ⟷ y
demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Lo divido en dos subpruebas por resultarme más cómodo *}
lemma ejercicio_1a:
assumes 0: "(A ⟷ B)"
shows "(A⟶B)∧(B⟶A)"
proof -
have 1:"A⟶ B" using 0 ..
have 2:"B⟶A" using 0 ..
show "(A⟶B)∧(B⟶A)" using 1 2 ..
qed

lemma ejercicio_1b:
assumes "(A⟶B)∧(B⟶A)"
shows "(A ⟷ B)"
proof
assume A
have 1: "(A⟶B)" using assms ..
show B using 1 `A` ..
next
assume B
have 2: "(B⟶A)" using assms ..
show A using 2 `B` ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir ¬ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(¬A) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes "(A⟶ False)"
shows "¬A"
using ccontr
proof
assume "¬¬False"
thus "False" by (rule notnotD)
next
show "¬A"
proof (rule ccontr)
assume "¬¬A"
hence "A" by (rule notnotD)
show "False" using assms `A` ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir ∨ usando ⟶ y False; es decir, sustituir en
(A ∨ B) = indefinida
la indefinida por una fórmula que sólo usa las conectivas ⟶ y False
y demostrar la equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3a:
assumes "(A ⟶ False) ⟶ B"
shows "A ∨ B"
proof (rule disjE)
show "¬A ∨ A" by (rule excluded_middle)
next
assume "¬A"
{assume "A"
have False using `¬A` `A`..}
hence "A ⟶ False"..
with assms(1) have "B"..
thus "A ∨ B"..
next
assume "A"
thus "A ∨ B"..
qed

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∨ B"
shows "(A ⟶ False) ⟶ B"
proof
assume 1: "A ⟶ False"
show "B" using assms(1)
proof
assume "A"
with 1 have False..
thus "B"..
next
assume "B"
thus "B".
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Encontrar una fórmula equivalente a
(A ∨ (B ∧ C)) ⟷ A
que sólo use las conectivas False, ∧ y ⟶ y demostrar la
equivalencia.
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo. Usaré el ejercicio 1 que ha puesto Pedro y el 3 que he puesto yo"

lemma ejercicio_4a:
assumes "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
shows "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
proof -
have 1: "((A ∨ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A ⟶ (A ∨ B ∧ C))" using assms by (rule ejercicio_1a)
hence 2: "(A ∨ B ∧ C) ⟶ A"..
have 3: "A ⟶ (A ∨ B ∧ C)" using 1..
have 4: "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A"
proof
assume "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"
hence 5: "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)
show "A"
using 5
proof
assume "A"
thus "A".
next
assume "B ∧ C"
hence "A ∨ B ∧ C"..
with 2 show "A"..
qed
qed
have 6: "A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C)"
proof
assume "A"
with 3 have "A ∨ B ∧ C"..
thus "(A ⟶ False)⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
qed
show "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))" using 4 6..
qed

lemma ejercicio_4b:
assumes "(((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟶ A) ∧ (A⟶((A ⟶ False)⟶ B ∧ C))"
shows "(A ∨ B ∧ C) ⟷ A"
proof
have 1: "((A ⟶ False) ⟶ B ∧ C) ⟷ A" using assms by (rule ejercicio_1b)
{assume "A ∨ B ∧ C"
hence "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C" by (rule ejercicio_3b)
with 1 show "A"..}
{assume "A"
with 1 have "(A ⟶ False) ⟶ B ∧ C"..
thus "A ∨ B ∧ C" by (rule ejercicio_3a)}
qed

end
</source>

Relación 5

2013-03-19T15:23:55Z

Raumonpaj:

Relación 4

2013-03-18T23:02:27Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R4: Argumentación proposicional *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación formalizar y demostrar la corrección de
los argumentos usando sólo las reglas básicas de deducción natural de
la lógica proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen
contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo
tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece
constante.
Usar T para "La temperatura permanece constante",
P para "La presión atmosférica permanece constante" y
L para "Llueve".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_1:
assumes "T ∧ P ⟶ ¬L" and
"T"
shows "L ⟶ ¬P"
proof
assume "L"
show "¬P"
proof
assume "P"
have "T ∧ P" using `T` `P` ..
have "¬L" using assms(1) `T ∧ P` ..
thus "False" using `L` ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número
x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.
Usar D para "el número es divisible por 10" y
C para "el número acaba en cero".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_2:
assumes "D⟶ C" and
"¬C"
shows "¬D"
proof -
show "¬D" using assms(1) assms(2) by (rule mt)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el
paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el
caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se
ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco
B, el paciente ha mejorado considerablemente.
Usar A: Hemos empleado el fármaco A.
B: Hemos empleado el fármaco B.
M: El paciente ha mejorado notablemente.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Si alguien consigue una demostración sin usar or1 e igual de corta,
por favor que la ponga, aunque luego lo
uso otra vez *}
lemma or1:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

