https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Pedrosrei 2026-07-19T09:58:48Z Contribuciones del usuario MediaWiki 1.31.14 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_14&diff=548 2013-05-29T10:44:17Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R14: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R14<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Definir la función<br /> sumaImpares :: nat ⇒ nat<br /> tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números<br /> impares. Por ejemplo,<br /> sumaImpares 5 = 25<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun sumaImpares :: &quot;nat ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;sumaImpares 0 = 0 &quot;<br /> |&quot;sumaImpares (Suc n) = (2*n +1)+ (sumaImpares n)&quot;<br /> <br /> value &quot;sumaImpares 5&quot; -- &quot;= 25&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar que <br /> sumaImpares n = n*n<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma &quot;sumaImpares n = n*n&quot;<br /> proof (induct n)<br /> show &quot;sumaImpares 0 = 0*0&quot; by simp<br /> next<br /> fix n<br /> assume &quot;sumaImpares n= n*n&quot;<br /> thus &quot;sumaImpares (Suc n) = (Suc n)*(Suc n)&quot; by simp<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Definir la función<br /> sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat<br /> tal que <br /> (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. <br /> Por ejemplo, <br /> sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot; <br /> fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: &quot;nat ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2&quot;<br /> |&quot;sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = (2^(Suc n))+(sumaPotenciasDeDosMasUno n)&quot;<br /> <br /> value &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno 3&quot; -- &quot;= 16&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar que <br /> sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot; <br /> lemma &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)&quot;<br /> proof (induct n)<br /> show &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0 + 1)&quot; by simp<br /> next<br /> fix n<br /> assume &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n + 1)&quot;<br /> thus &quot;sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n)= 2^(Suc n + 1)&quot; by simp<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Definir la función<br /> copia :: nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list<br /> tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento<br /> x. Por ejemplo, <br /> copia 3 x = [x,x,x]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun copia :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;copia 0 _ =[] &quot;<br /> |&quot;copia (Suc n) x = (x#(copia n x))&quot;<br /> <br /> value &quot;copia 3 x&quot; -- &quot;= [x,x,x]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Definir la función<br /> todos :: (&#039;a ⇒ bool) ⇒ &#039;a list ⇒ bool<br /> tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen<br /> la propiedad p. Por ejemplo,<br /> todos (λx. x&gt;(1::nat)) [2,6,4] = True<br /> todos (λx. x&gt;(2::nat)) [2,6,4] = False<br /> Nota: La conjunción se representa por ∧<br /> ----------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun todos :: &quot;(&#039;a ⇒ bool) ⇒ &#039;a list ⇒ bool&quot; where<br /> &quot;todos p [] = True&quot;<br /> | &quot;todos p (x#xs) = ((p x) ∧ (todos p xs))&quot;<br /> <br /> value &quot;todos (λx. x&gt;(1::nat)) [2,6,4]&quot; -- &quot;= True&quot;<br /> value &quot;todos (λx. x&gt;(2::nat)) [2,6,4]&quot; -- &quot;= False&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son<br /> iguales a x. <br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma &quot;todos (λy. y=x) (copia n x)&quot;<br /> proof (induct n)<br /> show &quot;todos (λy. y=x) (copia 0 x)&quot; by simp<br /> next<br /> fix n<br /> assume &quot;todos (λy. y=x) (copia n x)&quot;<br /> thus&quot;todos (λy. y=x) (copia (Suc n) x)&quot; by simp<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Definir la función<br /> factR :: nat ⇒ nat<br /> tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,<br /> factR 4 = 24<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun factR :: &quot;nat ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;factR 0 = 1&quot;<br /> | &quot;factR (Suc n) = (Suc n) * (factR n)&quot;<br /> <br /> value &quot;factR 4&quot; -- &quot;= 24&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la<br /> función factorial <br /> factI :: &quot;nat ⇒ nat&quot; where<br /> factI n = factI&#039; n 1<br /> <br /> factI&#039; :: nat ⇒ nat ⇒ nat&quot; where<br /> factI&#039; 0 x = x<br /> factI&#039; (Suc n) x = factI&#039; n (Suc n)*x<br /> Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene <br /> factI&#039; n x = x * factR n<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> <br /> fun factI&#039; :: &quot;nat ⇒ nat ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;factI&#039; 0 x = x&quot;<br /> | &quot;factI&#039; (Suc n) x = factI&#039; n (Suc n)*x&quot;<br /> <br /> fun factI :: &quot;nat ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;factI n = factI&#039; n 1&quot;<br /> <br /> value &quot;factI 4&quot; -- &quot;= 24&quot;<br /> <br /> lemma fact: &quot;factI&#039; n x = x * factR n&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar que<br /> factI n = factR n<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> <br /> corollary &quot;factI n = factR n&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función<br /> amplia :: &#039;a list ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list<br /> tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al<br /> final de la lista xs. Por ejemplo,<br /> amplia [d,a] t = [d,a,t]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun amplia :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;amplia xs y = undefined&quot;<br /> <br /> value &quot;amplia [d,a] t&quot; -- &quot;= [d,a,t]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar que <br /> amplia xs y = xs @ [y]<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> <br /> lemma &quot;amplia xs y = xs @ [y]&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_13&diff=540 2013-05-26T09:22:49Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R13: Programación funcional en Isabelle *}<br /> <br /> theory R13<br /> imports Main<br /> begin<br /> <br /> text {* ----------------------------------------------------------------<br /> Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función<br /> longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,<br /> longitud [4,2,5] = 3<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;longitud [] = 0&quot;<br /> |&quot;longitud (x#xs) = 1+ (longitud xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;longitud [4,2,5]&quot; -- &quot;= 3&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Definir la función<br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot;<br /> tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las<br /> componentes del par p. Por ejemplo,<br /> &quot;intercambia (2,3) = (3,2)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot; where<br /> &quot;intercambia (x,y) = (y,x)&quot;<br /> <br /> value &quot;intercambia (u,v)&quot; -- &quot;= (v,u)&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función<br /> inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> inversa [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversa [] = []&quot;<br /> |&quot;inversa (x#xs) = (inversa xs)@ [x]&quot;<br /> <br /> value &quot;inversa [a,d,c]&quot; -- &quot;= [c,d,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Definir la función<br /> repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> repite 3 5 = [5,5,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;repite 0 x = []&quot;<br /> |&quot;repite (Suc n) x = (x#(repite n x))&quot;<br /> <br /> value &quot;repite 3 a&quot; -- &quot;= [a,a,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Definir la función<br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> conc [2,3] [4,3,5] = [2,3,4,3,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;conc [] ys = ys&quot; <br /> |&quot;conc xs [] = xs&quot; <br /> |&quot;conc (x#xs) ys = (x#(conc xs ys))&quot;<br /> <br /> value &quot;conc [a,d] [b,d,a,c]&quot; -- &quot;= [a,d,b,d,a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Definir la función<br /> coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> coge 2 [3,7,5,4] = [3,7]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;coge 0 xs = []&quot;<br /> |&quot;coge n [] = []&quot;<br /> |&quot;coge (Suc n) (x#xs) = (x#(coge n xs))&quot;<br /> <br /> value &quot;coge 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Definir la función<br /> elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> elimina 2 [3,7,5,4] = [5,4]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;elimina 0 xs = xs&quot;<br /> |&quot;elimina n [] = []&quot;<br /> |&quot;elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs&quot;<br /> <br /> value &quot;elimina 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [d,b,e]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Definir la función<br /> esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot;<br /> tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, <br /> esVacia [] = True<br /> esVacia [1] = False<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot; where<br /> &quot;esVacia [] = True&quot;<br /> |&quot;esVacia _ = False&quot;<br /> <br /> value &quot;esVacia []&quot; -- &quot;= True&quot;<br /> value &quot;esVacia [1]&quot; -- &quot;= False&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Definir la función<br /> inversaAc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando<br /> acumuladores. Por ejemplo, <br /> inversaAc [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun inversaAcAux :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAcAux [] ys = ys&quot;<br /> |&quot;inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)&quot;<br /> <br /> fun inversaAc :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAc xs = inversaAcAux xs []&quot;<br /> <br /> value &quot;inversaAc [a,c,b,e]&quot; -- &quot;= [e,b,c,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Definir la función<br /> sum :: &quot;int list ⇒ int&quot; <br /> tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,<br /> sum [3,2,5] = 10<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun sum :: &quot;nat list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;sum [] = 0&quot;<br /> |&quot;sum (x#xs) = x+ (sum xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;sum [3,2,5]&quot; -- &quot;= 10&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Definir la función<br /> map :: (&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list<br /> tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun map :: &quot;(&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list&quot; where<br /> &quot;map f [] = []&quot;<br /> |&quot;map f (x#xs) = conc [f x] (map f xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]&quot; -- &quot;= [6,4,10]&quot;<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=AplicacionesLP&diff=538 2013-05-22T18:20:21Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- AplicacionesLP.hs<br /> -- Aplicaciones de la Lógica proposicional.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica <br /> -- import TablerosSemanticos<br /> -- import ResolucionProposicional<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que<br /> -- siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre<br /> -- mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada<br /> -- uno le dice una frase A dice “B y C son veraces syss C es veraz” B<br /> -- dice “Si A y B son veraces, entonces B y C son veraces y A es<br /> -- mentiroso” C dice “B es mentiroso syss A o B es veraz” <br /> --<br /> -- Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- a, b y c representan que A, B y C son veraces<br /> -- -a, -b y -c representan que A, B y C son mentirosos<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> a = Atom &quot;a&quot;<br /> b = Atom &quot;b&quot;<br /> c = Atom &quot;c&quot;<br /> <br /> <br /> solucion1 = modelosFormula ((a&lt;--&gt;((b/\c)&lt;--&gt;c))/\(b&lt;--&gt;((a/\b)--&gt;(b/\c/\(no a))))/\(c&lt;--&gt;((no b)&lt;--&gt;(a\/b))))<br /> --*Main&gt; solucion1<br /> --[]<br /> -- Todos mienten.<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Decidir si es posible colorear los vértices de un<br /> -- pentágono de rojo o azul de forma que los vértices adyacentes<br /> -- tengan colores distintos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1, 2, 3, 4, 5 representan los vértices consecutivos del pentágono<br /> -- ri (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es rojo<br /> -- ai (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es azul<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> r1= Atom &quot;r1&quot;<br /> r2= Atom &quot;r2&quot;<br /> r3= Atom &quot;r3&quot;<br /> r4= Atom &quot;r4&quot;<br /> r5= Atom &quot;r5&quot;<br /> a1= Atom &quot;a1&quot;<br /> a2= Atom &quot;a2&quot;<br /> a3= Atom &quot;a3&quot;<br /> a4= Atom &quot;a4&quot;<br /> a5= Atom &quot;a5&quot;<br /> <br /> solucion2 = esSatisfacible formulacion2<br /> where formulacion2= (((a1\/r1)/\(a2\/r2)/\(a3\/r3)/\(a4\/r4)/\(a5\/r5))/\((no(a1/\a2))/\(no(a1/\a5))/\(no(a2/\a3))/\(no(a3/\a4))/\(no(a4/\a5)))/\((no(r1/\r2))/\(no(r1/\r5))/\(no(r2/\r3))/\(no(r3/\r4))/\(no(r4/\r5))))<br /> <br /> {-*Main&gt; solucion2<br /> False-}<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Cuatro palomas comparten tres huecos. Decidir si es<br /> -- posible que no haya dos palomas en el mismo hueco.<br /> <br /> -- Simbolización: <br /> -- pihj (i ∈ {1, 2, 3, 4} y j ∈ {1, 2, 3}) representa<br /> -- que la paloma i está en el hueco j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Un rectángulo se divide en seis rectángulos menores como<br /> -- se indica en la figura. <br /> <br /> -- ------------------<br /> -- | | B |<br /> -- | A |---------- <br /> -- | | | |<br /> -- |------| D | |<br /> -- | C | | E |<br /> -- |------|---| |<br /> -- | F | |<br /> -- ------------------<br /> <br /> -- Demostrar que si cada una de los rectángulos menores tiene un lado<br /> -- cuya medida es un número entero, entonces la medida de alguno de los<br /> -- lados del rectángulo mayor es un número entero.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- base: la base del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- altura: la altura del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- base_x: la base del rectángulo X es un número entero<br /> -- altura_x: la altura del rectángulo X es un número entero<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Calcular las formas de colocar 4 reinas en un tablero<br /> -- de 4x4 de forma que no haya más de una reina en cada fila,<br /> -- columna o diagonal.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- cij (1 ≤ i, j ≤ 4) indica que hay una reina en la fila i columna j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Probar el caso más simple del teorema de Ramsey: entre<br /> -- seis personas siempre hay (al menos) tres tales que cada una conoce<br /> -- a las otras dos o cada una no conoce a ninguna de las otras dos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1,2,3,4,5,6 representan a las personas<br /> -- pij (1 ≤ i &lt; j ≤ 6) indica que las personas i y j se conocen.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_13&diff=537 2013-05-22T18:10:50Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R13: Programación funcional en Isabelle *}<br /> <br /> theory R13<br /> imports Main<br /> begin<br /> <br /> text {* ----------------------------------------------------------------<br /> Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función<br /> longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,<br /> longitud [4,2,5] = 3<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;longitud [] = 0&quot;<br /> |&quot;longitud (x#xs) = 1+ (longitud xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;longitud [4,2,5]&quot; -- &quot;= 3&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Definir la función<br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot;<br /> tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las<br /> componentes del par p. Por ejemplo,<br /> &quot;intercambia (2,3) = (3,2)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot; where<br /> &quot;intercambia (x,y) = (y,x)&quot;<br /> <br /> value &quot;intercambia (u,v)&quot; -- &quot;= (v,u)&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función<br /> inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> inversa [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversa [] = []&quot;<br /> |&quot;inversa (x#xs) = (inversa xs)@ [x]&quot;<br /> <br /> value &quot;inversa [a,d,c]&quot; -- &quot;= [c,d,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Definir la función<br /> repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> repite 3 5 = [5,5,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;repite 0 x = []&quot;<br /> |&quot;repite (Suc n) x = [x]@(repite n x)&quot;<br /> <br /> value &quot;repite 3 a&quot; -- &quot;= [a,a,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Definir la función<br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> conc [2,3] [4,3,5] = [2,3,4,3,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;conc [] ys = ys&quot; <br /> |&quot;conc xs [] = xs&quot; <br /> |&quot;conc (x#xs) ys = x# (conc xs ys)&quot;<br /> <br /> value &quot;conc [a,d] [b,d,a,c]&quot; -- &quot;= [a,d,b,d,a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Definir la función<br /> coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> coge 2 [3,7,5,4] = [3,7]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;coge 0 xs = []&quot;<br /> |&quot;coge n [] = []&quot;<br /> |&quot;coge (Suc n) (x#xs) = conc [x] (coge n xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;coge 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Definir la función<br /> elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> elimina 2 [3,7,5,4] = [5,4]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;elimina 0 xs = xs&quot;<br /> |&quot;elimina n [] = []&quot;<br /> |&quot;elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs&quot;<br /> <br /> value &quot;elimina 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [d,b,e]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Definir la función<br /> esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot;<br /> tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, <br /> esVacia [] = True<br /> esVacia [1] = False<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot; where<br /> &quot;esVacia [] = True&quot;<br /> |&quot;esVacia (x#xs) = False&quot;<br /> <br /> value &quot;esVacia []&quot; -- &quot;= True&quot;<br /> value &quot;esVacia [1]&quot; -- &quot;= False&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Definir la función<br /> inversaAc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando<br /> acumuladores. Por ejemplo, <br /> inversaAc [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun inversaAcAux :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAcAux [] ys = ys&quot;<br /> |&quot;inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)&quot;<br /> <br /> fun inversaAc :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAc xs = inversaAcAux xs []&quot;<br /> <br /> value &quot;inversaAc [a,c,b,e]&quot; -- &quot;= [e,b,c,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Definir la función<br /> sum :: &quot;int list ⇒ int&quot; <br /> tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,<br /> sum [3,2,5] = 10<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun sum :: &quot;nat list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;sum [] = 0&quot;<br /> |&quot;sum (x#xs) = x+ (sum xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;sum [3,2,5]&quot; -- &quot;= 10&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Definir la función<br /> map :: (&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list<br /> tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun map :: &quot;(&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list&quot; where<br /> &quot;map f [] = []&quot;<br /> |&quot;map f (x#xs) = conc [f x] (map f xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]&quot; -- &quot;= [6,4,10]&quot;<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_13&diff=536 2013-05-22T18:09:08Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R13: Programación funcional en Isabelle *}<br /> <br /> theory R13<br /> imports Main<br /> begin<br /> <br /> text {* ----------------------------------------------------------------<br /> Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función<br /> longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,<br /> longitud [4,2,5] = 3<br /> ------------------------------------------------------------------- *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> fun longitud :: &quot;&#039;a list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;longitud [] = 0&quot;<br /> |&quot;longitud (x#xs) = 1+ (longitud xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;longitud [4,2,5]&quot; -- &quot;= 3&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Definir la función<br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot;<br /> tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las<br /> componentes del par p. Por ejemplo,<br /> &quot;intercambia (2,3) = (3,2)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun intercambia :: &quot;&#039;a × &#039;b ⇒ &#039;b × &#039;a&quot; where<br /> &quot;intercambia (x,y) = (y,x)&quot;<br /> <br /> value &quot;intercambia (u,v)&quot; -- &quot;= (v,u)&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función<br /> inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> inversa [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun inversa :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversa [] = []&quot;<br /> |&quot;inversa (x#xs) = (inversa xs)@ [x]&quot;<br /> <br /> value &quot;inversa [a,d,c]&quot; -- &quot;= [c,d,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Definir la función<br /> repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> repite 3 5 = [5,5,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun repite :: &quot;nat ⇒ &#039;a ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;repite 0 x = []&quot;<br /> |&quot;repite (Suc n) x = [x]@(repite n x)&quot;<br /> <br /> value &quot;repite 3 a&quot; -- &quot;= [a,a,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Definir la función<br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que . Por ejemplo,<br /> conc [2,3] [4,3,5] = [2,3,4,3,5]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun conc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;conc [] ys = ys&quot; <br /> |&quot;conc xs [] = xs&quot; <br /> |&quot;conc (x#xs) ys = x# (conc xs ys)&quot;<br /> <br /> value &quot;conc [a,d] [b,d,a,c]&quot; -- &quot;= [a,d,b,d,a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Definir la función<br /> coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> coge 2 [3,7,5,4] = [3,7]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun coge :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;coge 0 xs = []&quot;<br /> |&quot;coge n [] = []&quot;<br /> |&quot;coge (Suc n) (x#xs) = conc [x] (coge n xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;coge 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [a,c]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Definir la función<br /> elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por<br /> ejemplo, <br /> elimina 2 [3,7,5,4] = [5,4]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun elimina :: &quot;nat ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;a list&quot; where<br /> &quot;elimina 0 xs = xs&quot;<br /> |&quot;elimina n [] = []&quot;<br /> |&quot;elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs&quot;<br /> <br /> value &quot;elimina 2 [a,c,d,b,e]&quot; -- &quot;= [d,b,e]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Definir la función<br /> esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot;<br /> tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, <br /> esVacia [] = True<br /> esVacia [1] = False<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun esVacia :: &quot;&#039;a list ⇒ bool&quot; where<br /> &quot;esVacia [] = True&quot;<br /> |&quot;esVacia (x#xs) = False&quot;<br /> <br /> value &quot;esVacia []&quot; -- &quot;= True&quot;<br /> value &quot;esVacia [1]&quot; -- &quot;= False&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Definir la función<br /> inversaAc :: &quot;&#039;a list ⇒ &#039;a list&quot;<br /> tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando<br /> acumuladores. Por ejemplo, <br /> inversaAc [3,2,5] = [5,2,3]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun inversaAcAux :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAcAux [] ys = ys&quot;<br /> |&quot;inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)&quot;<br /> <br /> fun inversaAc :: &quot;&#039;a list =&gt; &#039;a list&quot; where<br /> &quot;inversaAc xs = inversaAcAux xs []&quot;<br /> <br /> value &quot;inversaAc [a,c,b,e]&quot; -- &quot;= [e,b,c,a]&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Definir la función<br /> sum :: &quot;int list ⇒ int&quot; <br /> tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,<br /> sum [3,2,5] = 10<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun sum :: &quot;nat list ⇒ nat&quot; where<br /> &quot;sum [] = 0&quot;<br /> |&quot;sum (x#xs) = x+ (sum xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;sum [3,2,5]&quot; -- &quot;= 10&quot;<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Definir la función<br /> map :: (&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list<br /> tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los<br /> elementos de xs. Por ejemplo,<br /> map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> fun map :: &quot;(&#039;a ⇒ &#039;b) ⇒ &#039;a list ⇒ &#039;b list&quot; where<br /> &quot;map f [] = []&quot;<br /> |&quot;map f (x#xs) = conc [f x] (map f xs)&quot;<br /> <br /> value &quot;map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]&quot; -- &quot;= [6,4,10]&quot;<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- AplicacionesLP.hs<br /> -- Aplicaciones de la Lógica proposicional.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica <br /> -- import TablerosSemanticos<br /> -- import ResolucionProposicional<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que<br /> -- siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre<br /> -- mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada<br /> -- uno le dice una frase A dice “B y C son veraces syss C es veraz” B<br /> -- dice “Si A y B son veraces, entonces B y C son veraces y A es<br /> -- mentiroso” C dice “B es mentiroso syss A o B es veraz” <br /> --<br /> -- Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- a, b y c representan que A, B y C son veraces<br /> -- -a, -b y -c representan que A, B y C son mentirosos<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> a = Atom &quot;a&quot;<br /> b = Atom &quot;b&quot;<br /> c = Atom &quot;c&quot;<br /> <br /> <br /> solucion1 = modelosFormula ((a&lt;--&gt;((b/\c)&lt;--&gt;c))/\(b&lt;--&gt;((a/\b)--&gt;(b/\c/\(no a))))/\(c&lt;--&gt;((no b)&lt;--&gt;(a\/b))))<br /> --*Main&gt; solucion1<br /> --[]<br /> -- Todos mienten.<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Decidir si es posible colorear los vértices de un<br /> -- pentágono de rojo o azul de forma que los vértices adyacentes<br /> -- tengan colores distintos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1, 2, 3, 4, 5 representan los vértices consecutivos del pentágono<br /> -- ri (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es rojo<br /> -- ai (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es azul<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> r1= Atom &quot;r1&quot;<br /> r2= Atom &quot;r2&quot;<br /> r3= Atom &quot;r3&quot;<br /> r4= Atom &quot;r4&quot;<br /> r5= Atom &quot;r5&quot;<br /> a1= Atom &quot;a1&quot;<br /> a2= Atom &quot;a2&quot;<br /> a3= Atom &quot;a3&quot;<br /> a4= Atom &quot;a4&quot;<br /> a5= Atom &quot;a5&quot;<br /> <br /> solucion2 = esSatisfacible formulacion2<br /> where formulacion2= (((a1\/r1)/\(a2\/r2)/\(a3\/r3)/\(a4\/r4)/\(a5\/r5))/\((no(a1/\a2))/\(no(a1/\a5))/\(no(a2/\a3))/\(no(a3/\a4))/\(no(a4/\a5)))/\((no(r1/\r2))/\(no(r1/\r5))/\(no(r2/\r3))/\(no(r3/\r4))/\(no(r4/\r5))))<br /> <br /> {-*Main&gt; solucion2<br /> False-}<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Cuatro palomas comparten tres huecos. Decidir si es<br /> -- posible que no haya dos palomas en el mismo hueco.<br /> <br /> -- Simbolización: <br /> -- pihj (i ∈ {1, 2, 3, 4} y j ∈ {1, 2, 3}) representa<br /> -- que la paloma i está en el hueco j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --Pedro Ros<br /> p1h1 = Atom &quot;p1h1&quot;<br /> p1h2= Atom &quot;p1h2&quot;<br /> p1h3=Atom &quot;p1h3&quot;<br /> p2h1= Atom &quot;p2h1&quot;<br /> p2h2= Atom &quot;p2h2&quot;<br /> p2h3= Atom &quot;p2h3&quot;<br /> p3h1= Atom &quot;p3h1&quot;<br /> p3h2=Atom &quot;p3h2&quot;<br /> p3h3= Atom &quot;p3h3&quot;<br /> p4h1=Atom &quot;p4h1&quot;<br /> p4h2=Atom &quot;p4h2&quot;<br /> p4h3=Atom &quot;p4h3&quot;<br /> <br /> solucion3= esSatisfacible ((p1h1 \/ p1h2 \/ p1h3)/\(p2h1 \/ p2h2 \/ p2h3)/\(p3h1 \/ p3h2 \/ p3h3)/\(p4h1 \/ p4h2 \/ p4h3))<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Un rectángulo se divide en seis rectángulos menores como<br /> -- se indica en la figura. <br /> <br /> -- ------------------<br /> -- | | B |<br /> -- | A |---------- <br /> -- | | | |<br /> -- |------| D | |<br /> -- | C | | E |<br /> -- |------|---| |<br /> -- | F | |<br /> -- ------------------<br /> <br /> -- Demostrar que si cada una de los rectángulos menores tiene un lado<br /> -- cuya medida es un número entero, entonces la medida de alguno de los<br /> -- lados del rectángulo mayor es un número entero.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- base: la base del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- altura: la altura del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- base_x: la base del rectángulo X es un número entero<br /> -- altura_x: la altura del rectángulo X es un número entero<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Calcular las formas de colocar 4 reinas en un tablero<br /> -- de 4x4 de forma que no haya más de una reina en cada fila,<br /> -- columna o diagonal.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- cij (1 ≤ i, j ≤ 4) indica que hay una reina en la fila i columna j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Probar el caso más simple del teorema de Ramsey: entre<br /> -- seis personas siempre hay (al menos) tres tales que cada una conoce<br /> -- a las otras dos o cada una no conoce a ninguna de las otras dos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1,2,3,4,5,6 representan a las personas<br /> -- pij (1 ≤ i &lt; j ≤ 6) indica que las personas i y j se conocen.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=AplicacionesLP&diff=532 2013-05-22T11:24:39Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- AplicacionesLP.hs<br /> -- Aplicaciones de la Lógica proposicional.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica <br /> -- import TablerosSemanticos<br /> -- import ResolucionProposicional<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que<br /> -- siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre<br /> -- mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada<br /> -- uno le dice una frase A dice “B y C son veraces syss C es veraz” B<br /> -- dice “Si A y B son veraces, entonces B y C son veraces y A es<br /> -- mentiroso” C dice “B es mentiroso syss A o B es veraz” <br /> --<br /> -- Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- a, b y c representan que A, B y C son veraces<br /> -- -a, -b y -c representan que A, B y C son mentirosos<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> a = Atom &quot;a&quot;<br /> b = Atom &quot;b&quot;<br /> c = Atom &quot;c&quot;<br /> <br /> <br /> solucion1 = modelosFormula ((a&lt;--&gt;((b/\c)&lt;--&gt;c))/\(b&lt;--&gt;((a/\b)--&gt;(b/\c/\(no a))))/\(c&lt;--&gt;((no b)&lt;--&gt;(a\/b))))<br /> --*Main&gt; solucion1<br /> --[]<br /> -- Todos mienten.<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Decidir si es posible colorear los vértices de un<br /> -- pentágono de rojo o azul de forma que los vértices adyacentes<br /> -- tengan colores distintos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1, 2, 3, 4, 5 representan los vértices consecutivos del pentágono<br /> -- ri (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es rojo<br /> -- ai (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es azul<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> r1= Atom &quot;r1&quot;<br /> r2= Atom &quot;r2&quot;<br /> r3= Atom &quot;r3&quot;<br /> r4= Atom &quot;r4&quot;<br /> r5= Atom &quot;r5&quot;<br /> a1= Atom &quot;a1&quot;<br /> a2= Atom &quot;a2&quot;<br /> a3= Atom &quot;a3&quot;<br /> a4= Atom &quot;a4&quot;<br /> a5= Atom &quot;a5&quot;<br /> <br /> solucion2 = esSatisfacible formulacion2<br /> where formulacion2= (((a1\/r1)/\(a2\/r2)/\(a3\/r3)/\(a4\/r4)/\(a5\/r5))/\((no(a1/\a2))/\(no(a1/\a5))/\(no(a2/\a3))/\(no(a3/\a4))/\(no(a4/\a5)))/\((no(r1/\r2))/\(no(r1/\r5))/\(no(r2/\r3))/\(no(r3/\r4))/\(no(r4/\r5))))<br /> <br /> {-*Main&gt; solucion2<br /> False-}<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Cuatro palomas comparten tres huecos. Decidir si es<br /> -- posible que no haya dos palomas en el mismo hueco.<br /> <br /> -- Simbolización: <br /> -- pihj (i ∈ {1, 2, 3, 4} y j ∈ {1, 2, 3}) representa<br /> -- que la paloma i está en el hueco j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Un rectángulo se divide en seis rectángulos menores como<br /> -- se indica en la figura. <br /> <br /> -- ------------------<br /> -- | | B |<br /> -- | A |---------- <br /> -- | | | |<br /> -- |------| D | |<br /> -- | C | | E |<br /> -- |------|---| |<br /> -- | F | |<br /> -- ------------------<br /> <br /> -- Demostrar que si cada una de los rectángulos menores tiene un lado<br /> -- cuya medida es un número entero, entonces la medida de alguno de los<br /> -- lados del rectángulo mayor es un número entero.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- base: la base del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- altura: la altura del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- base_x: la base del rectángulo X es un número entero<br /> -- altura_x: la altura del rectángulo X es un número entero<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Calcular las formas de colocar 4 reinas en un tablero<br /> -- de 4x4 de forma que no haya más de una reina en cada fila,<br /> -- columna o diagonal.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- cij (1 ≤ i, j ≤ 4) indica que hay una reina en la fila i columna j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Probar el caso más simple del teorema de Ramsey: entre<br /> -- seis personas siempre hay (al menos) tres tales que cada una conoce<br /> -- a las otras dos o cada una no conoce a ninguna de las otras dos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1,2,3,4,5,6 representan a las personas<br /> -- pij (1 ≤ i &lt; j ≤ 6) indica que las personas i y j se conocen.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- AplicacionesLP.hs<br /> -- Aplicaciones de la Lógica proposicional.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica <br /> -- import TablerosSemanticos<br /> -- import ResolucionProposicional<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: En una isla hay dos tribus, la de los veraces (que<br /> -- siempre dicen la verdad) y la de los mentirosos (que siempre<br /> -- mienten). Un viajero se encuentra con tres isleños A, B y C y cada<br /> -- uno le dice una frase A dice “B y C son veraces syss C es veraz” B<br /> -- dice “Si A y B son veraces, entonces B y C son veraces y A es<br /> -- mentiroso” C dice “B es mentiroso syss A o B es veraz” <br /> --<br /> -- Determinar a qué tribu pertenecen A, B y C.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- a, b y c representan que A, B y C son veraces<br /> -- -a, -b y -c representan que A, B y C son mentirosos<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> a = Atom &quot;a&quot;<br /> b = Atom &quot;b&quot;<br /> c = Atom &quot;c&quot;<br /> <br /> <br /> solucion1 = modelosFormula ((a&lt;--&gt;((b/\c)&lt;--&gt;c))/\(b&lt;--&gt;((a/\b)--&gt;(b/\c/\(no a))))/\(c&lt;--&gt;((no b)&lt;--&gt;(a\/b))))<br /> *Main&gt; solucion1<br /> []<br /> <br /> -- Todos mienten.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Decidir si es posible colorear los vértices de un<br /> -- pentágono de rojo o azul de forma que los vértices adyacentes<br /> -- tengan colores distintos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1, 2, 3, 4, 5 representan los vértices consecutivos del pentágono<br /> -- ri (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es rojo<br /> -- ai (1 ≤ i ≤ 5) representa que el vértice i es azul<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Cuatro palomas comparten tres huecos. Decidir si es<br /> -- posible que no haya dos palomas en el mismo hueco.<br /> <br /> -- Simbolización: <br /> -- pihj (i ∈ {1, 2, 3, 4} y j ∈ {1, 2, 3}) representa<br /> -- que la paloma i está en el hueco j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Un rectángulo se divide en seis rectángulos menores como<br /> -- se indica en la figura. <br /> <br /> -- ------------------<br /> -- | | B |<br /> -- | A |---------- <br /> -- | | | |<br /> -- |------| D | |<br /> -- | C | | E |<br /> -- |------|---| |<br /> -- | F | |<br /> -- ------------------<br /> <br /> -- Demostrar que si cada una de los rectángulos menores tiene un lado<br /> -- cuya medida es un número entero, entonces la medida de alguno de los<br /> -- lados del rectángulo mayor es un número entero.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- base: la base del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- altura: la altura del rectángulo mayor es un número entero<br /> -- base_x: la base del rectángulo X es un número entero<br /> -- altura_x: la altura del rectángulo X es un número entero<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Calcular las formas de colocar 4 reinas en un tablero<br /> -- de 4x4 de forma que no haya más de una reina en cada fila,<br /> -- columna o diagonal.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- cij (1 ≤ i, j ≤ 4) indica que hay una reina en la fila i columna j.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Probar el caso más simple del teorema de Ramsey: entre<br /> -- seis personas siempre hay (al menos) tres tales que cada una conoce<br /> -- a las otras dos o cada una no conoce a ninguna de las otras dos.<br /> <br /> -- Simbolización:<br /> -- 1,2,3,4,5,6 representan a las personas<br /> -- pij (1 ≤ i &lt; j ≤ 6) indica que las personas i y j se conocen.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- SintaxisSemanticaProp.hs<br /> -- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module SintaxisSemantica where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Gramática de fórmulas prosicionales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:<br /> -- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones<br /> -- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los<br /> -- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas<br /> -- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,<br /> -- respectivamente. <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> type SímboloProposicional = String<br /> <br /> data Prop = Atom SímboloProposicional<br /> | Neg Prop <br /> | Conj Prop Prop <br /> | Disj Prop Prop <br /> | Impl Prop Prop <br /> | Equi Prop Prop <br /> deriving (Eq,Ord)<br /> <br /> instance Show Prop where<br /> show (Atom p) = p<br /> show (Neg p) = &quot;no &quot; ++ show p<br /> show (Conj p q) = &quot;(&quot; ++ show p ++ &quot; /\\ &quot; ++ show q ++ &quot;)&quot;<br /> show (Disj p q) = &quot;(&quot; ++ show p ++ &quot; \\/ &quot; ++ show q ++ &quot;)&quot;<br /> show (Impl p q) = &quot;(&quot; ++ show p ++ &quot; --&gt; &quot; ++ show q ++ &quot;)&quot;<br /> show (Equi p q) = &quot;(&quot; ++ show p ++ &quot; &lt;--&gt; &quot; ++ show q ++ &quot;)&quot;<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales<br /> -- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop<br /> p = Atom &quot;p&quot;<br /> p1 = Atom &quot;p1&quot;<br /> p2 = Atom &quot;p2&quot;<br /> q = Atom &quot;q&quot;<br /> r = Atom &quot;r&quot;<br /> s = Atom &quot;s&quot;<br /> t = Atom &quot;t&quot;<br /> u = Atom &quot;u&quot;<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- no :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (no f) es la negación de f.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> no :: Prop -&gt; Prop<br /> no = Neg<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores<br /> -- (/\), (\/), (--&gt;), (&lt;--&gt;) :: Prop -&gt; Prop -&gt; Prop<br /> -- tales que<br /> -- f /\ g es la conjunción de f y g<br /> -- f \/ g es la disyunción de f y g<br /> -- f --&gt; g es la implicación de f a g<br /> -- f &lt;--&gt; g es la equivalencia entre f y g<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> infixr 5 \/<br /> infixr 4 /\<br /> infixr 3 --&gt;<br /> infixr 2 &lt;--&gt;<br /> (/\), (\/), (--&gt;), (&lt;--&gt;) :: Prop -&gt; Prop -&gt; Prop<br /> (/\) = Conj<br /> (\/) = Disj<br /> (--&gt;) = Impl<br /> (&lt;--&gt;) = Equi<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Símbolos proposicionales de una fórmula --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- símbolosPropFórm :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los<br /> -- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,<br /> -- símbolosPropFórm (p /\ q --&gt; p) ==&gt; [p,q]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Antonio Molero<br /> <br /> simbolosPropForm :: Prop -&gt; [Prop]<br /> simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]<br /> simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p<br /> simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q<br /> simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q<br /> simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q<br /> simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Interpretaciones --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para<br /> -- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> type Interpretacion = [Prop]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Significado de una fórmula en una interpretación --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- significado :: Prop -&gt; Interpretación -&gt; Bool<br /> -- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,<br /> -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==&gt; False<br /> -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro G. Ros<br /> significado :: Prop -&gt; Interpretacion -&gt; Bool<br /> significado (Neg(Atom p)) a = elem (no (Atom p)) a<br /> significado (Atom p) a = elem (Atom p) a<br /> significado (Neg p) a = not (significado p a)<br /> significado (Neg(Neg p)) a = significado p a<br /> significado (Conj p q) a= (significado p a)&amp;&amp; (significado q a)<br /> significado (Disj p q) a =(significado p a)|| (significado q a)<br /> significado (Impl p q) a | (significado p a) = (significado q a)<br /> | otherwise = True <br /> significado (Equi p q) a = (significado p a)==(significado q a)<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Interpretaciones de una fórmula --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- subconjuntos :: [a] -&gt; [[a]]<br /> -- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por<br /> -- ejmplo, <br /> -- subconjuntos &quot;abc&quot; ==&gt; [&quot;abc&quot;,&quot;ab&quot;,&quot;ac&quot;,&quot;a&quot;,&quot;bc&quot;,&quot;b&quot;,&quot;c&quot;,&quot;&quot;]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> subconjuntos :: [a] -&gt; [[a]]<br /> subconjuntos [] = [[]]<br /> subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys &lt;- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- interpretacionesFórm :: Prop -&gt; [Interpretación]<br /> -- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las<br /> -- interpretaciones de f. Por ejemplo, <br /> -- interpretacionesFórm (p /\ q --&gt; p) ==&gt; [[p,q],[p],[q],[]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> interpretacionesForm :: Prop -&gt; [Interpretacion]<br /> interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos de fórmulas --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- esModeloFórmula :: Interpretación -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==&gt; False<br /> -- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --Pedro G. Ros<br /> esModeloFormula :: Interpretacion -&gt;Prop -&gt; Bool<br /> esModeloFormula = \f-&gt; \i -&gt; (significado i f)<br /> <br /> -- Miriam Núñez-Romero.