lemma ejercicio_3a:
assumes 1:"A⟶ ((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" and
2:"A ∨ B" and
3: "A⟶ ¬B" and
4: "B⟶ ¬ A"
shows "¬B⟶ M"
proof
assume "¬B"
have "A" using 2 `¬B` by (rule or1)
have "((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" using 1 `A`..
hence "(¬B⟶ M)" ..
thus "M" using `¬B` ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∧ M ⟷ ¬B ∧ A"
"A ∨ B"
shows "¬B ⟶ M"
using assms (2)
proof
assume "A"
{assume "¬B"
have "¬B ∧ A" using `¬B` `A`..
with assms(1) have "A ∧ M"..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
next
assume "B"
{assume "¬B"
have "M" using `¬B` `B`..}
thus "¬B ⟶ M"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana
escrito.
Usar M: El mañana está escrito.
A: El ayer está escrito.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
"(¬M ∧ ¬A)⟶ ¬ M"
proof
assume "(¬M ∧ ¬A)"
thus "¬M" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Me matan si no trabajo y si trabajo me matan. Me matan siempre me
matan.
Usar M: Me matan.
T: Trabajo.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* Pedro Ros. Defino la ley del tercero exluido demostrada en la relación 3 ya. *}
lemma LEM: "P ∨ ¬P"
by auto

lemma ejercicio_5a:
assumes 1:"¬T ⟶ M" and
2: "T ⟶ M"
shows "M"
using LEM
proof
assume "T"
show "M" using 2 `T` by (rule mp)
next
assume "¬T"
show "M" using 1 `¬T` ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_5b:
assumes "¬T ⟶ M"
"T ⟶ M"
shows "M"
proof (rule ccontr)
assume 1:"¬M"
with assms(1) have 2:"¬¬T" by (rule mt)
have 3: "¬T" using assms(2) 1 by (rule mt)
show False using 2 3..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si te llamé por teléfono, entonces recibiste mi llamada y no es
cierto que no te avisé del peligro que corrías. Por consiguiente,
como te llamé, es cierto que te avisé del peligro que corrías.
Usar T: Te llamé por teléfono.
R: Recibiste mi llamada.
P: Te avisé del peligro que corrías.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_6:
assumes "T⟶ (R∧ ¬¬P)"
shows "T⟶ P"
proof
assume "T"
have "R∧ ¬¬P" using assms `T` ..
hence "¬¬P" ..
thus "P" by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece
ilimitadamente; pero si la población crece ilimitadamente,
aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control
de nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
Usar N: Hay control de nacimientos.
P: La población crece ilimitadamente,
I: Aumentará el índice de pobreza.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7a:
assumes 1:"¬N⟶ P" and
2:"P⟶ I"
shows "¬N⟶ I"
proof
assume "¬N"
have "P" using 1 `¬N` ..
with 2 show "I" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era
inteligente las hubiera comprendido. O el general desobedeció las
órdenes o no las comprendió. Luego, el general era desleal o no era
inteligente.
Usar L: El general es leal.
O: El general obedece las órdenes.
I: El general es inteligente.
C: El general comprende las órdenes.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Por alguna razón he tenido que cambiar O por P para que funcione *}
lemma ejercicio_8a:
assumes 1: "L⟶ P" and
2: "I⟶ C" and
3: "¬P ∨ ¬C"
shows "¬L ∨ ¬I"

using assms(3)
proof
assume "¬P"
show "¬L ∨ ¬I"
proof
show "¬L" using 1 `¬P` by (rule mt)
qed
next
assume "¬C"
show "¬L ∨ ¬I"
proof -
have "¬I" using 2 `¬C` by (rule mt)
show "¬L ∨ ¬I" using `¬I` by (rule disjI2)
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo
haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería
omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no
evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es
malévolo. Luego, Dios no existe.
Usar C: Dios es capaz de evitar el mal.
Q: Dios quiere evitar el mal.
O: Dios es omnipotente.
M: Dios es malévolo.
P: Dios evita el mal.
E: Dios existe.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Cambio O por W para que me funcione. Y defino otra regla básica *}
lemma negconj:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

lemma ejercicio_10:
assumes 1:"(C∧Q)⟶ P" and
2:"¬C ⟶ ¬W" and
3:"¬Q ⟶ M" and
4: "¬P" and
5: "E ⟶ (W ∧ ¬M)"
shows "¬E"
proof
have 6: "¬(C∧Q)" using 1 4 by (rule mt)
hence 7: "¬C ∨ ¬Q" by (rule negconj)
assume "E"
show "False"
proof -
have 8: "W∧ ¬M" using 5 `E`..
hence "W" ..
have "¬M" using 8 ..
have 9: "¬¬Q" using 3 `¬M` by (rule mt)
hence "Q" by (rule notnotD)
have 10: "¬C" using 7 9 by (rule or1)
have "¬W" using 2 10 ..
thus "False" using `W` ..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Nadie más que Pedro, Quintín y Raúl están bajo sospecha y al menos
uno es traidor. Pedro nunca trabaja sin llevar al menos un cómplice
(que puede ser Quintín o Raúl). Raúl es leal. Por lo tanto,
Pedro es traidor.
Usar p: Pedro es traidor.
q : Quintín es traidor.
r : Raúl es traidor.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* No es cierto como se demuestra con {¬p,q,¬r}. Además isabelle me dice que es mentira al
hacerlo con auto, podemos hacer que Pedro sea traidor (p) pero no es siempre cierto, puede serlo
Quintín sólo, o Quintín y Pedro, lo que está claro que el traidor es Quintín siempre. aun así lo
formalizo y con quickcheck (para que los usuarios de jedit, puedan verlo) *}

lemma ejercicio_10a:
assumes 1:"p∨q∨r" and
2:"p⟶ (q∨r)" and
3:"¬r"
shows "p"
quickcheck
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada,
entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de
funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje
de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en
estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo
tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes
del operador.
Usar A: La válvula está abierta.
P : La monitorización está preparada.
R : Envía una señal de reconocimiento.
F : Envía un mensaje de funcionamiento.
N : El sistema está en estado normal.
O : Se aceptan órdenes del operador.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Cambio W por O *}

lemma ejercicio_11:
assumes 1:"(A∨P)⟶ (R∧F)" and
2:"F∨N ⟶ W"
shows "A⟶ W"
proof
assume "A"
show "W"
proof -
have 3:"A∨P" using `A` by (rule disjI1)
have 4:"R∧F" using 1 3 ..
hence 5: "F" ..
hence 6: "F∨N" ..
show "W" using 2 6 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si trabajo gano dinero, pero si no trabajo gozo de la vida. Sin
embargo, si trabajo no gozo de la vida, mientras que si no trabajo
no gano dinero. Por lo tanto, gozo de la vida si y sólo si no gano
dinero.
Usar p: Trabajo
q: Gano dinero.
r: Gozo de la vida.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_12:
assumes 1:"(p⟶q)∧(¬p⟶r)" and
2:"(p⟶¬r)∧(¬p⟶¬q)"
shows "r ⟷¬q"
proof
assume r
show "¬q"
proof -
have 3:"p⟶¬r" using 2 ..
have "¬¬r" using `r` by (rule notnotI)
with 3 have 4: "¬p" by (rule mt)
have 5:"¬p⟶¬q" using 2 ..
show "¬q" using 5 4 by (rule mp)
qed
next
assume "¬q"
show "r"
proof -
have 3:"p⟶q" using 1 ..
have 4: "¬p" using 3 `¬q` by (rule mt)
have 5: "¬p⟶r" using 1 ..
show "r" using 5 4 ..
qed
qed

end
</source>

Relación 4

2013-03-18T22:37:12Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R4: Argumentación proposicional *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación formalizar y demostrar la corrección de
los argumentos usando sólo las reglas básicas de deducción natural de
la lógica proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen
contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo
tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece
constante.
Usar T para "La temperatura permanece constante",
P para "La presión atmosférica permanece constante" y
L para "Llueve".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_1:
assumes "T ∧ P ⟶ ¬L" and
"T"
shows "L ⟶ ¬P"
proof
assume "L"
show "¬P"
proof
assume "P"
have "T ∧ P" using `T` `P` ..
have "¬L" using assms(1) `T ∧ P` ..
thus "False" using `L` ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número
x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.
Usar D para "el número es divisible por 10" y
C para "el número acaba en cero".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_2:
assumes "D⟶ C" and
"¬C"
shows "¬D"
proof -
show "¬D" using assms(1) assms(2) by (rule mt)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el
paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el
caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se
ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco
B, el paciente ha mejorado considerablemente.
Usar A: Hemos empleado el fármaco A.
B: Hemos empleado el fármaco B.
M: El paciente ha mejorado notablemente.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Si alguien consigue una demostración sin usar or1 e igual de corta,
por favor que la ponga, aunque luego lo
uso otra vez *}
lemma or1:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

lemma ejercicio_3a:
assumes 1:"A⟶ ((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" and
2:"A ∨ B" and
3: "A⟶ ¬B" and
4: "B⟶ ¬ A"
shows "¬B⟶ M"
proof
assume "¬B"
have "A" using 2 `¬B` by (rule or1)
have "((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" using 1 `A`..
hence "(¬B⟶ M)" ..
thus "M" using `¬B` ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∧ M ⟷ ¬B ∧ A"
"A ∨ B"
shows "¬B ⟶ M"
using assms (2)
proof
assume "A"
{assume "¬B"
have "¬B ∧ A" using `¬B` `A`..
with assms(1) have "A ∧ M"..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
next
assume "B"
{assume "¬B"
have "M" using `¬B` `B`..}
thus "¬B ⟶ M"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana
escrito.
Usar M: El mañana está escrito.
A: El ayer está escrito.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
"(¬M ∧ ¬A)⟶ ¬ M"
proof
assume "(¬M ∧ ¬A)"
thus "¬M" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Me matan si no trabajo y si trabajo me matan. Me matan siempre me
matan.
Usar M: Me matan.
T: Trabajo.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* Pedro Ros. Defino la ley del tercero exluido demostrada en la relación 3 ya. *}
lemma LEM: "P ∨ ¬P"
by auto

lemma ejercicio_5a:
assumes 1:"¬T ⟶ M" and
2: "T ⟶ M"
shows "M"
using LEM
proof
assume "T"
show "M" using 2 `T` by (rule mp)
next
assume "¬T"
show "M" using 1 `¬T` ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si te llamé por teléfono, entonces recibiste mi llamada y no es
cierto que no te avisé del peligro que corrías. Por consiguiente,
como te llamé, es cierto que te avisé del peligro que corrías.
Usar T: Te llamé por teléfono.
R: Recibiste mi llamada.
P: Te avisé del peligro que corrías.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_6:
assumes "T⟶ (R∧ ¬¬P)"
shows "T⟶ P"
proof
assume "T"
have "R∧ ¬¬P" using assms `T` ..
hence "¬¬P" ..
thus "P" by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece
ilimitadamente; pero si la población crece ilimitadamente,
aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control
de nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
Usar N: Hay control de nacimientos.
P: La población crece ilimitadamente,
I: Aumentará el índice de pobreza.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7a:
assumes 1:"¬N⟶ P" and
2:"P⟶ I"
shows "¬N⟶ I"
proof
assume "¬N"
have "P" using 1 `¬N` ..
with 2 show "I" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era
inteligente las hubiera comprendido. O el general desobedeció las
órdenes o no las comprendió. Luego, el general era desleal o no era
inteligente.
Usar L: El general es leal.
O: El general obedece las órdenes.
I: El general es inteligente.
C: El general comprende las órdenes.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Por alguna razón he tenido que cambiar O por P para que funcione *}
lemma ejercicio_8a:
assumes 1: "L⟶ P" and
2: "I⟶ C" and
3: "¬P ∨ ¬C"
shows "¬L ∨ ¬I"