<br /> esModeloFormula2 :: Interpretacion -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esModeloFormula2 i f | (significado f i) ==True =True<br /> |otherwise=False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosFórmula :: Prop -&gt; [Interpretación]<br /> -- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones<br /> -- de f que son modelo de F. Por ejemplo,<br /> -- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) <br /> -- ==&gt; [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --Pedro G. Ros<br /> modelosFormula :: Prop -&gt; [Interpretacion]<br /> modelosFormula f = [x|x&lt;-(interpretacionesForm f),esModeloFormula x<br /> f,not(null x)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- esVálida :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,<br /> -- esVálida (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esVálida (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- esVálida ((p --&gt; q) \/ (q --&gt; p)) ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> esValida :: Prop -&gt; Bool<br /> esValida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f<br /> <br /> <br /> --Pedro G. Ros<br /> --Ser válida es ser tautología, luego la definición anterior no es correcta, sería:<br /> esValida2 f = elem [] (modelosFormula f)<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- esInsatisfacible :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==&gt; True<br /> -- esInsatisfacible ((p --&gt; q) /\ (q --&gt; r)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> esInsatisfacible :: Prop -&gt; Bool<br /> esInsatisfacible f = modelosFormula f == []<br /> <br /> --Pedro G. Ros<br /> esInsatisfacible2 :: Prop-&gt; Bool<br /> esInsatisfacible2 f = esValida (no f)<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esSatisfacible :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==&gt; False<br /> -- esSatisfacible ((p --&gt; q) /\ (q --&gt; r)) ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> esSatisfacible :: Prop -&gt; Bool<br /> esSatisfacible f = modelosFormula f /= []<br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> esSatisfacible2 :: Prop -&gt; Bool<br /> esSatisfacible2 f = not (esInsatisfacible f)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- uniónGeneral :: Eq a =&gt; [[a]] -&gt; [a]<br /> -- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de<br /> -- conjuntos x. Por ejemplo,<br /> -- uniónGeneral [] ==&gt; []<br /> -- uniónGeneral [[1]] ==&gt; [1]<br /> -- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==&gt; [1,2,3]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Antonio Molero<br /> <br /> unionGeneral :: Eq a =&gt; [[a]] -&gt; [a]<br /> unionGeneral [] = []<br /> unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 16: Definir la función<br /> -- símbolosPropConj :: [Prop] -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos<br /> -- proposiciones de s. Por ejemplo,<br /> -- símbolosPropConj [p /\ q --&gt; r, p --&gt; s] ==&gt; [p,q,r,s]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Antonio Molero<br /> <br /> simbolosPropConj :: [Prop] -&gt; [Prop]<br /> simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x&lt;-s]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 17: Definir la función<br /> -- interpretacionesConjunto :: [Prop] -&gt; [Interpretación]<br /> -- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las<br /> -- interpretaciones de s. Por ejemplo,<br /> -- interpretacionesConjunto [p --&gt; q, q --&gt; r]<br /> -- ==&gt; [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Reme Sillero<br /> <br /> interpretacionesConjunto :: [Prop] -&gt; [Interpretacion]<br /> interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos de conjuntos de fórmulas --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 18: Definir la función<br /> -- esModeloConjunto :: Interpretación -&gt; [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --&gt; r]<br /> -- ==&gt; True<br /> -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --&gt; q]<br /> -- ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> esModeloConjunto :: Interpretacion -&gt; [Prop] -&gt; Bool<br /> esModeloConjunto i s = and [ esModeloFormula i x | x &lt;- s] <br /> <br /> --Pedro G. Ros<br /> esModeloConjunto2 :: Interpretacion-&gt; [Prop] -&gt; Bool<br /> esModeloConjunto2 i [] = True<br /> esModeloConjunto2 i (x:xs) = (esModeloFormula2 i x)&amp;&amp;(esModeloConjunto2 i xs)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 19: Definir la función<br /> -- modelosConjunto :: [Prop] -&gt; [Interpretación]<br /> -- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto<br /> -- s. Por ejemplo,<br /> -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --&gt; r]<br /> -- ==&gt; [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]<br /> -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --&gt; q]<br /> -- ==&gt; [[p,q,r],[p],[q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> modelosConjunto :: [Prop] -&gt; [Interpretacion]<br /> modelosConjunto s = [ x | x &lt;- (interpretacionesConjunto s), esModeloConjunto x s]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 20: Definir la función<br /> -- esConsistente :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --&gt; r] <br /> -- ==&gt; True<br /> -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --&gt; r, no r] <br /> -- ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Jesús Horno Cobo<br /> esConsistente :: [Prop] -&gt; Bool<br /> esConsistente s = modelosConjunto s /= []<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 21: Definir la función<br /> -- esInconsistente :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --&gt; r] <br /> -- ==&gt; False<br /> -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --&gt; r, no r] <br /> -- ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Jesús Horno Cobo<br /> esInconsistente :: [Prop] -&gt; Bool<br /> esInconsistente s = modelosConjunto s == []<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia lógica --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 22: Definir la función<br /> -- esConsecuencia :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de<br /> -- s. Por ejemplo,<br /> -- esConsecuencia [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Jesús Horno Cobo<br /> esConsecuencia :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esConsecuencia s f = esInconsistente ((no f):s)<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_9&diff=509 2013-05-15T13:51:46Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;haskell&quot;&gt;<br /> -- FormasNormales.hs<br /> -- Formas normales.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module FormasNormales where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librería suxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica <br /> import Data.List<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Equivalencia lógica --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Pedro Ros<br /> esEquivalente :: Prop -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esEquivalente f g = null[n|n&lt;-modelosFormula f,not(esModeloFormula n g)]<br /> -- Es necesario que cambiéis cosas de la Rel2.hs <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Transformación a forma normal negativa --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- eliminaEquivalencias :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (eliminaEquivalencias f) es una fórmula equivalente a f sin<br /> -- signos de equivalencia. Por ejemplo,<br /> -- eliminaEquivalencias (p &lt;--&gt; q)<br /> -- ==&gt; ((p --&gt; q) /\ (q --&gt; p))<br /> -- eliminaEquivalencias ((p &lt;--&gt; q) /\ (q &lt;--&gt; r))<br /> -- ==&gt; (((p --&gt; q) /\ (q --&gt; p)) /\ ((q --&gt; r) /\ (r --&gt; q)))<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros <br /> eliminaEquivalencias :: Prop -&gt; Prop<br /> eliminaEquivalencias (Equi a b)= Conj (Impl a b) (Impl b a)<br /> eliminaEquivalencias (Disj a b)= Disj (eliminaEquivalencias a)<br /> (eliminaEquivalencias b)<br /> eliminaEquivalencias (Conj a b) = Conj (eliminaEquivalencias a)<br /> (eliminaEquivalencias b)<br /> eliminaEquivalencias (Impl a b)= Impl (eliminaEquivalencias a)<br /> (eliminaEquivalencias b)<br /> eliminaEquivalencias (Neg a) = Neg (eliminaEquivalencias a)<br /> eliminaEquivalencias (Atom p) = Atom p<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- eliminaImplicaciones :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (eliminaImplicaciones f) es una fórmula equivalente a f sin<br /> -- signos de implicación. Por ejemplo,<br /> -- eliminaImplicaciones (p --&gt; q)<br /> -- ==&gt; (no p \/ q)<br /> -- eliminaImplicaciones (eliminaEquivalencias (p &lt;--&gt; q))<br /> -- ==&gt; ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))<br /> -- Nota: Se supone que f no tiene signos de equivalencia.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> eliminaImplicaciones :: Prop -&gt; Prop<br /> eliminaImplicaciones (Impl a b)= Disj (Neg (eliminaImplicaciones a))<br /> (eliminaImplicaciones b)<br /> eliminaImplicaciones (Disj a b)= Disj (eliminaImplicaciones a)<br /> (eliminaImplicaciones b)<br /> eliminaImplicaciones (Conj a b) = Conj (eliminaImplicaciones a)<br /> (eliminaImplicaciones b)<br /> eliminaImplicaciones (Neg a) = Neg (eliminaImplicaciones a)<br /> eliminaImplicaciones (Atom p) = Atom p <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- interiorizaNegación :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (interiorizaNegación f) es una fórmula equivalente a f donde<br /> -- las negaciones se aplican sólo a fórmulas atómicas. Por ejemplo,<br /> -- interiorizaNegación (no (no p)) ==&gt; p<br /> -- interiorizaNegación (no (p /\ q)) ==&gt; (no p \/ no q)<br /> -- interiorizaNegación (no (p \/ q)) ==&gt; (no p /\ no q)<br /> -- interiorizaNegación (no (no (p \/ q))) ==&gt; (p \/ q)<br /> -- interiorizaNegación (no ((no p) \/ q)) ==&gt; (p /\ no q)<br /> -- Nota: Se supone que f no tiene equivalencias ni implicaciones. <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> interiorizaNegacion :: Prop -&gt; Prop<br /> interiorizaNegacion (Neg (Conj a b))=(Disj (interiorizaNegacion(no (interiorizaNegacion a)))<br /> (interiorizaNegacion(no (interiorizaNegacion b))))<br /> interiorizaNegacion (Neg (Disj a b))=(Conj (interiorizaNegacion(no (interiorizaNegacion a)))<br /> (interiorizaNegacion(no (interiorizaNegacion b))))<br /> interiorizaNegacion (Neg (Neg f))= (interiorizaNegacion f)<br /> interiorizaNegacion (Disj a b)= Disj (interiorizaNegacion a)<br /> (interiorizaNegacion b)<br /> interiorizaNegacion (Conj a b)= Conj (interiorizaNegacion a)<br /> (interiorizaNegacion b)<br /> interiorizaNegacion x = x<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- formaNormalNegativa :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (formaNormalNegativa f) es una fórmula equivalente a f en<br /> -- forma normal negativa. Por ejemplo,<br /> -- formaNormalNegativa (p &lt;--&gt; q)<br /> -- ==&gt; ((no p \/ q) /\ (no q \/ p))<br /> -- formaNormalNegativa ((p \/ (no q)) --&gt; r)<br /> -- ==&gt; ((no p /\ q) \/ r)<br /> -- formaNormalNegativa ((p /\ (q --&gt; r)) --&gt; s)<br /> -- ==&gt; ((no p \/ (q /\ no r)) \/ s)<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> formaNormalNegativa :: Prop -&gt; Prop<br /> formaNormalNegativa =interiorizaNegacion.eliminaImplicaciones.eliminaEquivalencias <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal _ = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir el tipo de dato Literal como sinónimo de<br /> -- fórmula. <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> type Literal = Prop<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- complementario :: Literal -&gt; Literal<br /> -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo,<br /> -- complementario p ==&gt; no p<br /> -- complementario (no p) ==&gt; p<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> complementario :: Literal -&gt; Literal<br /> complementario (Atom p) = Neg (Atom p)<br /> complementario (Neg (Atom p)) = Atom p<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- literalesFórmulaFNN :: Prop -&gt; [Literal]<br /> -- tal que (literalesFórmulaFNN f) es el conjunto de los literales de la<br /> -- fórmula en forma normal negativa f.<br /> -- literalesFórmulaFNN (p \/ ((no q) \/ r)) ==&gt; [p,no q,r]<br /> -- literalesFórmulaFNN p ==&gt; [p]<br /> -- literalesFórmulaFNN (no p) ==&gt; [no p]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> literalesFormulaFNN :: Prop -&gt; [Literal]<br /> literalesFormulaFNN (Conj p q) = <br /> union (literalesFormulaFNN p) (literalesFormulaFNN q)<br /> literalesFormulaFNN (Disj p q) = <br /> union (literalesFormulaFNN p) (literalesFormulaFNN q)<br /> literalesFormulaFNN p = [p]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Transformación a forma normal conjuntiva --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- interiorizaDisyunción :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (interiorizaDisyunción f) es una fórmula equivalente a f<br /> -- donde las disyunciones sólo se aplica a disyunciones o literales. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- interiorizaDisyunción (p \/ (q /\ r)) ==&gt; ((p \/ q) /\ (p \/ r))<br /> -- interiorizaDisyunción ((p /\ q) \/ r) ==&gt; ((p \/ r) /\ (q \/ r))<br /> -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> interiorizaDisyuncion :: Prop -&gt; Prop<br /> interiorizaDisyuncion (Disj (Conj p q) r) = <br /> interiorizaDisyuncion <br /> (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion p) (interiorizaDisyuncion r))<br /> (Disj (interiorizaDisyuncion q) (interiorizaDisyuncion r)))<br /> interiorizaDisyuncion (Disj r (Conj p q)) = <br /> interiorizaDisyuncion <br /> (Conj (Disj (interiorizaDisyuncion r) (interiorizaDisyuncion p))<br /> (Disj (interiorizaDisyuncion r) (interiorizaDisyuncion q)))<br /> interiorizaDisyuncion (Conj p q) = <br /> Conj (interiorizaDisyuncion p) (interiorizaDisyuncion q)<br /> interiorizaDisyuncion f = f<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- formaNormalConjuntiva :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (formaNormalConjuntiva f) es una fórmula equivalente a f en<br /> -- forma normal conjuntiva. Por ejemplo,<br /> -- formaNormalConjuntiva (p /\ (q --&gt; r))<br /> -- ==&gt; (p /\ (no q \/ r))<br /> -- formaNormalConjuntiva (no (p /\ (q --&gt; r)))<br /> -- ==&gt; ((no p \/ q) /\ (no p \/ no r))<br /> -- formaNormalConjuntiva (no(p &lt;--&gt; r))<br /> -- ==&gt; (((p \/ r) /\ (p \/ no p)) /\ ((no r \/ r) /\ (no r \/ no p)))<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> formaNormalConjuntiva :: Prop -&gt; Prop<br /> formaNormalConjuntiva f = interiorizaDisyuncion (formaNormalNegativa f)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Ejercicio 11.2: validaPorFNC<br /> <br /> validaPorFNC:: Prop -&gt; Bool<br /> validaPorFNC = undefined<br /> <br /> -- validaPorFNC ((p --&gt; q) \/ (q --&gt; p)) == True<br /> -- validaPorFNC ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False<br /> -- validaPorFNC (p --&gt; p) == True<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Transformación a forma normal disyuntiva --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- interiorizaConjunción :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (interiorizaConjunción f) es una fórmula equivalente a f<br /> -- donde las conjunciones sólo se aplica a conjunciones o literales. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- interiorizaConjunción (p /\ (q \/ r)) ==&gt; ((p /\ q) \/ (p /\ r))<br /> -- interiorizaConjunción ((p \/ q) /\ r) ==&gt; ((p /\ r) \/ (q /\ r))<br /> -- Nota: Se supone que f está en forma normal negativa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> interiorizaConjuncion :: Prop -&gt; Prop <br /> interiorizaConjuncion (Conj (Disj f g) h) =<br /> interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion h))<br /> (Conj (interiorizaConjuncion g) (interiorizaConjuncion h))) <br /> interiorizaConjuncion (Conj f (Disj g h)) =<br /> interiorizaConjuncion (Disj (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g))<br /> (Conj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion h))) <br /> interiorizaConjuncion (Disj f g) =<br /> Disj (interiorizaConjuncion f) (interiorizaConjuncion g) <br /> interiorizaConjuncion f = f<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- formaNormalDisyuntiva :: Prop -&gt; Prop<br /> -- tal que (formaNormalDisyuntiva f) es una fórmula equivalente a f en<br /> -- forma normal disyuntiva. Por ejemplo,<br /> -- formaNormalDisyuntiva (p /\ (q --&gt; r))<br /> -- ==&gt; ((p /\ no q) \/ (p /\ r))<br /> -- formaNormalDisyuntiva (no (p /\ (q --&gt; r)))<br /> -- ==&gt; (no p \/ (q /\ no r))<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> --Isabel Duarte<br /> <br /> formaNormalDisyuntiva :: Prop -&gt; Prop<br /> formaNormalDisyuntiva f = interiorizaConjuncion (formaNormalNegativa f)<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Ejercicio 13.2: satisfaciblePorFND<br /> <br /> <br /> satisfaciblePorFND:: Prop -&gt; Bool<br /> satisfaciblePorFND f = undefined<br /> <br /> <br /> -- satisfaciblePorFND ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True<br /> -- satisfaciblePorFND (p /\ (no p)) == False<br /> -- satisfaciblePorFND ((p --&gt; q) \/ (q --&gt; p)) == True<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_8&diff=492 2013-05-14T07:44:47Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes (Conj p q) = [p,q]<br /> componentes (Neg(Impl p q)) = [p,no q]<br /> componentes (Neg(Disj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Equi p q) = [Impl p q, Impl q p]<br /> componentes (Disj p q) = [p, q]<br /> componentes (Impl p q) = [no p, q]<br /> componentes (Neg(Conj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Neg(Equi p q))=[Neg(Impl p q), Neg(Impl q p)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales []= True<br /> conjuntoDeLiterales (x:xs)= if literal x then conjuntoDeLiterales xs<br /> else False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> tieneContradiccion :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion [f] = False<br /> tieneContradiccion ((Neg f):fs) = if elem f fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> tieneContradiccion (f:fs)= if elem (no f) fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> <br /> <br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> tieneContradiccion2 :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion2 fs = or [elem (no x) fs | x &lt;- fs]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> elim (Neg(Neg f)) = f <br /> <br /> <br /> expansionDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionDN fs f = [(elim f):[x|x&lt;-fs,x/=f]]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> <br /> expansionAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionAlfa fs f = [(componentes f)`union`(delete f fs)]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> <br /> expansionBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionBeta fs f = [x:(delete f fs)| x&lt;-(componentes f)]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs |[f|f&lt;-fs, dobleNegacion f]/=[] = expansionDN fs (head([f|f&lt;-fs,dobleNegacion f]))<br /> |[f|f&lt;-fs, alfa f]/=[] =expansionAlfa fs (head([f|f&lt;-fs,alfa f]))<br /> |[f|f&lt;-fs, beta f]/=[] =expansionBeta fs (head([f|f&lt;-fs,beta f]))<br /> |otherwise = [fs]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Pedro Ros<br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs |[f|f&lt;-fs, not(literal f)]/=[] = concat [modelosTab (nub x) | x&lt;-(sucesores fs)]<br /> |otherwise = [fs]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = and [elem x ys | x &lt;- xs]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_8&diff=491 2013-05-14T07:30:49Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes (Conj p q) = [p,q]<br /> componentes (Neg(Impl p q)) = [p,no q]<br /> componentes (Neg(Disj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Equi p q) = [Impl p q, Impl q p]<br /> componentes (Disj p q) = [p, q]<br /> componentes (Impl p q) = [no p, q]<br /> componentes (Neg(Conj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Neg(Equi p q))=[Neg(Impl p q), Neg(Impl q p)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales []= True<br /> conjuntoDeLiterales (x:xs)= if literal x then conjuntoDeLiterales xs<br /> else False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> tieneContradiccion :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion [f] = False<br /> tieneContradiccion ((Neg f):fs) = if elem f fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> tieneContradiccion (f:fs)= if elem (no f) fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> <br /> <br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> tieneContradiccion2 :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion2 fs = or [elem (no x) fs | x &lt;- fs]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> elim (Neg(Neg f)) = f <br /> <br /> <br /> expansionDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionDN fs f = [(elim f):[x|x&lt;-fs,x/=f]]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> <br /> expansionAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionAlfa fs f = [(componentes f)`union`(delete f fs)]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> --José María Contreras<br /> <br /> expansionBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansionBeta fs f = [x:(delete f fs)| x&lt;-(componentes f)]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs |[f|f&lt;-fs, dobleNegacion f]/=[] = expansionDN fs (head([f|f&lt;-fs,dobleNegacion f]))<br /> |[f|f&lt;-fs, alfa f]/=[] =expansionAlfa fs (head([f|f&lt;-fs,alfa f]))<br /> |[f|f&lt;-fs, beta f]/=[] =expansionBeta fs (head([f|f&lt;-fs,beta f]))<br /> |otherwise = [fs]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = and [elem x ys | x &lt;- xs]<br /> <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Ejercicio_3&diff=484 2013-05-08T10:37:42Z