using assms(3)
proof
assume "¬P"
show "¬L ∨ ¬I"
proof
show "¬L" using 1 `¬P` by (rule mt)
qed
next
assume "¬C"
show "¬L ∨ ¬I"
proof -
have "¬I" using 2 `¬C` by (rule mt)
show "¬L ∨ ¬I" using `¬I` by (rule disjI2)
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo
haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería
omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no
evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es
malévolo. Luego, Dios no existe.
Usar C: Dios es capaz de evitar el mal.
Q: Dios quiere evitar el mal.
O: Dios es omnipotente.
M: Dios es malévolo.
P: Dios evita el mal.
E: Dios existe.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Cambio O por W para que me funcione. Y defino otra regla básica *}
lemma negconj:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

lemma ejercicio_10:
assumes 1:"(C∧Q)⟶ P" and
2:"¬C ⟶ ¬W" and
3:"¬Q ⟶ M" and
4: "¬P" and
5: "E ⟶ (W ∧ ¬M)"
shows "¬E"
proof
have 6: "¬(C∧Q)" using 1 4 by (rule mt)
hence 7: "¬C ∨ ¬Q" by (rule negconj)
assume "E"
show "False"
proof -
have 8: "W∧ ¬M" using 5 `E`..
hence "W" ..
have "¬M" using 8 ..
have 9: "¬¬Q" using 3 `¬M` by (rule mt)
hence "Q" by (rule notnotD)
have 10: "¬C" using 7 9 by (rule or1)
have "¬W" using 2 10 ..
thus "False" using `W` ..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Nadie más que Pedro, Quintín y Raúl están bajo sospecha y al menos
uno es traidor. Pedro nunca trabaja sin llevar al menos un cómplice
(que puede ser Quintín o Raúl). Raúl es leal. Por lo tanto,
Pedro es traidor.
Usar p: Pedro es traidor.
q : Quintín es traidor.
r : Raúl es traidor.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* No es cierto como se demuestra con {¬p,q,¬r}. Además isabelle me dice que es mentira al
hacerlo con auto, podemos hacer que Pedro sea traidor (p) pero no es siempre cierto, puede serlo
Quintín sólo, o Quintín y Pedro, lo que está claro que el traidor es Quintín siempre. aun así lo
formalizo y con quickcheck (para que los usuarios de jedit, puedan verlo) *}

lemma ejercicio_10a:
assumes 1:"p∨q∨r" and
2:"p⟶ (q∨r)" and
3:"¬r"
shows "p"
quickcheck
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada,
entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de
funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje
de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en
estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo
tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes
del operador.
Usar A: La válvula está abierta.
P : La monitorización está preparada.
R : Envía una señal de reconocimiento.
F : Envía un mensaje de funcionamiento.
N : El sistema está en estado normal.
O : Se aceptan órdenes del operador.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Cambio W por O *}

lemma ejercicio_11:
assumes 1:"(A∨P)⟶ (R∧F)" and
2:"F∨N ⟶ W"
shows "A⟶ W"
proof
assume "A"
show "W"
proof -
have 3:"A∨P" using `A` by (rule disjI1)
have 4:"R∧F" using 1 3 ..
hence 5: "F" ..
hence 6: "F∨N" ..
show "W" using 2 6 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si trabajo gano dinero, pero si no trabajo gozo de la vida. Sin
embargo, si trabajo no gozo de la vida, mientras que si no trabajo
no gano dinero. Por lo tanto, gozo de la vida si y sólo si no gano
dinero.
Usar p: Trabajo
q: Gano dinero.
r: Gozo de la vida.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_12:
assumes 1:"(p⟶q)∧(¬p⟶r)" and
2:"(p⟶¬r)∧(¬p⟶¬q)"
shows "r ⟷¬q"
proof
assume r
show "¬q"
proof -
have 3:"p⟶¬r" using 2 ..
have "¬¬r" using `r` by (rule notnotI)
with 3 have 4: "¬p" by (rule mt)
have 5:"¬p⟶¬q" using 2 ..
show "¬q" using 5 4 by (rule mp)
qed
next
assume "¬q"
show "r"
proof -
have 3:"p⟶q" using 1 ..
have 4: "¬p" using 3 `¬q` by (rule mt)
have 5: "¬p⟶r" using 1 ..
show "r" using 5 4 ..
qed
qed

end
</source>

Relación 4

2013-03-18T22:31:39Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R4: Argumentación proposicional *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación formalizar y demostrar la corrección de
los argumentos usando sólo las reglas básicas de deducción natural de
la lógica proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen
contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo
tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece
constante.
Usar T para "La temperatura permanece constante",
P para "La presión atmosférica permanece constante" y
L para "Llueve".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_1:
assumes "T ∧ P ⟶ ¬L" and
"T"
shows "L ⟶ ¬P"
proof
assume "L"
show "¬P"
proof
assume "P"
have "T ∧ P" using `T` `P` ..
have "¬L" using assms(1) `T ∧ P` ..
thus "False" using `L` ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número
x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.
Usar D para "el número es divisible por 10" y
C para "el número acaba en cero".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_2:
assumes "D⟶ C" and
"¬C"
shows "¬D"
proof -
show "¬D" using assms(1) assms(2) by (rule mt)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el
paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el
caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se
ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco
B, el paciente ha mejorado considerablemente.
Usar A: Hemos empleado el fármaco A.
B: Hemos empleado el fármaco B.
M: El paciente ha mejorado notablemente.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Si alguien consigue una demostración sin usar or1 e igual de corta,
por favor que la ponga, aunque luego lo
uso otra vez *}
lemma or1:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

lemma ejercicio_3a:
assumes 1:"A⟶ ((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" and
2:"A ∨ B" and
3: "A⟶ ¬B" and
4: "B⟶ ¬ A"
shows "¬B⟶ M"
proof
assume "¬B"
have "A" using 2 `¬B` by (rule or1)
have "((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" using 1 `A`..
hence "(¬B⟶ M)" ..
thus "M" using `¬B` ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∧ M ⟷ ¬B ∧ A"
"A ∨ B"
shows "¬B ⟶ M"
using assms (2)
proof
assume "A"
{assume "¬B"
have "¬B ∧ A" using `¬B` `A`..
with assms(1) have "A ∧ M"..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
next
assume "B"
{assume "¬B"
have False using `¬B` `B`..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana
escrito.
Usar M: El mañana está escrito.
A: El ayer está escrito.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
"(¬M ∧ ¬A)⟶ ¬ M"
proof
assume "(¬M ∧ ¬A)"
thus "¬M" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Me matan si no trabajo y si trabajo me matan. Me matan siempre me
matan.
Usar M: Me matan.
T: Trabajo.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* Pedro Ros. Defino la ley del tercero exluido demostrada en la relación 3 ya. *}
lemma LEM: "P ∨ ¬P"
by auto

lemma ejercicio_5a:
assumes 1:"¬T ⟶ M" and
2: "T ⟶ M"
shows "M"
using LEM
proof
assume "T"
show "M" using 2 `T` by (rule mp)
next
assume "¬T"
show "M" using 1 `¬T` ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si te llamé por teléfono, entonces recibiste mi llamada y no es
cierto que no te avisé del peligro que corrías. Por consiguiente,
como te llamé, es cierto que te avisé del peligro que corrías.
Usar T: Te llamé por teléfono.
R: Recibiste mi llamada.
P: Te avisé del peligro que corrías.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_6:
assumes "T⟶ (R∧ ¬¬P)"
shows "T⟶ P"
proof
assume "T"
have "R∧ ¬¬P" using assms `T` ..
hence "¬¬P" ..
thus "P" by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece
ilimitadamente; pero si la población crece ilimitadamente,
aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control
de nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
Usar N: Hay control de nacimientos.
P: La población crece ilimitadamente,
I: Aumentará el índice de pobreza.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7a:
assumes 1:"¬N⟶ P" and
2:"P⟶ I"
shows "¬N⟶ I"
proof
assume "¬N"
have "P" using 1 `¬N` ..
with 2 show "I" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era
inteligente las hubiera comprendido. O el general desobedeció las
órdenes o no las comprendió. Luego, el general era desleal o no era
inteligente.
Usar L: El general es leal.
O: El general obedece las órdenes.
I: El general es inteligente.
C: El general comprende las órdenes.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Por alguna razón he tenido que cambiar O por P para que funcione *}
lemma ejercicio_8a:
assumes 1: "L⟶ P" and
2: "I⟶ C" and
3: "¬P ∨ ¬C"
shows "¬L ∨ ¬I"

using assms(3)
proof
assume "¬P"
show "¬L ∨ ¬I"
proof
show "¬L" using 1 `¬P` by (rule mt)
qed
next
assume "¬C"
show "¬L ∨ ¬I"
proof -
have "¬I" using 2 `¬C` by (rule mt)
show "¬L ∨ ¬I" using `¬I` by (rule disjI2)
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo
haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería
omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no
evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es
malévolo. Luego, Dios no existe.
Usar C: Dios es capaz de evitar el mal.
Q: Dios quiere evitar el mal.
O: Dios es omnipotente.
M: Dios es malévolo.
P: Dios evita el mal.
E: Dios existe.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Cambio O por W para que me funcione. Y defino otra regla básica *}
lemma negconj:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

lemma ejercicio_10:
assumes 1:"(C∧Q)⟶ P" and
2:"¬C ⟶ ¬W" and
3:"¬Q ⟶ M" and
4: "¬P" and
5: "E ⟶ (W ∧ ¬M)"
shows "¬E"
proof
have 6: "¬(C∧Q)" using 1 4 by (rule mt)
hence 7: "¬C ∨ ¬Q" by (rule negconj)
assume "E"
show "False"
proof -
have 8: "W∧ ¬M" using 5 `E`..
hence "W" ..
have "¬M" using 8 ..
have 9: "¬¬Q" using 3 `¬M` by (rule mt)
hence "Q" by (rule notnotD)
have 10: "¬C" using 7 9 by (rule or1)
have "¬W" using 2 10 ..
thus "False" using `W` ..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Nadie más que Pedro, Quintín y Raúl están bajo sospecha y al menos
uno es traidor. Pedro nunca trabaja sin llevar al menos un cómplice
(que puede ser Quintín o Raúl). Raúl es leal. Por lo tanto,
Pedro es traidor.
Usar p: Pedro es traidor.
q : Quintín es traidor.
r : Raúl es traidor.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* No es cierto como se demuestra con {¬p,q,¬r}. Además isabelle me dice que es mentira al
hacerlo con auto, podemos hacer que Pedro sea traidor (p) pero no es siempre cierto, puede serlo
Quintín sólo, o Quintín y Pedro, lo que está claro que el traidor es Quintín siempre. aun así lo
formalizo y con quickcheck (para que los usuarios de jedit, puedan verlo) *}