<p>Pedrosrei: /* Selección del ejercicio */</p> <hr /> <div>== Enunciado ==<br /> El tercer ejercicio evaluable consiste en la realización de un ejercicio de argumentación en lógica de primer orden, haciendo la demostración por deducción natural con Isabelle/HOL y por tableros semánticos.<br /> Para ello, <br /> * Cada alumno elegirá uno de los ejercicios propuestos en [[E3|E3]].<br /> * Una vez elegido, lo anotará en la lista que se muestra a continuación, no pudiendo un mismo ejercicio ser elegido por más de un alumno. <br /> * Se enviará a mjoseh@us.es antes del viernes 10 de mayo de 2013, dos ficheros: uno usuario_3a.thy con la prueba por deducción natural y otro con la prueba por tableros.<br /> * Los lemas que se usen en una demostración tendrán que ser probados de forma no automática.<br /> * En la valoración del ejercicio se tendrá en cuenta tanto el nivel de dificultad como la calidad de la demostración.<br /> <br /> <br /> == Selección del ejercicio ==<br /> <br /> <br /> * Ejercicio 1: Alejandro Alfaro Martínez<br /> * Ejercicio 2: Francisco Vilches Chacón<br /> * Ejercicio 3: Salvador Joaquín Franco Peña<br /> * Ejercicio 4: M Inmaculada Arjona Arjona<br /> * Ejercicio 5: Pedro Ros Reina<br /> * Ejercicio 6: Carmen Martinez Navarro<br /> * Ejercicio 7: Ana Rocío del Valle<br /> * Ejercicio 8: <br /> * Ejercicio 9: <br /> * Ejercicio 10: Gonzalo José Muñoz González-Meneses<br /> * Ejercicio 11: José Antonio Jaime Sabín<br /> * Ejercicio 12: Erlinda Menéndez Pérez<br /> * Ejercicio 13: Concepción García Vidal<br /> * Ejercicio 14: <br /> * Ejercicio 15: Elena Villalba Calderón<br /> * Ejercicio 16: Miguel Ángel Terrón Morgado<br /> * Ejercicio 17: Jesús Horno Cobo<br /> * Ejercicio 18: Lourdes Díaz Mena<br /> * Ejercicio 19: Mª de los Remedios Sillero Denamiel<br /> * Ejercicio 20: Antonio Jesús Molero del Río<br /> * Ejercicio 21: Irene Araujo Guijo<br /> * Ejercicio 22: FºJavier Sanz Gil<br /> * Ejercicio 23: <br /> * Ejercicio 24: <br /> * Ejercicio 25: Pedro José Perea Rojo<br /> * Ejercicio 26: José María Contreras Beltrán<br /> * Ejercicio 27: Isabel Duarte Tosso<br /> * Ejercicio 28: Miriam Núñez-Romero Olmo</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_8&diff=435 2013-04-24T11:22:16Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes (Conj p q) = [p,q]<br /> componentes (Neg(Impl p q)) = [p,no q]<br /> componentes (Neg(Disj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Equi p q) = [Impl p q, Impl q p]<br /> componentes (Disj p q) = [p, q]<br /> componentes (Impl p q) = [no p, q]<br /> componentes (Neg(Conj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Neg(Equi p q))=[Neg(Impl p q), Neg(Impl q p)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales []= True<br /> conjuntoDeLiterales (x:xs)= if literal x then conjuntoDeLiterales xs<br /> else False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> tieneContradiccion :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion [f] = False<br /> tieneContradiccion ((Neg f):fs) = if elem f fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> tieneContradiccion (f:fs)= if elem (no f) fs then True else<br /> tieneContradiccion fs<br /> <br /> <br /> <br /> -- Isabel Duarte<br /> tieneContradiccion2 :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion2 fs = or [elem (no x) fs | x &lt;- fs]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_8&diff=426 2013-04-23T08:03:24Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes (Conj p q) = [p,q]<br /> componentes (Neg(Impl p q)) = [p,no q]<br /> componentes (Neg(Disj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Equi p q) = [Impl p q, Impl q p]<br /> componentes (Disj p q) = [p, q]<br /> componentes (Impl p q) = [no p, q]<br /> componentes (Neg(Conj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Neg(Equi p q))=[Neg(Impl p q), Neg(Impl q p)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales []= True<br /> conjuntoDeLiterales (x:xs)= if literal x then conjuntoDeLiterales xs<br /> else False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> tieneContradiccion :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradiccion [x] = False<br /> tieneContradiccion (x:xs)= if elem (no x) xs then True else<br /> tieneContradiccion xs<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes (Conj p q) = [p,q]<br /> componentes (Neg(Impl p q)) = [p,no q]<br /> componentes (Neg(Disj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Equi p q) = [Impl p q, Impl q p]<br /> componentes (Disj p q) = [p, q]<br /> componentes (Impl p q) = [no p, q]<br /> componentes (Neg(Conj p q))= [no p, no q]<br /> componentes (Neg(Equi p q))=[Neg(Impl p q), Neg(Impl q p)]<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales []= True<br /> conjuntoDeLiterales (x:xs)= if literal x then conjuntoDeLiterales xs<br /> else False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Conj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_8&diff=423 2013-04-23T07:29:16Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta (Disj p q) = True<br /> beta (Impl p q) = True<br /> beta (Neg (Disj p q)) = True<br /> beta (Neg (Equi p q))= True<br /> beta p = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa (Conj p q) = True<br /> alfa (Neg (Impl p q))= True<br /> alfa (Neg (Disj p q))= True<br /> alfa (Equi p q) = True<br /> alfa x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa = undefined <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Pedro Ros<br /> dobleNegacion :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegacion (Neg (Neg p))= True<br /> dobleNegacion (Neg p)=False<br /> dobleNegacion x = False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa = undefined <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

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<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;haskell&quot;&gt;<br /> <br /> -- TablerosSemánticos.hs<br /> -- Tableros semánticos proposicionales.<br /> -- José A. Alonso Jiménez &lt;jalonso@us,es&gt;<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> module TablerosSemanticos where<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Librerías auxiliares --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> import SintaxisSemantica<br /> import Data.List <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Literales --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 0: Definir la función<br /> -- literal :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- literal p ==&gt; True<br /> -- literal (no p) ==&gt; True<br /> -- literal (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> literal :: Prop -&gt; Bool<br /> literal (Atom p) = True<br /> literal (Neg (Atom p)) = True<br /> literal x = False<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Notación uniforme --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 1: Definir la función<br /> -- dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (dobleNegación f) se verifica si f es una doble negación. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- dobleNegación (no (no p)) ==&gt; True<br /> -- dobleNegación (no (p --&gt; q)) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> dobleNegación :: Prop -&gt; Bool<br /> dobleNegación = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 2: Definir la función<br /> -- alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> alfa :: Prop -&gt; Bool<br /> alfa = undefined <br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 3: Definir la función<br /> -- beta :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta.<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> beta :: Prop -&gt; Bool<br /> beta = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 4: Definir la función<br /> -- componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula<br /> -- f. Por ejemplo, <br /> -- componentes (p /\ q --&gt; r) ==&gt; [no (p /\ q),r]<br /> -- componentes (no (p /\ q --&gt; r)) ==&gt; [(p /\ q),no r]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> componentes :: Prop -&gt; [Prop]<br /> componentes = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Modelos mediante tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 5: Definir la función<br /> -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de<br /> -- literales. Por ejemplo, <br /> -- conjuntoDeLiterales [p --&gt; q, no r, r /\ s, p] ==&gt; False<br /> -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> conjuntoDeLiterales :: [Prop] -&gt; Bool<br /> conjuntoDeLiterales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 6: Definir la función<br /> -- tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> -- tal que (tieneContradicción fs) se verifica si fs contiene una<br /> -- fórmula y su negación. Por ejemplo,<br /> -- tieneContradicción [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==&gt; True<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> tieneContradicción :: [Prop] -&gt; Bool<br /> tieneContradicción fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 7: Definir la función<br /> -- expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble<br /> -- negación f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==&gt; [[q,p,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónDN :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónDN fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 8: Definir la función<br /> -- expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula alfa f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==&gt; [[p1,p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónAlfa :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónAlfa fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 9: Definir la función<br /> -- expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (expansiónBeta fs f) es la expansión de fs mediante la<br /> -- fórmula beta f. Por ejemplo,<br /> -- expansiónBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==&gt; [[p1,q,r],[p2,q,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> expansiónBeta :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; [[Prop]]<br /> expansiónBeta fs f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 10: Definir la función<br /> -- sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo,<br /> -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] =&gt; [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]]<br /> -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] =&gt; [[p1,p2,r,(q \/ s)]]<br /> -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] =&gt; [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> sucesores :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> sucesores fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 11: Definir la función<br /> -- modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs<br /> -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo,<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no(q --&gt; p)] <br /> -- ==&gt; [[no p,q],[q,no p]]<br /> -- modelosTab [p --&gt; q, no q --&gt; no p] <br /> -- ==&gt; [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosTab :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosTab fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 12: Definir la función<br /> -- subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==&gt; True<br /> -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> subconjunto :: Eq a =&gt; [a] -&gt; [a] -&gt; Bool<br /> subconjunto xs ys = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 13: Definir la función<br /> -- modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales<br /> -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por<br /> -- ejemplo, <br /> -- modelosGenerales [p --&gt; q, no q --&gt; no p] ==&gt; [[no p],[q]]<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> modelosGenerales :: [Prop] -&gt; [[Prop]]<br /> modelosGenerales fs = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Teoremas por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 14: Definir la función<br /> -- esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, <br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; p) ==&gt; True<br /> -- esTeoremaPorTableros (p --&gt; q) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esTeoremaPorTableros :: Prop -&gt; Bool<br /> esTeoremaPorTableros f = undefined<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Consecuencia por tableros --<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> -- Ejercicio 15: Definir la función<br /> -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es<br /> -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por<br /> -- ejemplo,<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p --&gt; r) ==&gt; True<br /> -- esDeduciblePorTableros [p --&gt; q, q --&gt; r] (p &lt;--&gt; r) ==&gt; False<br /> -- ---------------------------------------------------------------------<br /> <br /> esDeduciblePorTableros :: [Prop] -&gt; Prop -&gt; Bool<br /> esDeduciblePorTableros fs f = undefined<br /> <br /> <br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Ejercicio_2&diff=404 2013-04-12T14:10:29Z

<p>Pedrosrei: /* Selección del ejercicio */</p> <hr /> <div>== Enunciado ==<br /> El segundo ejercicio evaluable consiste en la realización de una demostración por deducción natural en la Lógica de primer orden, con Isabelle/HOL.<br /> Para ello, <br /> * Cada alumno elegirá uno de los ejercicios propuestos en [[T2|T2]].<br /> * Una vez elegido, lo anotará en la lista que se muestra a continuación, no pudiendo un mismo ejercicio ser elegido por más de un alumno. <br /> * El ejercicio resuelto se enviará a mjoseh@us.es en un fichero usuario_2.thy antes del viernes 26 de abril de 2013.<br /> * En la valoración del ejercicio se tendrá en cuenta tanto el nivel de dificultad como la calidad de la demostración.<br /> <br /> == Selección del ejercicio ==<br /> <br /> * Ejercicio 1: Francisco Vilches Chacón<br /> * Ejercicio 2: <br /> * Ejercicio 3: <br /> * Ejercicio 4: <br /> * Ejercicio 5: <br /> * Ejercicio 6: <br /> * Ejercicio 7: <br /> * Ejercicio 8: Inmaculada Arjona Arjona<br /> * Ejercicio 9: <br /> * Ejercicio 10: <br /> * Ejercicio 11: <br /> * Ejercicio 12: <br /> * Ejercicio 13: <br /> * Ejercicio 14: <br /> * Ejercicio 15: <br /> * Ejercicio 16: <br /> * Ejercicio 17: <br /> * Ejercicio 18: <br /> * Ejercicio 19: <br /> * Ejercicio 20: <br /> * Ejercicio 21: <br /> * Ejercicio 22: Erlinda Menéndez Pérez<br /> * Ejercicio 23: Irene Araujo Guijo<br /> * Ejercicio 24: <br /> * Ejercicio 25: <br /> * Ejercicio 26: José Mª Contreras Beltrán<br /> * Ejercicio 27: FºJavier Sanz Gil<br /> * Ejercicio 28: Isabel Duarte Tosso<br /> * Ejercicio 29: <br /> * Ejercicio 30: <br /> * Ejercicio 31: <br /> * Ejercicio 32: <br /> * Ejercicio 33: Pedro Ros Reina</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=396 2013-04-12T10:31:30Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x))&quot;<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. Q x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;Q a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; ..<br /> next<br /> assume &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; <br /> then obtain a where &quot;P a ∨ Q a&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;Q a&quot;<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> ultimately <br /> show &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot; ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms(1)..<br /> then obtain b where 2:&quot;(R a b ∨ R b a)&quot; ..<br /> have &quot;a≠b&quot;<br /> proof<br /> assume 5:&quot;a=b&quot;<br /> show False<br /> proof (rule disjE)<br /> show &quot;R a b ∨ R b a&quot; using 2.<br /> next<br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> with 5 have &quot;R b b&quot; by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> next<br /> assume 7:&quot;R b a&quot;<br /> have &quot;b=a&quot; using 5..<br /> hence &quot;R a a&quot; using 7 by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> qed<br /> hence &quot;∃x. a≠x&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;P a a a&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;∀y z. P a y z ⟶ P(f a) y (f z)&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀ z. P a a z ⟶ P(f a) a (f z)&quot;..<br /> hence &quot;P a a a ⟶ P(f a) a (f a)&quot;..<br /> thus ?thesis using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> proof -<br /> have 1: &quot;P a (f a) (f a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;∀y z. P a y z⟶P (f a) y (f z)&quot; using assms(2) ..<br /> hence &quot;∀z. P a (f a) z⟶P (f a) (f a) (f z)&quot;..<br /> hence &quot; P a (f a) (f a)⟶P (f a) (f a) (f (f a))&quot;..<br /> hence &quot;P (f a) (f a) (f (f a))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=395 2013-04-12T10:17:44Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x))&quot;<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. Q x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;Q a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; ..<br /> next<br /> assume &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; <br /> then obtain a where &quot;P a ∨ Q a&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;Q a&quot;<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> ultimately <br /> show &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot; ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms(1)..<br /> then obtain b where 2:&quot;(R a b ∨ R b a)&quot; ..<br /> have &quot;a≠b&quot;<br /> proof<br /> assume 5:&quot;a=b&quot;<br /> show False<br /> proof (rule disjE)<br /> show &quot;R a b ∨ R b a&quot; using 2.<br /> next<br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> with 5 have &quot;R b b&quot; by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> next<br /> assume 7:&quot;R b a&quot;<br /> have &quot;b=a&quot; using 5..<br /> hence &quot;R a a&quot; using 7 by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> qed<br /> hence &quot;∃x. a≠x&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;P a a a&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;∀y z. P a y z ⟶ P(f a) y (f z)&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀ z. P a a z ⟶ P(f a) a (f z)&quot;..<br /> hence &quot;P a a a ⟶ P(f a) a (f a)&quot;..<br /> thus ?thesis using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=394 2013-04-12T10:13:39Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x))&quot;<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. Q x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;Q a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; ..<br /> next<br /> assume &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; <br /> then obtain a where &quot;P a ∨ Q a&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;Q a&quot;<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> ultimately <br /> show &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot; ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms(1)..<br /> then obtain b where 2:&quot;(R a b ∨ R b a)&quot; ..<br /> have &quot;a≠b&quot;<br /> proof<br /> assume 5:&quot;a=b&quot;<br /> show False<br /> proof (rule disjE)<br /> show &quot;R a b ∨ R b a&quot; using 2.<br /> next<br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> with 5 have &quot;R b b&quot; by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> next<br /> assume 7:&quot;R b a&quot;<br /> have &quot;b=a&quot; using 5..<br /> hence &quot;R a a&quot; using 7 by (rule subst)<br /> hence &quot;∃x. R x x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> qed<br /> hence &quot;∃x. a≠x&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=393 2013-04-12T10:04:21Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x))&quot;<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. Q x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;Q a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; ..<br /> next<br /> assume &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; <br /> then obtain a where &quot;P a ∨ Q a&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;Q a&quot;<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> ultimately <br /> show &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot; ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=392 2013-04-12T10:04:01Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x))&quot;<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∃x. Q x)&quot;<br /> then obtain a where &quot;Q a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; ..<br /> next<br /> assume &quot;(∃x. P x ∨ Q x)&quot; <br /> then obtain a where &quot;P a ∨ Q a&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;Q a&quot;<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot;..}<br /> ultimately <br /> show &quot;(∃x. P x) ∨ (∃y. Q y)&quot; ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=391 2013-04-12T09:59:24Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=390 2013-04-12T09:47:16Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> quickcheck (* Es falso*)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=388 2013-04-10T15:32:23Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∃x. P x)⟶ Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x)&quot;<br /> then obtain b where &quot;P b&quot;..<br /> have &quot;P b ⟶ Q&quot; using 1..<br /> thus Q using `P b`..<br /> qed<br /> next<br /> assume 2:&quot;((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> show &quot;(∀x. P x ⟶ Q)&quot;<br /> proof <br /> fix c<br /> show &quot;P c ⟶Q&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P c&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 2 show Q..<br /> qed<br /> qed<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=387 2013-04-10T15:08:47Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=386 2013-04-10T15:07:14Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> proof-<br /> {fix a<br /> {fix b<br /> have &quot;∀y x. R a y ∧ R y x ⟶ R a x&quot; using assms(1)..<br /> hence &quot;∀x. R a b ∧ R b x ⟶ R a x&quot;..<br /> hence 1:&quot;R a b ∧ R b a ⟶ R a a&quot;..<br /> have &quot;¬ R a a&quot; using assms(2)..<br /> with 1 have &quot;¬(R a b ∧ R b a)&quot;by (rule mt)<br /> hence 2:&quot;¬(R a b) ∨ ¬(R b a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;R a b ⟶ ¬R b a&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;¬(¬(R a b))&quot; by (rule notnotI)<br /> with 2 show &quot;¬R b a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. R a x ⟶ ¬R x a&quot;..}<br /> thus &quot;∀y x. R y x ⟶ ¬R x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=385 2013-04-10T11:12:15Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix b<br /> show &quot;P a ⟶Q b&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> thus &quot;Q b&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=384 2013-04-10T11:09:43Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 1: &quot;¬?thesis&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;¬P a ∨ P a&quot;..<br /> hence &quot;P a ∨ ¬P a&quot; by (rule ejercicio_27)<br /> have &quot;¬ P a ∨ ?thesis&quot;<br /> proof-<br /> note `P a ∨ ¬P a`<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume 2:&quot;¬P a&quot;<br /> hence &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;¬ P a ∨ (∃x. P x)&quot;..<br /> qed<br /> hence &quot;¬P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)}<br /> hence &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> with assms show False..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=381 2013-04-09T21:16:58Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> fix x<br /> show &quot;x= a ⟶ P x&quot;<br /> proof <br /> assume &quot;x= a&quot;<br /> hence &quot;a = x&quot;..<br /> thus &quot;P x&quot; using assms by (rule subst)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=380 2013-04-09T21:04:53Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∃x. P x&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;P a&quot;..<br /> have &quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> proof <br /> obtain a where 1: &quot;P a&quot; using assms..<br /> assume &quot;(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> hence &quot;¬(P a)&quot;..<br /> thus False using 1..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_7&diff=379 2013-04-09T20:08:38Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;Isar&quot;&gt;<br /> header {* R7: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}<br /> <br /> theory R7<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas<br /> básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los<br /> cuantificadores y de la igualdad: <br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> <br /> · allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R<br /> · allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x<br /> · exI: P x ⟹ ∃x. P x<br /> · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q<br /> <br /> · refl: t = t<br /> · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t<br /> · trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t<br /> · sym: s = t ⟹ t = s<br /> · not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t<br /> · ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t<br /> · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d<br /> · arg_cong: x = y ⟹ f x = f y<br /> · fun_cong: f = g ⟹ f x = g x<br /> · cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y<br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.<br /> *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_1: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof (rule impI)<br /> assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2: <br /> assumes &quot;∃x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. P x)&quot;<br /> obtain a where 2:&quot;¬(P a)&quot; using assms..<br /> have &quot;P a&quot; using 1..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> ∀x. P x ⊢ ∀y. P y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3: <br /> assumes &quot;∀x. P x&quot;<br /> shows &quot;∀y. P y&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∀x. ¬(Q x))&quot;<br /> {fix a<br /> have 2:&quot;P a ⟶ Q a&quot; using assms..<br /> have &quot;¬(Q a)&quot; using 1..<br /> with 2 have &quot;¬(P a)&quot; by (rule mt)}<br /> thus &quot;∀x. ¬(P x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_5: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ ¬(Q x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot;..<br /> hence 2:&quot;P a&quot;..<br /> have 3:&quot;Q a&quot; using 1..<br /> have &quot;P a ⟶ ¬(Q a)&quot; using assms..<br /> hence &quot;¬(Q a)&quot; using 2..<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_6: <br /> assumes &quot;∀x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: <br /> assumes &quot;∃x y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∃u v. P u v&quot;<br /> using assms .<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8: <br /> assumes &quot;∃x. ∀y. P x y&quot;<br /> shows &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;∀y. P a y&quot; using assms..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_9: <br /> assumes &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;P a&quot;<br /> obtain b where 2: &quot;P a⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..<br /> thus &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10: <br /> fixes P Q :: &quot;&#039;b ⇒ bool&quot; <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∃x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a)∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with assms have &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> then obtain b where &quot;Q b&quot;..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11: <br /> assumes &quot;(∃x. P x) ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬(Q a)∨ (Q a)&quot;..<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;¬(Q a)&quot;<br /> {fix b<br /> have 3:&quot;¬(∃x. P x)&quot;using 1 2 by (rule mt)<br /> have &quot;¬(P b)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;P b&quot;<br /> hence &quot;∃x. P x&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed<br /> hence 3:&quot;P b⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 2: &quot;Q a&quot;<br /> {fix b<br /> have &quot;P b ⟶ Q a&quot;using 2..}<br /> hence ?thesis ..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_12: <br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;<br /> proof-<br /> fix w<br /> have &quot;P w ⟶ Q a&quot;using assms..<br /> thus &quot;∃x. P x ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_13: <br /> assumes &quot;(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot;<br /> proof-<br /> note `(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)`<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. P x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume 1:&quot;∀x. Q x&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;Q a&quot;using 1..<br /> hence &quot;P a ∨ Q a&quot;..}<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately<br /> show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14: <br /> assumes &quot;∃x. P x ∧ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;P a ∧ Q a&quot; using assms..<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> hence 2:&quot;∃x. P x&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. Q x&quot;..<br /> with 2 show ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_15: <br /> assumes &quot;∀x y. P y ⟶ Q x&quot;<br /> shows &quot;(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃y. P y)&quot;<br /> then obtain a where 1: &quot;P a&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;∀x. P x ⟶ Q b&quot; using 0..<br /> hence &quot;P a ⟶ Q b&quot;..<br /> hence &quot;Q b&quot; using 1..}<br /> thus &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16: <br /> assumes &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. P x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17: <br /> assumes &quot;∀x. ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. P x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18: <br /> assumes &quot;∃x. P x&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. ¬(P x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19: <br /> assumes &quot;P a ⟶ (∀x. Q x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P a ⟶ Q x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, <br /> ∀x. ¬(R x x)}<br /> ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20: <br /> assumes &quot;∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z&quot;<br /> &quot;∀x. ¬(R x x)&quot; <br /> shows &quot;∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;∀x. P x ∨ Q x&quot; <br /> &quot;∃x. ¬(Q x)&quot; <br /> &quot;∀x. R x ⟶ ¬(P x)&quot;<br /> shows &quot;∃x. ¬(R x)&quot; <br /> proof -<br /> obtain a where 1: &quot;¬ (Q a)&quot; using assms(2)..<br /> have &quot;P a∨ Q a&quot; using assms(1) ..<br /> hence &quot;P a&quot; using 1 by (rule ejercicio_42)<br /> hence 2:&quot;¬¬P a&quot; by (rule notnotI)<br /> have &quot;R a ⟶ ¬(P a)&quot; using assms(3)..<br /> hence &quot;¬(R a)&quot; using 2 by (rule mt)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x&quot; <br /> &quot;¬(∃x. P x ∧ R x)&quot;<br /> shows &quot;∀x. P x ⟶ Q x&quot;<br /> proof<br /> fix a<br /> have 1:&quot;P a ⟶ Q a ∨ R a&quot; using assms(1)..<br /> show &quot;P a ⟶ Q a&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬(P a) ∨ P a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;(P a) ⟶ Q a&quot; by (rule ejercicio_40f)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;P a&quot;<br /> with 1 have 2:&quot;Q a ∨ R a&quot;..<br /> have &quot;Q a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(Q a)&quot;<br /> with 2 have &quot;R a&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with `P a` have &quot;P a ∧ R a&quot;..<br /> hence &quot;∃x. P x ∧ R x&quot;..<br /> with assms(2) show False..<br /> qed<br /> hence &quot;P a ⟶ Q a&quot;..}<br /> ultimately show &quot;P a ⟶ Q a&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> shows &quot;∃x y. R x y&quot;<br /> proof-<br /> obtain a where 1: &quot;∃y. R a y ∨ R y a&quot; using assms..<br /> then obtain b where &quot;R a b ∨ R b a&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;R a b&quot;<br /> hence &quot;∃x. R a x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;R b a&quot;<br /> hence &quot;∃x. R b x&quot;..<br /> hence ?thesis..}<br /> ultimately show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24: <br /> &quot;(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ∀y. P x y)&quot;<br /> then obtain a where 1:&quot;∀y. P a y&quot;..<br /> {fix b<br /> have &quot;P a b&quot; using 1..<br /> hence &quot;∃x. P x b&quot;..}<br /> thus &quot;∀y. ∃x. P x y&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25: <br /> &quot;(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26: <br /> &quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x))&quot;<br /> hence 2:&quot;∀x. P x&quot;..<br /> have 3:&quot;∀x. Q x&quot; using 1..<br /> {fix a<br /> have 4:&quot;P a&quot; using 2..<br /> have &quot;Q a&quot; using 3..<br /> with 4 have &quot;P a ∧ Q a&quot;..}<br /> thus &quot;∀x. P x ∧ Q x&quot;..<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∀x. P x ∧ Q x)&quot;<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;P a&quot;..}<br /> hence 2: &quot;∀x. P x&quot;..<br /> {fix a<br /> have &quot;P a ∧ Q a&quot; using 1..<br /> hence &quot;Q a&quot;..}<br /> hence 3: &quot;∀x. Q x&quot;..<br /> with 2 show &quot;(∀x. P x)∧(∀x. Q x)&quot;..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar o refutar<br /> ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27: <br /> &quot;((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar o refutar<br /> ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28: <br /> &quot;((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar o refutar<br /> (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29: <br /> &quot;(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar o refutar<br /> (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30: <br /> &quot;(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(¬(∀x. P x))&quot;<br /> show 2:&quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 3:&quot;¬(∃x. ¬P x)&quot;<br /> {fix a<br /> have 4: &quot;P a&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬(P a)&quot;<br /> hence &quot;∃x. ¬(P x)&quot;..<br /> with 3 show False..<br /> qed}<br /> hence &quot;∀x. P x&quot;..<br /> with 1 show False..<br /> qed<br /> next<br /> assume 1: &quot;(∃x. ¬P x)&quot;<br /> then obtain a where 2: &quot;¬ (P a)&quot;..<br /> show 3:&quot;¬(∀x. P x)&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;∀x. P x&quot;<br /> hence &quot;P a&quot;..<br /> with 2 show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> section {* Ejercicios sobre igualdad *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar o refutar<br /> P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31b:<br /> assumes &quot;P a&quot;<br /> shows &quot;∀x. x = a ⟶ P x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar o refutar<br /> ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> fixes R :: &quot;&#039;c ⇒ &#039;c ⇒ bool&quot;<br /> assumes &quot;∃x y. R x y ∨ R y x&quot;<br /> &quot;¬(∃x. R x x)&quot;<br /> shows &quot;∃(x::&#039;c) y. x ≠ y&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} <br /> ⊢ P (f a) a (f a)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot;<br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;P (f a) a (f a)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar o refutar<br /> {∀x. P a x x, <br /> ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧<br /> ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34b:<br /> assumes &quot;∀x. P a x x&quot; <br /> &quot;∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)&quot;<br /> shows &quot;∃z. P (f a) z (f (f a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar o refutar<br /> {∀y. Q a y, <br /> ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} <br /> ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;∀y. Q a y&quot; <br /> &quot;∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)&quot; <br /> shows &quot;∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36b:<br /> &quot;⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar o refutar<br /> {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37b:<br /> &quot;⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=361 2013-04-07T14:26:09Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> lemma ejercicio_19a:<br /> assumes a:&quot;∀x. ((∃y. B(x)∧B(y)∧A(x,y)))⟶ (∀z. B(z)⟶A(z,x))&quot;and<br /> b:&quot;B(l)∧B(p)∧B(c)∧B(g)&quot;and<br /> c:&quot;A(g,c)&quot;<br /> shows &quot;A(p,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 0:&quot;B(l)&quot; using b..<br /> have 1:&quot;B(p)∧B(c)∧B(g)&quot; using b..<br /> hence &quot;B(p)&quot;..<br /> have 2:&quot;B(c)∧B(g)&quot; using 1..<br /> hence &quot;B(c)&quot;..<br /> hence 3:&quot;B(c)∧A(g,c)&quot;using c..<br /> have &quot;B(g)&quot; using 2..<br /> hence &quot;B(g)∧B(c)∧A(g,c)&quot; using 3..<br /> hence 4:&quot;(∃x. (B(g)∧B(x)∧A(g,x)))&quot;..<br /> have &quot;((∃y. B(g)∧B(y)∧A(g,y)))⟶ (∀z. B(z)⟶A(z,g))&quot; using a..<br /> hence &quot;(∀z. B(z)⟶A(z,g))&quot; using 4 by (rule mp)<br /> hence &quot;B(l)⟶A(l,g)&quot; ..<br /> hence &quot;A(l,g)&quot; using 0..<br /> with `B(g)`have &quot;B(g)∧A(l,g)&quot;..<br /> with 0 have &quot;B(l)∧B(g)∧A(l,g)&quot;.. <br /> hence 5:&quot;(∃x. (B(l)∧B(x)∧A(l,x)))&quot;..<br /> have &quot;((∃y. B(l)∧B(y)∧A(l,y)))⟶ (∀z. B(z)⟶A(z,l))&quot; using a..<br /> hence &quot;(∀z. B(z)⟶A(z,l))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(p)⟶A(p,l)&quot;..<br /> thus ?thesis using `B(p)`..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22b:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> proof<br /> fix a<br /> have &quot;∀y. (H(a) ∧ P(a) ∧ P(y))⟶ A(a,y)&quot; using assms..<br /> hence 1:&quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)⟶ A(a,a)&quot; ..<br /> show &quot;H(a) ∧ P(a) ⟶ A(a,a)&quot;<br /> proof<br /> assume a:&quot;H(a) ∧ P(a)&quot;<br /> hence b:&quot;P(a)&quot;..<br /> have &quot;H(a)&quot; using a..<br /> have &quot;P(a)∧P(a)&quot; using b b..<br /> with `H(a)`have &quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)&quot;..<br /> with 1 show &quot;A(a,a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_24f:<br /> assumes a: &quot;∀x. ((L(x)∨Z(x)∨Pa(x)∨Or(x)∨Ca(x)) ⟶ A(x))&quot; and<br /> b: &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; and<br /> c: &quot;(∃x. S(x))∧(∀x. S(x)⟶Pl(x))&quot;and<br /> d: &quot;∀x. (A(x)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(x,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,x)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))))&quot;and<br /> e: &quot;∀x. ∀y.(Pa(y)∧(Or(x)∨Ca(x))⟶M(x,y))∧((Pa(y)∧Z(x))⟶M(y,x))∧((Z(y)∧L(x))⟶M(y,x))&quot; and<br /> f: &quot;∀x. ∀y.(L(y)∧(S(x)∨Z(x))⟶ ¬Co(y,x))∧((Pa(x)∧Or(y))⟶Co(x,y))∧((Pa(x)∧Ca(y))⟶¬Co(x,y))&quot; and<br /> g: &quot;∀x. (Or(x)∨Ca(x))⟶ (∃y. Pl(y)∧Co(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x. ∃y. ∃z. (A(x)∧A(y)∧Pl(z)∧Co(x,y)∧Co(y,z))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;∃x. S(x)&quot; using c..<br /> then obtain s where 1: &quot;S(s)&quot;..<br /> have &quot;(∀x. S(x)⟶Pl(x))&quot; using c..<br /> hence &quot;S(s)⟶Pl(s)&quot;..<br /> hence 2:&quot;Pl(s)&quot; using 1..<br /> have &quot;(∃x. L(x))&quot; using b..<br /> then obtain l where 3: &quot;L(l)&quot;..<br /> hence 4:&quot;L(l)∨Z(l)∨Pa(l)∨Or(l)∨Ca(l)&quot;..<br /> have &quot;(L(l)∨Z(l)∨Pa(l)∨Or(l)∨Ca(l))⟶A(l)&quot;using a..<br /> hence 5:&quot;A(l)&quot; using 4..<br /> have &quot;(A(l)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))&quot; using 5..<br /> have 6:&quot;(∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))`<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))&quot;<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(l,s)&quot;..<br /> hence 6:&quot;Co(l,s)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(y,s))∧((Pa(s)∧Or(y))⟶Co(s,y))∧((Pa(s)∧Ca(y))⟶¬Co(s,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(l,s))∧((Pa(s)∧Or(l))⟶Co(s,l))∧((Pa(s)∧Ca(l))⟶¬Co(s,l))&quot;..<br /> hence 7:&quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(l,s))&quot;..<br /> have &quot;S(s)∨Z(s)&quot; using `S(s)`..<br /> with 3 have &quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s)))&quot;..<br /> with 7 have &quot;¬Co(l,s)&quot;..<br /> hence False using 6..<br /> hence &quot;((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y)))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y)))&quot;..<br /> qed (*Hasta aquí hemos demostrado que el lobo se come a todos los hervíboros más pequeños que él*)<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Z(x))&quot;..<br /> then obtain z where 7: &quot;Z(z)&quot;..<br /> hence &quot;Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z)&quot;..<br /> hence 8:&quot;L(z)∨Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z)&quot;..<br /> have &quot;(L(z)∨Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z))⟶A(z)&quot;using a..<br /> hence 9:&quot;A(z)&quot; using 8..<br /> have &quot;(A(z)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))&quot; using 9..<br /> have zorro:&quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))`<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))&quot;<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(z,s)&quot;..<br /> hence &quot;Co(z,s)&quot; using 2..<br /> with 2 have 10:&quot;Pl(s)∧Co(z,s)&quot;..<br /> hence 10:&quot;∃x. Pl(x)∧Co(z,x)&quot;..<br /> have 11:&quot;Z(z)∧L(l)&quot; using `Z(z)` `L(l)`..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(l)∨Ca(l))⟶M(l,y))∧((Pa(y)∧Z(l))⟶M(y,l))∧((Z(y)∧L(l))⟶M(y,l))&quot; using e..<br /> hence &quot;(Pa(z)∧(Or(l)∨Ca(l))⟶M(l,z))∧((Pa(z)∧Z(l))⟶M(z,l))∧((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(z)∧Z(l))⟶M(z,l))∧((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence &quot;((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence 12:&quot;M(z,l)&quot; using 11..<br /> have 13:&quot;(A(z)∧M(z,l)∧(∃w. Pl(w)∧Co(z,w))⟶Co(l,z))&quot; using 6..<br /> have &quot;M(z,l)∧(∃x. Pl(x)∧Co(z,x))&quot; using 12 10..<br /> with 9 have &quot;(A(z)∧M(z,l)∧(∃w. Pl(w)∧Co(z,w)))&quot;..<br /> with 13 have 14:&quot;Co(l,z)&quot;..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(y,z))∧((Pa(z)∧Or(y))⟶Co(z,y))∧((Pa(z)∧Ca(y))⟶¬Co(z,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(l,z))∧((Pa(z)∧Or(l))⟶Co(z,l))∧((Pa(z)∧Ca(l))⟶¬Co(z,l))&quot;..<br /> hence 7:&quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(l,z))&quot;..<br /> have &quot;S(z)∨Z(z)&quot; using `Z(z)`..<br /> with 3 have &quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z)))&quot;..<br /> with 7 have &quot;¬Co(l,z)&quot;..<br /> hence False using 14..<br /> hence &quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;..<br /> qed (*Aquí vemos que el zorro también se como a los hervíboros más pequeños *)<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))&quot;..<br /> then obtain p where 15: &quot;Pa(p)&quot;..