lemma ejercicio_10a:
assumes 1:"p∨q∨r" and
2:"p⟶ (q∨r)" and
3:"¬r"
shows "p"
quickcheck
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada,
entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de
funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje
de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en
estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo
tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes
del operador.
Usar A: La válvula está abierta.
P : La monitorización está preparada.
R : Envía una señal de reconocimiento.
F : Envía un mensaje de funcionamiento.
N : El sistema está en estado normal.
O : Se aceptan órdenes del operador.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Cambio W por O *}

lemma ejercicio_11:
assumes 1:"(A∨P)⟶ (R∧F)" and
2:"F∨N ⟶ W"
shows "A⟶ W"
proof
assume "A"
show "W"
proof -
have 3:"A∨P" using `A` by (rule disjI1)
have 4:"R∧F" using 1 3 ..
hence 5: "F" ..
hence 6: "F∨N" ..
show "W" using 2 6 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si trabajo gano dinero, pero si no trabajo gozo de la vida. Sin
embargo, si trabajo no gozo de la vida, mientras que si no trabajo
no gano dinero. Por lo tanto, gozo de la vida si y sólo si no gano
dinero.
Usar p: Trabajo
q: Gano dinero.
r: Gozo de la vida.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_12:
assumes 1:"(p⟶q)∧(¬p⟶r)" and
2:"(p⟶¬r)∧(¬p⟶¬q)"
shows "r ⟷¬q"
proof
assume r
show "¬q"
proof -
have 3:"p⟶¬r" using 2 ..
have "¬¬r" using `r` by (rule notnotI)
with 3 have 4: "¬p" by (rule mt)
have 5:"¬p⟶¬q" using 2 ..
show "¬q" using 5 4 by (rule mp)
qed
next
assume "¬q"
show "r"
proof -
have 3:"p⟶q" using 1 ..
have 4: "¬p" using 3 `¬q` by (rule mt)
have 5: "¬p⟶r" using 1 ..
show "r" using 5 4 ..
qed
qed

end
</source>

Relación 4

2013-03-18T22:21:09Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R4: Argumentación proposicional *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación formalizar y demostrar la corrección de
los argumentos usando sólo las reglas básicas de deducción natural de
la lógica proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen
contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo
tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece
constante.
Usar T para "La temperatura permanece constante",
P para "La presión atmosférica permanece constante" y
L para "Llueve".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_1:
assumes "T ∧ P ⟶ ¬L" and
"T"
shows "L ⟶ ¬P"
proof
assume "L"
show "¬P"
proof
assume "P"
have "T ∧ P" using `T` `P` ..
have "¬L" using assms(1) `T ∧ P` ..
thus "False" using `L` ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número
x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.
Usar D para "el número es divisible por 10" y
C para "el número acaba en cero".
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_2:
assumes "D⟶ C" and
"¬C"
shows "¬D"
proof -
show "¬D" using assms(1) assms(2) by (rule mt)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el
paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el
caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se
ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco
B, el paciente ha mejorado considerablemente.
Usar A: Hemos empleado el fármaco A.
B: Hemos empleado el fármaco B.
M: El paciente ha mejorado notablemente.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Si alguien consigue una demostración sin usar or1 e igual de corta,
por favor que la ponga, aunque luego lo
uso otra vez *}
lemma or1:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

lemma ejercicio_3a:
assumes 1:"A⟶ ((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" and
2:"A ∨ B" and
3: "A⟶ ¬B" and
4: "B⟶ ¬ A"
shows "¬B⟶ M"
proof
assume "¬B"
have "A" using 2 `¬B` by (rule or1)
have "((M⟶ ¬B)∧(¬B⟶ M))" using 1 `A`..
hence "(¬B⟶ M)" ..
thus "M" using `¬B` ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_3b:
assumes "A ∧ M ⟷ ¬B ∧ A"
"A ∨ B"
shows "¬B ⟶ M"
using assms (2)
proof
assume "A"
{assume "¬B"
have "¬B ∧ A ⟶ A ∧ M" using assms (1)..
have "¬B ∧ A" using `¬B` `A`..
with `¬B ∧ A ⟶ A ∧ M` have "A ∧ M"..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
next
assume "B"
{assume "¬B"
have False using `¬B` `B`..
hence "M"..}
thus "¬B ⟶ M"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no está el mañana ni el ayer escrito, entonces no está el mañana
escrito.
Usar M: El mañana está escrito.
A: El ayer está escrito.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
"(¬M ∧ ¬A)⟶ ¬ M"
proof
assume "(¬M ∧ ¬A)"
thus "¬M" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Me matan si no trabajo y si trabajo me matan. Me matan siempre me
matan.
Usar M: Me matan.
T: Trabajo.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* Pedro Ros. Defino la ley del tercero exluido demostrada en la relación 3 ya. *}
lemma LEM: "P ∨ ¬P"
by auto

lemma ejercicio_5a:
assumes 1:"¬T ⟶ M" and
2: "T ⟶ M"
shows "M"
using LEM
proof
assume "T"
show "M" using 2 `T` by (rule mp)
next
assume "¬T"
show "M" using 1 `¬T` ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si te llamé por teléfono, entonces recibiste mi llamada y no es
cierto que no te avisé del peligro que corrías. Por consiguiente,
como te llamé, es cierto que te avisé del peligro que corrías.
Usar T: Te llamé por teléfono.
R: Recibiste mi llamada.
P: Te avisé del peligro que corrías.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_6:
assumes "T⟶ (R∧ ¬¬P)"
shows "T⟶ P"
proof
assume "T"
have "R∧ ¬¬P" using assms `T` ..
hence "¬¬P" ..
thus "P" by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece
ilimitadamente; pero si la población crece ilimitadamente,
aumentará el índice de pobreza. Por consiguiente, si no hay control
de nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
Usar N: Hay control de nacimientos.
P: La población crece ilimitadamente,
I: Aumentará el índice de pobreza.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7a:
assumes 1:"¬N⟶ P" and
2:"P⟶ I"
shows "¬N⟶ I"
proof
assume "¬N"
have "P" using 1 `¬N` ..
with 2 show "I" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si el general era leal, hubiera obedecido las órdenes, y si era
inteligente las hubiera comprendido. O el general desobedeció las
órdenes o no las comprendió. Luego, el general era desleal o no era
inteligente.
Usar L: El general es leal.
O: El general obedece las órdenes.
I: El general es inteligente.
C: El general comprende las órdenes.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Por alguna razón he tenido que cambiar O por P para que funcione *}
lemma ejercicio_8a:
assumes 1: "L⟶ P" and
2: "I⟶ C" and
3: "¬P ∨ ¬C"
shows "¬L ∨ ¬I"

using assms(3)
proof
assume "¬P"
show "¬L ∨ ¬I"
proof
show "¬L" using 1 `¬P` by (rule mt)
qed
next
assume "¬C"
show "¬L ∨ ¬I"
proof -
have "¬I" using 2 `¬C` by (rule mt)
show "¬L ∨ ¬I" using `¬I` by (rule disjI2)
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si Dios fuera capaz de evitar el mal y quisiera hacerlo, lo
haría. Si Dios fuera incapaz de evitar el mal, no sería
omnipotente; si no quisiera evitar el mal sería malévolo. Dios no
evita el mal. Si Dios existe, es omnipotente y no es
malévolo. Luego, Dios no existe.
Usar C: Dios es capaz de evitar el mal.
Q: Dios quiere evitar el mal.
O: Dios es omnipotente.
M: Dios es malévolo.
P: Dios evita el mal.
E: Dios existe.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro. Cambio O por W para que me funcione. Y defino otra regla básica *}
lemma negconj:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

lemma ejercicio_10:
assumes 1:"(C∧Q)⟶ P" and
2:"¬C ⟶ ¬W" and
3:"¬Q ⟶ M" and
4: "¬P" and
5: "E ⟶ (W ∧ ¬M)"
shows "¬E"
proof
have 6: "¬(C∧Q)" using 1 4 by (rule mt)
hence 7: "¬C ∨ ¬Q" by (rule negconj)
assume "E"
show "False"
proof -
have 8: "W∧ ¬M" using 5 `E`..
hence "W" ..
have "¬M" using 8 ..
have 9: "¬¬Q" using 3 `¬M` by (rule mt)
hence "Q" by (rule notnotD)
have 10: "¬C" using 7 9 by (rule or1)
have "¬W" using 2 10 ..
thus "False" using `W` ..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Nadie más que Pedro, Quintín y Raúl están bajo sospecha y al menos
uno es traidor. Pedro nunca trabaja sin llevar al menos un cómplice
(que puede ser Quintín o Raúl). Raúl es leal. Por lo tanto,
Pedro es traidor.
Usar p: Pedro es traidor.
q : Quintín es traidor.
r : Raúl es traidor.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* No es cierto como se demuestra con {¬p,q,¬r}. Además isabelle me dice que es mentira al
hacerlo con auto, podemos hacer que Pedro sea traidor (p) pero no es siempre cierto, puede serlo
Quintín sólo, o Quintín y Pedro, lo que está claro que el traidor es Quintín siempre. aun así lo
formalizo y con quickcheck (para que los usuarios de jedit, puedan verlo) *}

lemma ejercicio_10a:
assumes 1:"p∨q∨r" and
2:"p⟶ (q∨r)" and
3:"¬r"
shows "p"
quickcheck
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada,
entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de
funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje
de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en
estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo
tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes
del operador.
Usar A: La válvula está abierta.
P : La monitorización está preparada.
R : Envía una señal de reconocimiento.
F : Envía un mensaje de funcionamiento.
N : El sistema está en estado normal.
O : Se aceptan órdenes del operador.
------------------------------------------------------------------ *}
text {* Pedro Ros. Cambio W por O *}

lemma ejercicio_11:
assumes 1:"(A∨P)⟶ (R∧F)" and
2:"F∨N ⟶ W"
shows "A⟶ W"
proof
assume "A"
show "W"
proof -
have 3:"A∨P" using `A` by (rule disjI1)
have 4:"R∧F" using 1 3 ..
hence 5: "F" ..
hence 6: "F∨N" ..
show "W" using 2 6 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar, y demostrar la corrección, del siguiente
argumento
Si trabajo gano dinero, pero si no trabajo gozo de la vida. Sin
embargo, si trabajo no gozo de la vida, mientras que si no trabajo
no gano dinero. Por lo tanto, gozo de la vida si y sólo si no gano
dinero.
Usar p: Trabajo
q: Gano dinero.
r: Gozo de la vida.
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"