<br /> hence &quot;Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> hence &quot;Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> hence 16:&quot;L(p)∨Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> have &quot;(L(p)∨Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p))⟶A(p)&quot;using a..<br /> hence 17:&quot;A(p)&quot; using 16..<br /> have &quot;(A(p)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))&quot; using 17..<br /> have &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))`<br /> moreover<br /> {assume as: &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;<br /> hence &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;.}<br /> moreover<br /> {assume as:&quot;((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y)))&quot;<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;∃x. Ca(x)&quot;..<br /> then obtain c where 18: &quot;Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence 19:&quot;L(c)∨Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> have &quot;(L(c)∨Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c))⟶A(c)&quot;using a..<br /> hence 20:&quot;A(c)&quot; using 19..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,y))∧((Pa(y)∧Z(c))⟶M(y,c))∧((Z(y)∧L(c))⟶M(y,c))&quot;using e..<br /> hence &quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,p))∧((Pa(p)∧Z(c))⟶M(p,c))∧((Z(p)∧L(c))⟶M(p,c))&quot;..<br /> hence 21:&quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,p))&quot;..<br /> have 22:&quot;(Or(c)∨Ca(c))&quot; using `Ca(c)`..<br /> with 15 have &quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c)))&quot;..<br /> with 21 have 23:&quot;M(c,p)&quot;..<br /> have &quot;(Or(c)∨Ca(c))⟶ (∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot; using g..<br /> hence 24:&quot;(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot; using 22..<br /> with 23 have &quot;M(c,p)∧(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot;..<br /> with 20 have 25:&quot;A(c)∧M(c,p)∧(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot;..<br /> have &quot;((A(c)∧M(c,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(c,z))⟶Co(p,c)))&quot; using as..<br /> hence 26:&quot;Co(p,c)&quot; using 25..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(p)∨Z(p))⟶ ¬Co(y,p))∧((Pa(p)∧Or(y))⟶Co(p,y))∧((Pa(p)∧Ca(y))⟶¬Co(p,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(c)∧(S(p)∨Z(p))⟶ ¬Co(c,p))∧((Pa(p)∧Or(c))⟶Co(p,c))∧((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Or(c))⟶Co(p,c))∧((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> hence 27:&quot;((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> have &quot;Pa(p)∧Ca(c)&quot; using 15 18..<br /> with 27 have &quot;¬Co(p,c)&quot;..<br /> hence False using 26..<br /> hence &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;..<br /> qed (*Hemos demostrado que el pájaro se come todas las semillas*)<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(p,s)&quot;..<br /> hence 28:&quot;Co(p,s)&quot; using 2..<br /> with 2 have &quot;Pl(s)∧Co(p,s)&quot;..<br /> hence 29:&quot;∃w. Pl(w)∧Co(p,w)&quot;..<br /> have 30:&quot;(Pa(p)∧Z(z))&quot; using 15 7..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(z)∨Ca(z))⟶M(z,y))∧((Pa(y)∧Z(z))⟶M(y,z))∧((Z(y)∧L(z))⟶M(y,z))&quot; using e..<br /> hence &quot;(Pa(p)∧(Or(z)∨Ca(z))⟶M(z,p))∧((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))∧((Z(p)∧L(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))∧((Z(p)∧L(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;M(p,z)&quot; using 30..<br /> hence &quot;M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))&quot; using 29..<br /> with 17 have 31:&quot;A(p)∧M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))&quot;..<br /> have &quot;A(p)∧M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))⟶Co(z,p)&quot; using zorro ..<br /> hence 32:&quot;Co(z,p)&quot; using 31..<br /> hence &quot;Co(z,p)∧Co(p,s)&quot; using 28..<br /> with 2 have &quot;Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> with 17 have &quot;A(p)∧Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> with 9 have &quot;A(z)∧A(p)∧Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> hence &quot;∃w. (A(z)∧A(p)∧Pl(w)∧Co(z,p)∧Co(p,w))&quot;..<br /> hence &quot;∃y. ∃w. (A(z)∧A(y)∧Pl(w)∧Co(z,y)∧Co(y,w))&quot;..<br /> thus ?thesis.. (*Ya tenemos que el zorro se come al pájaro que se come las semillas*)<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (¬S(x,a)⟶ A(x,r))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;∀x. (A(x,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(x=y)))&quot;<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬S(p,a) ⟶ A(p,r)&quot; using 3..<br /> hence 6:&quot;A(p,r)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y. (A(c,y)⟷A(y,c))&quot; using 4..<br /> hence &quot;(A(c,r)⟷A(r,c))&quot;..<br /> hence 7:&quot;A(c,r)&quot; using 1..<br /> have &quot;(A(p,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(p=y)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;(∀y. A(y,r)⟶(p=y))&quot; using 6..<br /> hence &quot;A(c,r)⟶(p=c)&quot;..<br /> thus ?thesis using 7..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=360 2013-04-07T10:01:00Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22b:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> proof<br /> fix a<br /> have &quot;∀y. (H(a) ∧ P(a) ∧ P(y))⟶ A(a,y)&quot; using assms..<br /> hence 1:&quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)⟶ A(a,a)&quot; ..<br /> show &quot;H(a) ∧ P(a) ⟶ A(a,a)&quot;<br /> proof<br /> assume a:&quot;H(a) ∧ P(a)&quot;<br /> hence b:&quot;P(a)&quot;..<br /> have &quot;H(a)&quot; using a..<br /> have &quot;P(a)∧P(a)&quot; using b b..<br /> with `H(a)`have &quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)&quot;..<br /> with 1 show &quot;A(a,a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_24f:<br /> assumes a: &quot;∀x. ((L(x)∨Z(x)∨Pa(x)∨Or(x)∨Ca(x)) ⟶ A(x))&quot; and<br /> b: &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; and<br /> c: &quot;(∃x. S(x))∧(∀x. S(x)⟶Pl(x))&quot;and<br /> d: &quot;∀x. (A(x)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(x,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,x)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))))&quot;and<br /> e: &quot;∀x. ∀y.(Pa(y)∧(Or(x)∨Ca(x))⟶M(x,y))∧((Pa(y)∧Z(x))⟶M(y,x))∧((Z(y)∧L(x))⟶M(y,x))&quot; and<br /> f: &quot;∀x. ∀y.(L(y)∧(S(x)∨Z(x))⟶ ¬Co(y,x))∧((Pa(x)∧Or(y))⟶Co(x,y))∧((Pa(x)∧Ca(y))⟶¬Co(x,y))&quot; and<br /> g: &quot;∀x. (Or(x)∨Ca(x))⟶ (∃y. Pl(y)∧Co(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x. ∃y. ∃z. (A(x)∧A(y)∧Pl(z)∧Co(x,y)∧Co(y,z))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;∃x. S(x)&quot; using c..<br /> then obtain s where 1: &quot;S(s)&quot;..<br /> have &quot;(∀x. S(x)⟶Pl(x))&quot; using c..<br /> hence &quot;S(s)⟶Pl(s)&quot;..<br /> hence 2:&quot;Pl(s)&quot; using 1..<br /> have &quot;(∃x. L(x))&quot; using b..<br /> then obtain l where 3: &quot;L(l)&quot;..<br /> hence 4:&quot;L(l)∨Z(l)∨Pa(l)∨Or(l)∨Ca(l)&quot;..<br /> have &quot;(L(l)∨Z(l)∨Pa(l)∨Or(l)∨Ca(l))⟶A(l)&quot;using a..<br /> hence 5:&quot;A(l)&quot; using 4..<br /> have &quot;(A(l)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))&quot; using 5..<br /> have 6:&quot;(∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y))))`<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(l,y))&quot;<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(l,s)&quot;..<br /> hence 6:&quot;Co(l,s)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(y,s))∧((Pa(s)∧Or(y))⟶Co(s,y))∧((Pa(s)∧Ca(y))⟶¬Co(s,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(l,s))∧((Pa(s)∧Or(l))⟶Co(s,l))∧((Pa(s)∧Ca(l))⟶¬Co(s,l))&quot;..<br /> hence 7:&quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s))⟶ ¬Co(l,s))&quot;..<br /> have &quot;S(s)∨Z(s)&quot; using `S(s)`..<br /> with 3 have &quot;(L(l)∧(S(s)∨Z(s)))&quot;..<br /> with 7 have &quot;¬Co(l,s)&quot;..<br /> hence False using 6..<br /> hence &quot;((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y)))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;((∀y. A(y)∧M(y,l)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(l,y)))&quot;..<br /> qed (*Hasta aquí hemos demostrado que el lobo se come a todos los hervíboros más pequeños que él*)<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Z(x))&quot;..<br /> then obtain z where 7: &quot;Z(z)&quot;..<br /> hence &quot;Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z)&quot;..<br /> hence 8:&quot;L(z)∨Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z)&quot;..<br /> have &quot;(L(z)∨Z(z)∨Pa(z)∨Or(z)∨Ca(z))⟶A(z)&quot;using a..<br /> hence 9:&quot;A(z)&quot; using 8..<br /> have &quot;(A(z)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))&quot; using 9..<br /> have zorro:&quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))))`<br /> moreover<br /> {assume &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(z,y))&quot;<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(z,s)&quot;..<br /> hence &quot;Co(z,s)&quot; using 2..<br /> with 2 have 10:&quot;Pl(s)∧Co(z,s)&quot;..<br /> hence 10:&quot;∃x. Pl(x)∧Co(z,x)&quot;..<br /> have 11:&quot;Z(z)∧L(l)&quot; using `Z(z)` `L(l)`..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(l)∨Ca(l))⟶M(l,y))∧((Pa(y)∧Z(l))⟶M(y,l))∧((Z(y)∧L(l))⟶M(y,l))&quot; using e..<br /> hence &quot;(Pa(z)∧(Or(l)∨Ca(l))⟶M(l,z))∧((Pa(z)∧Z(l))⟶M(z,l))∧((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(z)∧Z(l))⟶M(z,l))∧((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence &quot;((Z(z)∧L(l))⟶M(z,l))&quot;..<br /> hence 12:&quot;M(z,l)&quot; using 11..<br /> have 13:&quot;(A(z)∧M(z,l)∧(∃w. Pl(w)∧Co(z,w))⟶Co(l,z))&quot; using 6..<br /> have &quot;M(z,l)∧(∃x. Pl(x)∧Co(z,x))&quot; using 12 10..<br /> with 9 have &quot;(A(z)∧M(z,l)∧(∃w. Pl(w)∧Co(z,w)))&quot;..<br /> with 13 have 14:&quot;Co(l,z)&quot;..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(y,z))∧((Pa(z)∧Or(y))⟶Co(z,y))∧((Pa(z)∧Ca(y))⟶¬Co(z,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(l,z))∧((Pa(z)∧Or(l))⟶Co(z,l))∧((Pa(z)∧Ca(l))⟶¬Co(z,l))&quot;..<br /> hence 7:&quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z))⟶ ¬Co(l,z))&quot;..<br /> have &quot;S(z)∨Z(z)&quot; using `Z(z)`..<br /> with 3 have &quot;(L(l)∧(S(z)∨Z(z)))&quot;..<br /> with 7 have &quot;¬Co(l,z)&quot;..<br /> hence False using 14..<br /> hence &quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∀y. A(y)∧M(y,z)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(z,y))&quot;..<br /> qed (*Aquí vemos que el zorro también se como a los hervíboros más pequeños *)<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))&quot;..<br /> then obtain p where 15: &quot;Pa(p)&quot;..<br /> hence &quot;Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> hence &quot;Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> hence 16:&quot;L(p)∨Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p)&quot;..<br /> have &quot;(L(p)∨Z(p)∨Pa(p)∨Or(p)∨Ca(p))⟶A(p)&quot;using a..<br /> hence 17:&quot;A(p)&quot; using 16..<br /> have &quot;(A(p)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))&quot; using d..<br /> hence &quot;((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))&quot; using 17..<br /> have &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;<br /> proof -<br /> note `((∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))∨((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y))))`<br /> moreover<br /> {assume as: &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;<br /> hence &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;.}<br /> moreover<br /> {assume as:&quot;((∀y. A(y)∧M(y,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(p,y)))&quot;<br /> have &quot;(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; using b..<br /> hence &quot;(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot;..<br /> hence &quot;∃x. Ca(x)&quot;..<br /> then obtain c where 18: &quot;Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence &quot;Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> hence 19:&quot;L(c)∨Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c)&quot;..<br /> have &quot;(L(c)∨Z(c)∨Pa(c)∨Or(c)∨Ca(c))⟶A(c)&quot;using a..<br /> hence 20:&quot;A(c)&quot; using 19..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,y))∧((Pa(y)∧Z(c))⟶M(y,c))∧((Z(y)∧L(c))⟶M(y,c))&quot;using e..<br /> hence &quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,p))∧((Pa(p)∧Z(c))⟶M(p,c))∧((Z(p)∧L(c))⟶M(p,c))&quot;..<br /> hence 21:&quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c))⟶M(c,p))&quot;..<br /> have 22:&quot;(Or(c)∨Ca(c))&quot; using `Ca(c)`..<br /> with 15 have &quot;(Pa(p)∧(Or(c)∨Ca(c)))&quot;..<br /> with 21 have 23:&quot;M(c,p)&quot;..<br /> have &quot;(Or(c)∨Ca(c))⟶ (∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot; using g..<br /> hence 24:&quot;(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot; using 22..<br /> with 23 have &quot;M(c,p)∧(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot;..<br /> with 20 have 25:&quot;A(c)∧M(c,p)∧(∃y. Pl(y)∧Co(c,y))&quot;..<br /> have &quot;((A(c)∧M(c,p)∧(∃z. Pl(z)∧Co(c,z))⟶Co(p,c)))&quot; using as..<br /> hence 26:&quot;Co(p,c)&quot; using 25..<br /> have &quot;∀y.(L(y)∧(S(p)∨Z(p))⟶ ¬Co(y,p))∧((Pa(p)∧Or(y))⟶Co(p,y))∧((Pa(p)∧Ca(y))⟶¬Co(p,y))&quot; using f..<br /> hence &quot;(L(c)∧(S(p)∨Z(p))⟶ ¬Co(c,p))∧((Pa(p)∧Or(c))⟶Co(p,c))∧((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Or(c))⟶Co(p,c))∧((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> hence 27:&quot;((Pa(p)∧Ca(c))⟶¬Co(p,c))&quot;..<br /> have &quot;Pa(p)∧Ca(c)&quot; using 15 18..<br /> with 27 have &quot;¬Co(p,c)&quot;..<br /> hence False using 26..<br /> hence &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;..}<br /> ultimately<br /> show &quot;(∀y. Pl(y)⟶Co(p,y))&quot;..<br /> qed (*Hemos demostrado que el pájaro se come todas las semillas*)<br /> hence &quot;Pl(s)⟶Co(p,s)&quot;..<br /> hence 28:&quot;Co(p,s)&quot; using 2..<br /> with 2 have &quot;Pl(s)∧Co(p,s)&quot;..<br /> hence 29:&quot;∃w. Pl(w)∧Co(p,w)&quot;..<br /> have 30:&quot;(Pa(p)∧Z(z))&quot; using 15 7..<br /> have &quot;∀y.(Pa(y)∧(Or(z)∨Ca(z))⟶M(z,y))∧((Pa(y)∧Z(z))⟶M(y,z))∧((Z(y)∧L(z))⟶M(y,z))&quot; using e..<br /> hence &quot;(Pa(p)∧(Or(z)∨Ca(z))⟶M(z,p))∧((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))∧((Z(p)∧L(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))∧((Z(p)∧L(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;((Pa(p)∧Z(z))⟶M(p,z))&quot;..<br /> hence &quot;M(p,z)&quot; using 30..<br /> hence &quot;M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))&quot; using 29..<br /> with 17 have 31:&quot;A(p)∧M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))&quot;..<br /> have &quot;A(p)∧M(p,z)∧(∃w. Pl(w)∧Co(p,w))⟶Co(z,p)&quot; using zorro ..<br /> hence 32:&quot;Co(z,p)&quot; using 31..<br /> hence &quot;Co(z,p)∧Co(p,s)&quot; using 28..<br /> with 2 have &quot;Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> with 17 have &quot;A(p)∧Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> with 9 have &quot;A(z)∧A(p)∧Pl(s)∧Co(z,p)∧Co(p,s)&quot;..<br /> hence &quot;∃w. (A(z)∧A(p)∧Pl(w)∧Co(z,p)∧Co(p,w))&quot;..<br /> hence &quot;∃y. ∃w. (A(z)∧A(y)∧Pl(w)∧Co(z,y)∧Co(y,w))&quot;..<br /> thus ?thesis.. (*Ya tenemos que el zorro se come al pájaro que se come las semillas*)<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (¬S(x,a)⟶ A(x,r))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;∀x. (A(x,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(x=y)))&quot;<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬S(p,a) ⟶ A(p,r)&quot; using 3..<br /> hence 6:&quot;A(p,r)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y. (A(c,y)⟷A(y,c))&quot; using 4..<br /> hence &quot;(A(c,r)⟷A(r,c))&quot;..<br /> hence 7:&quot;A(c,r)&quot; using 1..<br /> have &quot;(A(p,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(p=y)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;(∀y. A(y,r)⟶(p=y))&quot; using 6..<br /> hence &quot;A(c,r)⟶(p=c)&quot;..<br /> thus ?thesis using 7..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=359 2013-04-07T08:49:42Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22b:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> proof<br /> fix a<br /> have &quot;∀y. (H(a) ∧ P(a) ∧ P(y))⟶ A(a,y)&quot; using assms..<br /> hence 1:&quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)⟶ A(a,a)&quot; ..<br /> show &quot;H(a) ∧ P(a) ⟶ A(a,a)&quot;<br /> proof<br /> assume a:&quot;H(a) ∧ P(a)&quot;<br /> hence b:&quot;P(a)&quot;..<br /> have &quot;H(a)&quot; using a..<br /> have &quot;P(a)∧P(a)&quot; using b b..<br /> with `H(a)`have &quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)&quot;..<br /> with 1 show &quot;A(a,a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_24f:<br /> assumes a1: &quot;∀x. ((L(x)∨Z(x)∨Pa(x)∨Or(x)∨Ca(x)) ⟶ A(x))&quot; and<br /> a2: &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Z(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Ca(x))&quot; and<br /> c: &quot;(∃x. S(s))∧(∃x. Pl(x))&quot;and<br /> d: &quot;∀x. (A(x)⟶((∀y. Pl(y)⟶Co(x,y))∨(∀y. A(y)∧M(y,x)∧(∃z. Pl(z)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))))&quot;and<br /> e: &quot;∀x. ∀y.(Pa(y)∧(Or(x)∨Ca(x))⟶M(x,y))∧((Pa(y)∧Z(x))⟶M(y,x))∧((Z(y)∧L(x))⟶M(y,x))&quot; and<br /> f: &quot;∀x. ∀y.(L(y)∧(S(x)∨Z(x))⟶ ¬Co(y,x))∧((Pa(x)∧Or(y))⟶Co(x,y))∧((Pa(x)∧Ca(y))⟶¬Co(x,y))&quot; and<br /> g: &quot;∀x. (Ca(x)∨Or(x))⟶ (∃y. Pl(y)∧Co(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x. ∃y. ∃z. (A(x)∧A(y)∧Pl(z)∧Co(x,y)∧Co(y,z))&quot;<br /> using assms by metis<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (¬S(x,a)⟶ A(x,r))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;∀x. (A(x,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(x=y)))&quot;<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬S(p,a) ⟶ A(p,r)&quot; using 3..<br /> hence 6:&quot;A(p,r)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y. (A(c,y)⟷A(y,c))&quot; using 4..<br /> hence &quot;(A(c,r)⟷A(r,c))&quot;..<br /> hence 7:&quot;A(c,r)&quot; using 1..<br /> have &quot;(A(p,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(p=y)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;(∀y. A(y,r)⟶(p=y))&quot; using 6..<br /> hence &quot;A(c,r)⟶(p=c)&quot;..<br /> thus ?thesis using 7..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=358 2013-04-06T10:30:54Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22b:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> proof<br /> fix a<br /> have &quot;∀y. (H(a) ∧ P(a) ∧ P(y))⟶ A(a,y)&quot; using assms..<br /> hence 1:&quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)⟶ A(a,a)&quot; ..<br /> show &quot;H(a) ∧ P(a) ⟶ A(a,a)&quot;<br /> proof<br /> assume a:&quot;H(a) ∧ P(a)&quot;<br /> hence b:&quot;P(a)&quot;..<br /> have &quot;H(a)&quot; using a..<br /> have &quot;P(a)∧P(a)&quot; using b b..<br /> with `H(a)`have &quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)&quot;..<br /> with 1 show &quot;A(a,a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (¬S(x,a)⟶ A(x,r))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;∀x. (A(x,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(x=y)))&quot;<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬S(p,a) ⟶ A(p,r)&quot; using 3..<br /> hence 6:&quot;A(p,r)&quot; using 2..<br /> have &quot;∀y. (A(c,y)⟷A(y,c))&quot; using 4..<br /> hence &quot;(A(c,r)⟷A(r,c))&quot;..<br /> hence 7:&quot;A(c,r)&quot; using 1..<br /> have &quot;(A(p,r) ⟶ (∀y. A(y,r)⟶(p=y)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;(∀y. A(y,r)⟶(p=y))&quot; using 6..<br /> hence &quot;A(c,r)⟶(p=c)&quot;..<br /> thus ?thesis using 7..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=357 2013-04-06T10:20:26Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_22b:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> proof<br /> fix a<br /> have &quot;∀y. (H(a) ∧ P(a) ∧ P(y))⟶ A(a,y)&quot; using assms..<br /> hence 1:&quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)⟶ A(a,a)&quot; ..<br /> show &quot;H(a) ∧ P(a) ⟶ A(a,a)&quot;<br /> proof<br /> assume a:&quot;H(a) ∧ P(a)&quot;<br /> hence b:&quot;P(a)&quot;..<br /> have &quot;H(a)&quot; using a..<br /> have &quot;P(a)∧P(a)&quot; using b b..<br /> with `H(a)`have &quot;H(a) ∧ P(a) ∧ P(a)&quot;..<br /> with 1 show &quot;A(a,a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=356 2013-04-06T10:03:18Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot;<br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> proof<br /> assume 3:&quot;∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y)))&quot;<br /> obtain a where &quot;∃y. P(y)∧¬D(a,y)&quot;using 2..<br /> then obtain b where 4: &quot;P(b)∧¬D(a,b)&quot;..<br /> have 5:&quot;((∀y. ((F(y)∧D(a,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))) &quot;using 1..<br /> have &quot;(∃y. (F(y)∧D(a,y)))&quot; using 3..<br /> then obtain c where 7:&quot;(F(c)∧D(a,c))&quot;..<br /> have 6:&quot;(F(c)∧D(a,c)⟶(∀z. P(z)⟶D(a,z)))&quot; using 5..<br /> have &quot;F(c)∧D(a,c)⟶(P(b)⟶D(a,b))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;F(c)∧D(a,c)&quot;<br /> with 6 have &quot;∀z. P(z)⟶D(a,z)&quot;..<br /> thus &quot;P(b)⟶D(a,b)&quot;..<br /> qed<br /> hence 8:&quot;P(b)⟶D(a,b)&quot; using 7..<br /> have 9: &quot;P(b)&quot; using 4..<br /> have &quot;¬D(a,b)&quot; using 4..<br /> with 8 have &quot;¬P(b)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 9..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=355 2013-04-06T09:42:19Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_20c:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(A(c,x) ⟷ (C(x) ∧ ¬A(x,x)))&quot;and<br /> 2:&quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. A(c,x))&quot; <br /> proof <br /> have 3:&quot;A(c,c)⟷(C(c)∧¬A(c,c))&quot; using 1..<br /> have &quot;¬A(c,c) ∨ A(c,c)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;¬A(c,c)&quot;<br /> with 2 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> with 3 have &quot;A(c,c)&quot;..<br /> with a have False..}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;A(c,c)&quot;<br /> with 3 have &quot;C(c)∧¬A(c,c)&quot;..<br /> hence &quot;¬A(c,c)&quot;..<br /> hence False using a..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=354 2013-04-06T08:35:53Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_17b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;and<br /> 4:&quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 5: &quot;∀y.(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(y,a) ⟶ B(y)))&quot; using 2..<br /> fix b<br /> have 6:&quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b)))&quot; using 5..<br /> have b: &quot;P(a)⟶¬M(a,a)&quot;using 3..<br /> have f:&quot;P(a)&quot; using 6..<br /> with b have &quot;¬M(a,a)&quot;..<br /> have c:&quot;B(a) ∧ (M(b,a) ⟶ B(b))&quot;using 6..<br /> hence d:&quot;(M(b,a) ⟶ B(b))&quot;..<br /> have e:&quot;B(a)&quot; using c..<br /> have &quot;B(a)⟶ ¬N(a)&quot; using 4..<br /> hence &quot;¬N(a)&quot; using e..<br /> hence g:&quot;¬N(a)∧P(a)&quot; using f..<br /> have h: &quot;∃y.(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(y) ∧ M(y,a))&quot; using 1..<br /> then obtain c where i: &quot;(¬N(a) ∧ P(a) ⟶ D(c) ∧ M(c,a))&quot;..<br /> hence k:&quot;D(c)∧M(c,a)&quot; using g..<br /> hence j:&quot;M(c,a)&quot; ..<br /> have l:&quot;D(c)&quot; using k..<br /> have &quot;(P(a) ∧ B(a) ∧ (M(c,a) ⟶ B(c)))&quot; using 5..<br /> hence &quot;B(a)∧(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;(M(c,a) ⟶ B(c))&quot;..<br /> hence &quot;B(c)&quot; using j..<br /> with l have &quot;D(c)∧B(c)&quot;..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=353 2013-04-05T09:53:22Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11b:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶(C(x,m)∧¬A(x,m))))&quot;<br /> shows &quot;¬(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(∃x. ¬(¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> then obtain a where &quot;¬(¬E(a)∨(C(a,m)∧¬R(a)))&quot;..<br /> hence 4:&quot;¬¬E(a) ∧ ¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; by (rule ejercicio_46)<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> hence 5:&quot;E(a)&quot; by (rule notnotD)<br /> have 6: &quot;¬(C(a,m)∧ ¬R(a))&quot; using 4..<br /> hence 7: &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have &quot;E(a)⟶C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 3..<br /> hence 10:&quot;C(a,m)∧ ¬A(a,m)&quot; using 5..<br /> hence 8:&quot;C(a,m)&quot;..<br /> show False<br /> proof-<br /> have &quot;¬C(a,m) ∨ ¬¬R(a)&quot; using 7.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬C(a,m)&quot;<br /> hence False using 8..}<br /> moreover<br /> {assume 9:&quot;¬¬R(a)&quot;<br /> have &quot;I(a)⟶ ¬R(a)&quot; using 2..<br /> hence 11:&quot;¬I(a)&quot; using 9 by (rule mt)<br /> have &quot;(∀y. (C(a,y)⟶(A(a,y)∨I(a))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;(C(a,m)⟶(A(a,m)∨I(a)))&quot;..<br /> hence 12:&quot;(A(a,m)∨I(a))&quot; using 8..<br /> have &quot;¬A(a,m)&quot; using 10..<br /> with 12 have &quot;I(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> with 11 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=352 2013-04-04T15:40:58Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. (C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)∧¬A(x,m)))&quot;<br /> shows &quot;∀x. (¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x)))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=351 2013-04-04T15:09:17Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule ejercicio_57)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (x≠m)&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

Pedrosrei https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2013/index.php?title=Relaci%C3%B3n_6&diff=350 2013-04-04T14:48:07Z

<p>Pedrosrei: </p> <hr /> <div>&lt;source lang=&quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> theory R6<br /> imports Main R3<br /> begin<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden<br /> argumentos expresados en lenguaje natural.<br /> <br /> Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la<br /> formalización. <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sócrates es un hombre. <br /> Los hombres son mortales. <br /> Luego, Sócrates es mortal.<br /> Usar s para Sócrates<br /> H(x) para x es un hombre <br /> M(x) para x es mortal<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;En clase&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_1a:<br /> assumes &quot;∀x. (H(x) ⟶ M(x))&quot;<br /> &quot;H(s)&quot;<br /> shows &quot;M(s)&quot;<br /> proof -<br /> have 0: &quot;H(s) ⟶ M(s)&quot; using assms(1) ..<br /> thus &quot;M(s)&quot; using assms(2) ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento<br /> Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por<br /> tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.<br /> Usar I(x) para x es inteligente<br /> T(x) para x es trabajador<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_2a:<br /> assumes 0:&quot;(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (I(x)∧T(x))&quot;<br /> quickcheck (* Es falso *)<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un<br /> vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay<br /> exactamente un participante. <br /> Usar P(x) para x es un participante<br /> V(x) para x es un vencedor<br /> <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_3a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_3b:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(P(x)⟶V(x)))&quot;and<br /> 1: &quot;(∃x.(V(x)⟶ (∀y.(V(y)⟶(x=y)))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(P(x)∧ (∀y.(P(y)⟶(x=y))))&quot;<br /> quickcheck (*Obviamente vuelve a ser falso *)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por<br /> un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo<br /> podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un<br /> VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.<br /> Usar A(x) para x es aduanero<br /> Ca(x,y) para x cachea a y<br /> Co(x) para x es contrabandista<br /> E(x) para x entra en el pais<br /> V(x) para x es un VIP<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Alejandro Ballesteros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))&quot;<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))&quot;<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_4a:<br /> assumes 0: &quot;(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 1: &quot;(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))&quot; and<br /> 2: &quot;(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x)∧Co(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 3: &quot;(Co(a)∧E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y)))))&quot; using 1..<br /> hence &quot;E(a)∧(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> hence 4:&quot;(∃y.(Ca(y,a)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(a=y))))&quot;..<br /> obtain b where 5: &quot;(Ca(b,a)∧Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b)))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;Co(b)∧(A(b))∧(¬(a=b))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Co(b)&quot;..<br /> have &quot;(A(b))∧(¬(a=b))&quot;using 6..<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;A(b)∧Co(b)&quot; using 7..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento<br /> Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a<br /> María y a Pedro.<br /> Usar j para Juan <br /> m para María<br /> p para Pedro<br /> T(x,y) para x teme a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;T(j,m)&quot;<br /> &quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_5b:<br /> assumes 1:&quot;T(j,m)&quot;and<br /> 2:&quot;T(j,p)&quot;<br /> shows &quot;∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) &quot;<br /> proof -<br /> have &quot;T(j,m)∧T(j,p)&quot; using 1 2..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos<br /> es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> P(x,y) para x es padre de y<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> (* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)<br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))&quot; and<br /> &quot;∀x. (∃y. (P(y,x)))&quot; and<br /> &quot;∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))&quot;<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> lemma ejercicio_6b:<br /> assumes 1: &quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))&quot; and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot; and<br /> 3: &quot;P(c,l)&quot;<br /> &quot;(∀x. ∀y. (P(x,y)⟶ (∀z. (¬(z=x))⟶ ¬P(z,y))))&quot; (* padre sólo hay uno *)<br /> shows &quot;P(c,j)&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,y)))&quot; using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; ..<br /> hence 4:&quot;(∃z. (P(z,j)∧P(z,l)))&quot; using 2 ..<br /> assume 6:&quot;¬P(c,j)&quot;<br /> obtain t where 5: &quot;P(t,j)∧P(t,l)&quot; using 4..<br /> hence 7:&quot;P(t,l)&quot;..<br /> have &quot;∀y. P(c,y)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,y))&quot; using assms(4) ..<br /> hence &quot;P(c,l)⟶ (∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; ..<br /> hence &quot;(∀z. (z≠c)⟶ ¬P(z,l))&quot; using `P(c,l)` by (rule mp)<br /> hence 8:&quot;(t≠c)⟶¬P(t,l)&quot; ..<br /> show False using 7 8<br /> proof -<br /> have &quot;(¬(t=c))∨((t=c))&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t≠c&quot;<br /> have &quot;¬P(t,l)&quot; using 8 a ..<br /> hence False using 7 by (rule notE)}<br /> moreover<br /> {assume a:&quot;t=c&quot; <br /> have b:&quot;P(t,j)&quot; using 5..<br /> have &quot;P(c,j)&quot; using a b by (rule subst)<br /> with 6 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento<br /> La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para<br /> cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un<br /> acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus<br /> directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un<br /> canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están<br /> satisfechos. <br /> Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública<br /> Pr(x) para x es un canal de TV privada<br /> A(x) para x posee un acicate<br /> D(x,y) para x es un directivo del canal y<br /> S(x) para x está satisfecho <br /> t para TV5<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. (Pu(x)) &quot; and<br /> 4:&quot;Pr(t)&quot;<br /> shows &quot;∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))&quot;<br /> quickcheck<br /> proof-<br /> obtain a where 5: &quot;Pu(a)&quot; using 3..<br /> have 6: &quot;∃x. (Pu(x))&quot; using 5 ..<br /> with 1 have 7: &quot;∀y. Pr(y)⟶ A(y)&quot; ..<br /> hence 8:&quot;Pr(t)⟶A(t)&quot;..<br /> hence 9: &quot;A(t)&quot; using 4..<br /> have 10:&quot;A(t)⟶(∀y. (D(y,t)⟶S(y)))&quot; using 2..<br /> thus &quot;∀y. D(y,t)⟶S(y)&quot; using 9..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará<br /> algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas<br /> motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso<br /> únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene<br /> pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.<br /> Usar E(x) para x entra en un país<br /> P(x) para x tiene pasaporte<br /> A(x) para x es aduanero<br /> I(x,y) para x impide el paso a y<br /> M(x) para x está motorizada<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-<br /> traejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_8a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> (* Uso esta función más adelante *)<br /> lemma aux:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;¬p∨p&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬p&quot;<br /> hence &quot;¬p∨¬q&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;p&quot;<br /> have &quot;¬q∨q&quot;..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬q&quot;<br /> hence &quot;¬p∨¬q&quot;..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;q&quot;<br /> with `p`have &quot;p∧q&quot;..<br /> with `¬(p∧q)` have &quot;¬p∨¬q&quot;..}<br /> ultimately have &quot;¬p∨¬q&quot;..}<br /> ultimately show &quot;¬p∨¬q&quot;..<br /> qed<br /> <br /> lemma ejercicio_8b:<br /> assumes 1:&quot;∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))&quot; and<br /> 2:&quot;∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ M(x))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume 0:&quot;¬(∃x.(A(x) ∧ M(x)))&quot;<br /> obtain a where 4: &quot;∀y.(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(y,a) ⟶ M(y)))&quot; using 2..<br /> have 11: &quot;∃y.(E(a) ∧ ¬P(a) ⟶ A(y) ∧ I(y,a))&quot; using 1..<br /> obtain b where b: &quot;((E(a) ∧ ¬P(a)) ⟶ (A(b) ∧ I(b,a)))&quot; using 11 ..<br /> have 5:&quot;¬(A(b)∧M(b))&quot;<br /> proof (rule ccontr)<br /> assume &quot;¬¬ (A(b)∧M(b))&quot;<br /> hence &quot;(A(b)∧M(b))&quot; by (rule notnotD)<br /> hence &quot;∃x. (A(x)∧M(x))&quot; by (rule exI)<br /> with 0 show False by (rule notE)<br /> qed<br /> have 6: &quot;(M(a) ∧ E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b)))&quot; using 4..<br /> have 7: &quot;¬A(b) ∨ ¬M(b)&quot; using 5 by (rule aux)<br /> have 17:&quot;E(a) ∧ (I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 6..<br /> hence 12:&quot;E(a)&quot;..<br /> have 8: &quot;M(a)⟶ ¬P(a)&quot; using 3..<br /> have 9: &quot;M(a)&quot; using 6..<br /> with 8 have 10: &quot;¬P(a)&quot;..<br /> with 12 have 13:&quot;(E(a)∧ ¬P(a))&quot;..<br /> have 14:&quot;A(b) ∧ I(b,a)&quot; using b 13 by (rule mp)<br /> hence &quot;A(b)&quot;..<br /> hence &quot;¬¬A(b)&quot;by (rule notnotI)<br /> with 7 have 15:&quot;¬M(b)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> have 16:&quot;I(b,a)&quot; using 14 ..<br /> have 17: &quot;(I(b,a) ⟶ M(b))&quot; using 17..<br /> hence &quot;M(b)&quot; using 16 ..<br /> with 15 show False ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento<br /> Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista<br /> extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por<br /> tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,<br /> Juanito no es aficionado al fútbol.<br /> Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol<br /> Ap(x,y) para x aplaude a y<br /> E(x) para x es un futbolista extranjero<br /> N(x) para x es un futbolista nacionalizado español<br /> j para Juanito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) &amp; E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;∀ x. ∀ y. ((Af(x) ∧ E(y))⟶ Ap(x,y)) &quot;<br /> &quot;∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))&quot;<br /> shows &quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))&quot;<br /> proof<br /> assume 1:&quot;(∃x. (E(x) ∧ N(x)))&quot;<br /> obtain a where 2: &quot;(E(a)∧N(a))&quot; using 1..<br /> have 3:&quot;E(a)⟶ (¬Ap(j,a))&quot; using assms(2)..<br /> have 0:&quot;E(a)&quot; using 2..<br /> with 3 have 4:&quot;(¬Ap(j,a))&quot;..<br /> have 5:&quot; ∀ y. ((Af(j) ∧ E(y))⟶ Ap(j,y)) &quot;using assms(1)..<br /> hence &quot;((Af(j) ∧ E(a))⟶ Ap(j,a))&quot;..<br /> hence &quot;¬(Af(j) ∧ E(a))&quot; using 4 by (rule mt)<br /> hence 6:&quot;¬Af(j) ∨ ¬E(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> thus &quot;¬Af(j)&quot;<br /> proof <br /> assume ?thesis<br /> thus ?thesis.<br /> next<br /> assume &quot;¬E(a)&quot;<br /> hence False using 0 ..<br /> hence &quot;¬¬E(a)&quot;..<br /> with 6 show ?thesis by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus<br /> crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad<br /> hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su<br /> forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata<br /> que no está condenado a galeras. <br /> Usar A(x) para x es aristócrata<br /> G(x) para x está condenado a galeras<br /> L(x) para x lleva una vida licenciosa<br /> V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_10a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_10b:<br /> assumes &quot;∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))&quot;<br /> &quot;∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))&quot;<br /> proof -<br /> obtain a where 1:&quot;A(a) ∧ V(a) ∧ ¬L(a)&quot; using assms(2)..<br /> have 2: &quot;A(a) ∧ G(a) ⟶ V(a) ∧ L(a)&quot; using assms(1)..<br /> have &quot;V(a)∧¬L(a)&quot; using 1..<br /> hence 3: &quot;¬L(a)&quot;..<br /> have &quot;¬(V(a)∧L(a))&quot;<br /> proof<br /> assume &quot;(V(a)∧L(a))&quot; <br /> hence &quot;L(a)&quot;..<br /> with 3 show False ..<br /> qed<br /> with 2 have &quot;¬(A(a)∧G(a))&quot; by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬A(a)∨ ¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;A(a)&quot; using 1..<br /> have &quot;¬G(a)&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(a)&quot; using 5.<br /> hence &quot;¬¬A(a)&quot; by (rule notnotI)<br /> with 4 show &quot;¬G(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> qed<br /> with 5 have &quot;A(a)∧ ¬G(a)&quot; ..<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier<br /> acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos<br /> políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no<br /> participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme<br /> con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no<br /> apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro<br /> caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de<br /> Maastricht y no participará en el próximo referéndum. <br /> Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y<br /> A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y<br /> I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos<br /> R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum<br /> E(x) para la persona x es española<br /> m para el acuerdo de Maastricht<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_11:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))&quot;and<br /> 2:&quot;∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (x≠m)&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento<br /> Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una<br /> persona rica que tiene un abuelo rico.<br /> Usar R(x) para x es rico<br /> p(x) para el padre de x<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Antonio Jesús Molero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot; ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera<br /> que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí<br /> mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.<br /> Usar D(x) para x está deprimido<br /> E(x,y) para x estima a y<br /> L(x) para x es listo<br /> S(x) para x es submarinista<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-<br /> traejemplo.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_13a:<br /> assumes &quot;∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))&quot;<br /> &quot;∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))&quot;<br /> shows &quot;∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento<br /> Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.<br /> Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le<br /> obedece. Por tanto, Benito no es un robot.<br /> Usar R(x) para x es un robot<br /> Ob(x,y) para x obedece a y<br /> A(x) para x es amigo del programador jefe<br /> b para Benito<br /> a para Alvaro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_14a:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_14b:<br /> assumes &quot;∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))&quot;<br /> &quot;A(a)&quot;<br /> &quot;¬Ob(b,a)&quot;<br /> shows &quot;¬R(b)&quot;<br /> proof <br /> assume 1:&quot;R(b)&quot;<br /> have &quot;∀y. (R(b)∧A(y)⟶ Ob(b,y))&quot; using assms(1) ..<br /> hence 2:&quot;(R(b)∧A(a)⟶ Ob(b,a))&quot;..<br /> have 3: &quot;R(b)∧A(a)&quot; using 1 assms(2) ..<br /> with 2 have &quot;Ob(b,a)&quot;..<br /> with assms(3) show False..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento<br /> En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:<br /> * Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come<br /> al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien<br /> z protege al pez y. <br /> * No hay ningún pez que se coma a todos los demás.<br /> * Ningún pez protege a ningún otro.<br /> Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.<br /> Usar C(x,y) para x se come a y <br /> P(x,y) para x protege a y<br /> T(x) para x es un tiburón<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15a:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_15b:<br /> assumes &quot;∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;<br /> &quot;∀x.∃y.(¬C(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.(¬P(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(T(x))&quot;<br /> proof - <br /> obtain a where 1:&quot;∀y.(¬C(a,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))&quot;using assms(1)..<br /> have 2:&quot;∃y. ¬C(a,y)&quot; using assms(2)..<br /> obtain b where 3: &quot;¬C(a,b)&quot;using 2..<br /> have 4:&quot;(¬C(a,b) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,b))))&quot; using 1..<br /> hence 5:&quot;(∃z.(T(z) ∨ P(z,b)))&quot; using 3..<br /> obtain z where 6: &quot;T(z) ∨ P(z,b)&quot; using 5..<br /> have &quot;∀y. ¬(P(z,y))&quot; using assms(3)..<br /> hence 7: &quot;¬P(z,b)&quot;..<br /> with 6 have &quot;T(z)&quot; by (rule ejercicio_42)<br /> thus ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento<br /> Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de<br /> aprobados de dos asignaturas A y B: <br /> * Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos<br /> aprueban la asignatura B.<br /> * Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los <br /> alumnos aprueban A.<br /> * Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.<br /> * Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.<br /> Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,<br /> entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.