lemma ejercicio_12:
assumes 1:"(p⟶q)∧(¬p⟶r)" and
2:"(p⟶¬r)∧(¬p⟶¬q)"
shows "r ⟷¬q"
proof
assume r
show "¬q"
proof -
have 3:"p⟶¬r" using 2 ..
have "¬¬r" using `r` by (rule notnotI)
with 3 have 4: "¬p" by (rule mt)
have 5:"¬p⟶¬q" using 2 ..
show "¬q" using 5 4 by (rule mp)
qed
next
assume "¬q"
show "r"
proof -
have 3:"p⟶q" using 1 ..
have 4: "¬p" using 3 `¬q` by (rule mt)
have 5: "¬p⟶r" using 1 ..
show "r" using 5 4 ..
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-17T17:58:08Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_48b:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p ∨ ¬q" using assms .
next
assume 1: "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof
assume "p∧q"
hence 2: "p" ..
show "False" using 1 2 ..
qed
next
assume 1: "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof
assume "p∧q"
hence 2: "q" ..
show "False" using 1 2 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_54b:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with assms have "¬¬q" by (rule mt)
thus q by (rule notnotD)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
with `p` show "p ∧ q"..
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
thus False
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-16T10:07:32Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
with `p` show "p ∧ q"..
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
thus False
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-16T10:02:06Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q⟶r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
with `p` show "p ∧ q"..
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
thus False
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-16T01:06:54Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r` have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s` have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "p ∧ q" using `p` `q`..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
thus False
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Usuario:Raumonpaj

2013-03-16T01:00:01Z

Raumonpaj: Página creada con 'Raúl Montes Pajuelo'

Raúl Montes Pajuelo

Relación 3

2013-03-15T23:45:28Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q⟶r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
show "p ∧ q" using `p` `q`..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
thus False
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T23:32:14Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q⟶r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
show "p ∧ q" using `p` `q`..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 61: Examen de Diciembre del 2005. Demostrar
⊢(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_61:
"(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)⟶(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)"
show "(p ⟶ ¬(q ∨ r))"
proof (rule impI)
assume "p"
show "¬(q ∨ r)"
proof (rule notI)
assume "q ∨ r"
show False using `q ∨ r`
proof
assume "q"
hence "¬¬q" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬q" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬q` `¬¬q` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
next
assume "r"
hence "¬¬r" by (rule notnotI)
have "p ⟶ ¬r" using `(p ⟶ ¬q) ∧ (p ⟶ ¬r)`..
have "¬p" using `p ⟶ ¬r` `¬¬r` by (rule mt)
show False using `¬p` `p`..
qed
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T22:59:59Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Septiembre del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q⟶r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
show "p ∧ q" using `p` `q`..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T19:16:30Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Junio del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 60: Examen de Junio del 2005. Demostrar
p ∧ ¬(q ⟶ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ ¬r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_60:
assumes "p ∧ ¬(q ⟶ r)"
shows "(p ∧ q) ∧ ¬r"
proof (rule conjI)
have "p" using assms..
have "¬(q ⟶ r)" using assms..
have "q"
proof (rule ccontr)
assume "¬q"
have "q⟶r"
proof
assume "q"
with `¬q` have False..
thus "r"..
qed
with `¬(q ⟶ r)` show False..
qed
show "¬r"
proof (rule notI)
assume "r"
have "q ⟶ r"
proof
assume "q"
show "r" using `r`.
qed
with `¬(q ⟶ r)`show False..
qed
show "p ∧ q" using `p` `q`..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T18:42:15Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Junio del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T18:41:06Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_20a:
assumes "p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof (rule conjI)
show "p ⟶ q"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "q" ..
qed
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q ∧ r` have "q ∧ r" ..
thus "r" ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

-- "Antonio Jesús Molero"
lemma ejercicio_29c:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms
proof (rule disjE)
assume "p"
thus "p" by this
next
assume "p"
thus "p" by this
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

-- "Raúl Montes Pajuelo: Voy a añadir algunos ejercicios de examen más. Creo que es interesante tenerlos aquí resueltos"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 59: Examen de Junio del 2006. Demostrar
(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s) ⊢ (p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_59:
assumes "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)"
shows "(p ∧ q) ⟶ (r ∨ s)"
proof
assume "p ∧ q"
show "r ∨ s"
proof (rule disjE)
show "(p ⟶ r) ∨ (q ⟶ s)" using assms.
next
show "p ⟶ r ⟹ r ∨ s"
proof -
assume "p ⟶ r"
have "p" using `p ∧ q`..
with `p ⟶ r`have "r"..
thus "r ∨ s"..
qed
next
show "q ⟶ s ⟹ (r ∨ s)"
proof -
assume "q ⟶ s"
have "q" using `p ∧ q`..
with `q ⟶ s`have "s"..
thus "r ∨ s"..
qed
qed
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T16:14:53Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T10:53:41Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T10:50:22Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_1d:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof (rule impE)
show "p⟶q" using assms(1).
next
show "p" using assms(2).
next
show "q" using assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T23:11:02Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T23:09:49Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T23:08:20Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T23:06:18Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T23:03:01Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
lemma ejercicio_11:
shows "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T22:51:28Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
lemma ejercicio_11:
shows "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T18:40:33Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
lemma ejercicio_11:
shows "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-14T18:29:32Z

Raumonpaj:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
lemma ejercicio_11:
shows "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"

proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

--Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>