<br /> Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y<br /> D(x) para x es delegado<br /> m para Manuel<br /> a para la asignatura A<br /> b para la asignatura B<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un <br /> contraejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_16a:<br /> assumes &quot;(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))&quot;<br /> &quot;(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))&quot;<br /> &quot;(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))&quot;<br /> &quot;¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))&quot;<br /> shows &quot;D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento<br /> En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del<br /> campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado<br /> las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento: <br /> * A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un<br /> gol algún delantero europeo. <br /> * Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles<br /> jugadores con botas blancas. <br /> * Ningún portero se marcó un gol a sí mismo. <br /> * Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra. <br /> Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.<br /> Usar P(x) para x es portero<br /> D(x) para x es delantero europeo <br /> N(x) para x viste camiseta negra<br /> B(x) para x juega con botas blancas <br /> M(x,y) para x marcó un gol a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-<br /> ejemplo. *)<br /> <br /> lemma ejercicio_17a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))&quot;<br /> &quot;∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))&quot;<br /> &quot;∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))&quot;<br /> &quot;∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))&quot;<br /> shows &quot;∃x.(D(x) ∧ B(x))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento<br /> Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades<br /> generales: <br /> * Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x. <br /> * Todo el mundo es hijo de alguien. <br /> * Nadie es hijo del hermano de su padre. <br /> * Cualquier padre de una persona es también padre de todos los<br /> hermanos de esa persona. <br /> * Nadie es hijo ni hermano de sí mismo. <br /> Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,<br /> Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis<br /> son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo<br /> de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.<br /> Usar A para Don Antonio<br /> He(x,y) para x es hermano de y <br /> Hi(x,y) para x es hijo de y <br /> L para Don Luis<br /> a para Antoñito<br /> m para Manolito<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo.&quot;<br /> (*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.<br /> Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)<br /> <br /> lemma ejercicio_18a:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> oops<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_18b:<br /> assumes &quot;∀x.∃y.(Hi(x,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot;<br /> &quot;∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))&quot;<br /> &quot;∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))&quot;<br /> &quot;He(A,L)&quot;<br /> &quot;He(a,m)&quot;<br /> &quot;Hi(a,A)&quot;<br /> shows &quot;¬Hi(m,L)&quot;<br /> proof -<br /> have 1:&quot;He(A,L)∧Hi(a,A)&quot; using assms(5,7) ..<br /> have &quot;∀y.∀z.(He(A,y) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,y))&quot; using assms(2)..<br /> hence &quot;∀z.(He(A,L) ∧ Hi(z,A) ⟶ ¬Hi(z,L))&quot;..<br /> hence &quot;(He(A,L) ∧ Hi(a,A) ⟶ ¬Hi(a,L))&quot;..<br /> hence 2:&quot;¬Hi(a,L)&quot; using 1..<br /> have &quot;∀y.∀z.(Hi(m,z) ∧ He(y,m) ⟶ Hi(y,z))&quot;using assms(3)..<br /> hence &quot;∀z.(Hi(m,z) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,z))&quot; ..<br /> hence 3:&quot;(Hi(m,L) ∧ He(a,m) ⟶ Hi(a,L))&quot; ..<br /> hence &quot;¬(Hi(m,L) ∧ He(a,m))&quot; using 2 by (rule mt)<br /> hence 4:&quot;¬Hi(m,L) ∨ ¬He(a,m)&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> have 5:&quot;¬¬He(a,m)&quot; using assms(6) by (rule notnotI)<br /> show ?thesis using 4 5 by (rule ejercicio_42)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés, <br /> &quot;Schubert’s steamroller&quot;)] Formalizar el siguiente argumento <br /> Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a<br /> sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado<br /> a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,<br /> Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha<br /> afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.<br /> Usar g para Guido<br /> l para Lorenzo<br /> p para Petruccio<br /> c para Cesare<br /> B(x) para x es un miembro del club de barberos<br /> A(x,y) para x ha afeitado a y<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento<br /> Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se<br /> afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las<br /> Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.<br /> Usar A(x,y) para x afeita a y<br /> C(x) para x es un habitante de Las Chinas<br /> c para Carlos<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_20a:<br /> assumes &quot;∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))&quot;<br /> &quot;C(c)&quot;<br /> shows &quot;∀x.(¬A(c,x))&quot; <br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento<br /> Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los<br /> políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por<br /> consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.<br /> Usar D(x,y) para x desprecia a y<br /> F(x) para x es fanático<br /> P(x) para x es político<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) &quot;and<br /> 2:&quot;∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))&quot; and<br /> &quot;∀x. (P(x)⟶F(x))&quot; <br /> shows &quot;¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento<br /> El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro<br /> se ama a sí mismo.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> H(x) para x es un hombre<br /> P(x) para x es puro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))&quot;<br /> shows &quot;∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))&quot; <br /> using assms by auto <br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento<br /> Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si<br /> un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero<br /> del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,<br /> entonces paga su cuota. <br /> Usar P(x) para x es socio del club<br /> Q(x) para x paga su cuota<br /> R(x) para x está en deuda con el tesorero<br /> a para el tesorero del club<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes 1:&quot;¬(∃x. P(x)∧R(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a)⟶Q(a)&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> <br /> -- &quot;Reme Sillero&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_23a:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_23c:<br /> assumes &quot;∀x. (P(x)⟶¬R(x))&quot;<br /> &quot;∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))&quot;<br /> shows &quot;P(a) ⟶Q(a)&quot;<br /> proof<br /> have 1:&quot;P(a)⟶ ¬R(a)&quot; using assms(1)..<br /> have 2:&quot;(P(a)∧(¬Q(a)))⟶R(a)&quot; using assms(2)..<br /> assume 0:&quot;P(a)&quot;<br /> with 1 have &quot;¬R(a)&quot;..<br /> with 2 have &quot;¬(P(a)∧(¬Q(a)))&quot; by (rule mt)<br /> hence 3:&quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; by (rule ejercicio_57)<br /> show &quot;Q(a)&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;¬P(a) ∨ (¬¬Q(a))&quot; using 3.<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬P(a)&quot;<br /> hence False using 0..<br /> hence &quot;¬¬Q(a)&quot;..<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬¬Q(a)&quot;<br /> hence &quot;Q(a)&quot; by (rule notnotD)}<br /> ultimately<br /> show &quot;Q(a)&quot;..<br /> qed<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento<br /> 1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y<br /> existen algunos ejemplares de estos animales. <br /> 2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas. <br /> 3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien<br /> le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo<br /> que gustan de comer algunas plantas. <br /> 4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los<br /> pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez<br /> son mucho más pequeños que los lobos. <br /> 5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras<br /> que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles. <br /> 6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas. <br /> 7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que<br /> le gusta comer semillas. <br /> Usar A(x) para x es un animal<br /> Ca(x) para x es un caracol<br /> Co(x,y) para x le gusta comerse a y<br /> L(x) para x es un lobo<br /> M(x,y) para x es más pequeño que y<br /> Or(x) para x es una oruga<br /> Pa(x) para x es un pájaro<br /> Pl(x) para x es una planta<br /> S(x) para x es una semilla<br /> Z(x) para x es un zorro<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))&quot; and &quot;(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))&quot;and<br /> 2:&quot;(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))&quot;and<br /> 3:&quot;∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))&quot; and &quot;∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))&quot;and<br /> 5:&quot;∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))&quot; and &quot;∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))&quot; and<br /> 6:&quot;∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))&quot;<br /> shows &quot;∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento <br /> Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con<br /> Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la<br /> primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,<br /> Paco es Curro. <br /> Usar A(x,y) para x ama a y <br /> S(x,y) para x simpatiza con y <br /> a para Ana<br /> c para Curro<br /> p para Paco <br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes 1:&quot;A(r,c)&quot; and<br /> 2:&quot;¬S(p,a)&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))&quot; and<br /> 5:&quot;(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))&quot; and<br /> &quot;r∧c∧p∧a&quot; (*para que la demostración sea posible*)<br /> shows &quot;p=c&quot;<br /> quickcheck<br /> using assms by auto<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es<br /> Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón<br /> argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una<br /> persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no<br /> argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un<br /> sofista. <br /> Usar G(x) para x enseña gratuitamente<br /> M(x,y) para x argumenta mejor que y<br /> S(x) para x es un sofista<br /> p para Platón<br /> s para Sócrates<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes 1:&quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (S(x)⟶ M(s,x))&quot; and<br /> 3:&quot;∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))&quot; and<br /> &quot;p∧s&quot; and &quot;¬(∃x. M(x,x))&quot; and &quot;¬(p=s)&quot; and &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)&quot; (*Para la demostración *)<br /> shows &quot;¬S(p)&quot;<br /> <br /> proof<br /> assume 5:&quot;S(p)&quot;<br /> have 6:&quot;S(p)⟶M(s,p)&quot; using 2..<br /> hence 7: &quot;M(s,p)&quot; using 5..<br /> have 8: &quot;∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))&quot; using 4..<br /> hence 9: &quot;M(s,p)⟷¬M(p,s)&quot; ..<br /> hence 10:&quot;¬M(p,s)&quot; using 7..<br /> have 11: &quot;∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))&quot; using 1..<br /> have 12: &quot;p≠s&quot; using assms(7) .<br /> have 13: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))&quot; using 1..<br /> hence 14: &quot;(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)&quot; ..<br /> have &quot;(¬G(p)) ∨G(p)&quot; ..<br /> moreover<br /> {assume &quot;¬G(p)&quot;<br /> have 15: &quot;(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; by auto<br /> hence 16: &quot;((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))&quot; using 11 ..<br /> hence 17: &quot;(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))&quot; using 3..<br /> with assms(8) have 18: &quot;s∧M(p,s)&quot; ..<br /> hence 19:&quot;M(p,s)&quot; ..<br /> with 10 have 20: False ..}<br /> moreover<br /> {assume &quot;G(p)&quot;<br /> with 5 have 15: &quot;(S(p)∧G(p))&quot; ..<br /> with 14 have 16: &quot;p=s&quot; ..<br /> with 12 have False ..}<br /> ultimately<br /> show False ..<br /> qed <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que<br /> se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es<br /> filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,<br /> Nietzsche y su maestro son diferentes personas. <br /> Usar F(x) para x es filósofo<br /> L(x) para x se vuelve loco<br /> P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.<br /> m para el maestro de Nietzsche<br /> n para Nietzsche<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (F(x)⟶P(x))&quot; and<br /> 2:&quot;∀x. (P(x)⟶L(x))&quot; and<br /> 3:&quot;F(n)&quot;and<br /> 4:&quot;¬L(m)&quot;<br /> shows &quot;m≠n&quot;<br /> proof<br /> have 5:&quot;P(n)⟶L(n)&quot; using 2..<br /> have 6:&quot;F(n)⟶P(n)&quot; using 1..<br /> assume &quot;m=n&quot;<br /> hence &quot;¬L(n)&quot; using 4 by (rule subst)<br /> with 5 have &quot;¬P(n)&quot; by (rule mt)<br /> with 6 have &quot;¬F(n)&quot; by (rule mt)<br /> thus False using 3..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento <br /> Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por<br /> tanto, Juan es mayor que Luis.<br /> Usar M(x,y) para x es mayor que y<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;<br /> &quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes 1:&quot;∀x.(M(p(x),x))&quot;and<br /> 2:&quot;j = p(l)&quot;<br /> shows &quot;M(j,l)&quot;<br /> proof -<br /> have 3:&quot;M(p(l),l)&quot; using 1..<br /> have &quot;p(l)=j&quot; using 2..<br /> thus ?thesis using 3 by (rule subst)<br /> qed <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento <br /> El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es<br /> María. Por tanto, el esposo de María es Roberto. <br /> Usar e(x) para el esposo de x<br /> h para la hermana de Toni<br /> m para María<br /> r para Roberto<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Raúl Montes Pajuelo&quot;<br /> <br /> lemma ejercicio_29a:<br /> assumes &quot;e(h) = r&quot;<br /> &quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using assms by auto<br /> <br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_29b:<br /> assumes 1:&quot;e(h) = r&quot;and<br /> 2:&quot;h = m&quot;<br /> shows &quot;e(m) = r&quot;<br /> using 2 1 by (rule subst)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento <br /> Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es<br /> Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,<br /> la madre de Rosa ama al padre de Luis.<br /> Usar A(x,y) para x ama a y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> c para Carlos<br /> e para Eva<br /> j para Jaime<br /> l para Luis<br /> r para Rosa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes 1:&quot;p(j)=p(l)&quot;and<br /> 2:&quot;e=m(r)&quot;and<br /> 3:&quot;A(e,c)&quot;and<br /> 4:&quot;c=p(j)&quot; <br /> shows &quot;A((m(r)),(p(l)))&quot;<br /> proof -<br /> have &quot;A(m(r),c)&quot; using 2 3 by (rule subst)<br /> with 4 have &quot;A(m(r),p(j))&quot; by (rule subst)<br /> with 1 show ?thesis by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento <br /> Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el<br /> mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre<br /> de Juan es la madre del padre de Luis.<br /> Usar H(x,y) para x es hermano de y<br /> m(x) para la madre de x<br /> p(x) para el padre de x<br /> j para Juan<br /> l para Luis<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes 1:&quot;∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))&quot;and<br /> 2: &quot;H(j,l)&quot;<br /> shows &quot;m(p(j))= m(p(l))&quot;<br /> proof<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> have &quot;(m(j)⟷m(l))&quot; using 3..<br /> assume &quot;m(p(j))&quot;<br /> with 4 show &quot;m(p(l))&quot; by (rule subst)<br /> next<br /> assume 0:&quot;m(p(l))&quot;<br /> have 6:&quot;p(l)=p(j)&quot;<br /> proof <br /> assume 5:&quot;p(l)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(j)&quot; using 4 5 by (rule iffD2)<br /> next<br /> assume 5:&quot;p(j)&quot;<br /> have &quot;∀y. H(j,y)⟶ ((p(j)⟷p(y))∧(m(j)⟷m(y)))&quot;using 1..<br /> hence &quot;H(j,l)⟶ ((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot;..<br /> hence 3:&quot;((p(j)⟷p(l))∧(m(j)⟷m(l)))&quot; using 2..<br /> hence 4:&quot;(p(j)⟷p(l))&quot;..<br /> show &quot;p(l)&quot; using 4 5 by (rule iffD1)<br /> qed<br /> show &quot;m(p(j))&quot; using 6 0 by (rule subst)<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento <br /> Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma<br /> parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,<br /> el señor Martínez es asturiano.<br /> Usar C(x) para x es miembro del claustro<br /> A(x) para x es asturiano<br /> s para el secretario<br /> m para el señor Martínez<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes 1:&quot;∀x. (C(x)⟶A(x))&quot; and<br /> 2:&quot;C(s)&quot;and<br /> 3:&quot;m=s&quot; <br /> shows &quot;A(m)&quot;<br /> proof -<br /> have 4:&quot;C(m)⟶A(m)&quot;using 1..<br /> have &quot;s=m&quot; using 3..<br /> hence &quot;C(m)&quot; using 2 by (rule subst)<br /> with 4 show ?thesis ..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento <br /> Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo<br /> de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso<br /> testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el<br /> primer testigo de la defensa dio falso testimonio. <br /> Usar C(x) para x estaba en clase<br /> F(x) para x dio falso testimonio<br /> V(x) para x pudo haber visto al asesino<br /> a para Antonio<br /> e para Eduardo<br /> p para el primer testigo de la defensa<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes 1:&quot;(V(e))&quot;and<br /> 2:&quot;a=p&quot;and<br /> 3:&quot;C(e) ∨ F(a)&quot;and<br /> 4:&quot;∀x. (C(x)⟶¬V(x))&quot;<br /> shows &quot;F(a)&quot;<br /> using 3<br /> proof <br /> assume 5:&quot;C(e)&quot;<br /> have &quot;C(e)⟶¬(V(e))&quot; using 4..<br /> hence 6:&quot;¬V(e)&quot; using 5..<br /> hence False using 1 ..<br /> hence &quot;¬C(e)&quot;..<br /> with 3 show &quot;F(a)&quot; by (rule ejercicio_43)<br /> next<br /> assume 5: &quot;F(a)&quot;<br /> thus ?thesis .<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento <br /> La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de<br /> cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la<br /> misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de<br /> cuarto creciente. <br /> Usar L(x) para la luna del momento x<br /> R(x) para x es redonda<br /> C(x) para x tiene forma de cuarto creciente<br /> h para hoy<br /> d para hace dos semanas<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes 1:&quot;R(L(h))&quot; and<br /> 2:&quot;C(L(d))&quot; and<br /> 3:&quot;∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))&quot; and<br /> &quot;L(h)∧L(d)&quot;(*Para demostrarlo*)<br /> shows &quot;∃x. (C(x)∧R(x))&quot;<br /> proof-<br /> have &quot;∀y. L(d)⟷L(y)&quot; using 3..<br /> hence &quot;L(d)⟷L(h)&quot;..<br /> hence &quot;C(L(h))&quot; using 2 by (rule subst)<br /> hence &quot;C(L(h))∧R(L(h))&quot;using 1..<br /> thus ?thesis..<br /> qed<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento <br /> Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es<br /> delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo. <br /> Usar D(x) para x es delgado<br /> C(x,y) para x está casada con y<br /> g para Guillermo<br /> j para Juana<br /> t para Tomás<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> -- &quot;Pedro Ros&quot;<br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes 1:&quot;(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))&quot;and<br /> 2: &quot;C(j,t)&quot; and<br /> 3:&quot;D(t)∧¬D(g)&quot; <br /> &quot;g≠t&quot;<br /> shows &quot;¬C(j,g)&quot;<br /> quickcheck<br /> proof <br /> assume 4:&quot;C(j,g)&quot;<br /> have &quot;C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot; using 1 2 by auto<br /> hence &quot;(∀y. C(j,y)⟶(y=t))&quot;..<br /> hence &quot;C(j,g)⟶(g=t)&quot;..<br /> hence &quot;g=t&quot; using 4..<br /> with assms(4) show False..<br /> qed<br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento <br /> Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que<br /> pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja<br /> más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver. <br /> Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán. <br /> Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.<br /> Usar Pl(x) para x obtiene el plátano<br /> Pr(x) para x es un problema<br /> R(x,y) para x resuelve y<br /> T(x,y) para x trabaja más que y<br /> c para Chitón<br /> s para Sultán<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> -- &quot;Pedro G. Ros Reina&quot;<br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes 1:&quot;c≠s&quot; and<br /> 2:&quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)&quot; and<br /> 3:&quot;T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot; and<br /> 4:&quot;∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))&quot;<br /> shows &quot;¬Pl(s)&quot;<br /> proof<br /> have &quot;(c≠s)⟶T(c,s)&quot; using 4..<br /> hence &quot;T(c,s)&quot; using 1..<br /> with 3 have 5:&quot;(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))&quot;..<br /> obtain a where 6:&quot;(Pr(a)∧(¬R(s,a))∧R(c,a))&quot;using 5..<br /> assume &quot;Pl(s)&quot; <br /> with 2 have &quot;(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))&quot;..<br /> hence 7:&quot;Pr(a)⟶R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;Pr(a)&quot; using 6..<br /> with 7 have 8:&quot;R(s,a)&quot;..<br /> have &quot;(¬R(s,a)∧R(c,a))&quot; using 6..<br /> hence &quot;¬R(s,a)&quot;..<br /> thus False using 8..<br /> qed<br /> <br /> end<br /> &lt;/source&gt;</div>

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