Lógica matemática y fundamentos (2012-13) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicio 3

2013-04-26T16:10:07Z

Marsilden: /* Selección del ejercicio */

== Enunciado ==
El tercer ejercicio evaluable consiste en la realización de un ejercicio de argumentación en lógica de primer orden, haciendo la demostración por deducción natural con Isabelle/HOL y por tableros semánticos.
Para ello,
* Cada alumno elegirá uno de los ejercicios propuestos en [[E3|E3]].
* Una vez elegido, lo anotará en la lista que se muestra a continuación, no pudiendo un mismo ejercicio ser elegido por más de un alumno.
* Se enviará a mjoseh@us.es antes del viernes 10 de mayo de 2013, dos ficheros: uno usuario_3a.thy con la prueba por deducción natural y otro con la prueba por tableros.
* Los lemas que se usen en una demostración tendrán que ser probados de forma no automática.
* En la valoración del ejercicio se tendrá en cuenta tanto el nivel de dificultad como la calidad de la demostración.

== Selección del ejercicio ==

* Ejercicio 1:
* Ejercicio 2: Francisco Vilches Chacón
* Ejercicio 3:
* Ejercicio 4: M Inmaculada Arjona Arjona
* Ejercicio 5:
* Ejercicio 6:
* Ejercicio 7:
* Ejercicio 8:
* Ejercicio 9:
* Ejercicio 10: Gonzalo José Muñoz González-Meneses
* Ejercicio 11: José Antonio Jaime Sabín
* Ejercicio 12:
* Ejercicio 13:
* Ejercicio 14: Carmen Martínez Navarro
* Ejercicio 15:
* Ejercicio 16:
* Ejercicio 17:
* Ejercicio 18:
* Ejercicio 19: Mª de los Remedios Sillero Denamiel
* Ejercicio 20:
* Ejercicio 21:
* Ejercicio 22:
* Ejercicio 23:
* Ejercicio 24:
* Ejercicio 25:
* Ejercicio 26: José María Contreras Beltrán
* Ejercicio 27: Isabel Duarte Tosso
* Ejercicio 28:

Ejercicio 2

2013-04-12T16:57:31Z

Marsilden:

== Enunciado ==
El segundo ejercicio evaluable consiste en la realización de una demostración por deducción natural en la Lógica de primer orden, con Isabelle/HOL.
Para ello,
* Cada alumno elegirá uno de los ejercicios propuestos en [[T2|T2]].
* Una vez elegido, lo anotará en la lista que se muestra a continuación, no pudiendo un mismo ejercicio ser elegido por más de un alumno.
* El ejercicio resuelto se enviará a mjoseh@us.es en un fichero usuario_2.thy antes del viernes 26 de abril de 2013.
* En la valoración del ejercicio se tendrá en cuenta tanto el nivel de dificultad como la calidad de la demostración.

== Selección del ejercicio ==

* Ejercicio 1: Francisco Vilches Chacón
* Ejercicio 2: Ana Rocío del Valle Benavides
* Ejercicio 3:
* Ejercicio 4:
* Ejercicio 5: Concepción García Vidal
* Ejercicio 6:
* Ejercicio 7:
* Ejercicio 8: Inmaculada Arjona Arjona
* Ejercicio 9:
* Ejercicio 10: Carmen Martínez Navarro
* Ejercicio 11:
* Ejercicio 12:
* Ejercicio 13:
* Ejercicio 14:
* Ejercicio 15:
* Ejercicio 16:
* Ejercicio 17:
* Ejercicio 18:
* Ejercicio 19:
* Ejercicio 20:
* Ejercicio 21:
* Ejercicio 22: Erlinda Menéndez Pérez
* Ejercicio 23: Irene Araujo Guijo
* Ejercicio 24:
* Ejercicio 25:
* Ejercicio 26: José Mª Contreras Beltrán
* Ejercicio 27: FºJavier Sanz Gil
* Ejercicio 28: Isabel Duarte Tosso
* Ejercicio 29:
* Ejercicio 30:
* Ejercicio 31:
* Ejercicio 32: Mª de los Remedios Sillero Denamiel
* Ejercicio 33: Pedro Ros Reina

Relación 6

2013-03-31T11:08:44Z

Marsilden:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_9:
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_11:
assumes 1:"∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))"and
2:"∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))" and
3:"∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))" and
"∀x. (x≠m)"
shows "∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_12:
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-
ejemplo. *)

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))"
"∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))"
"∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))"
"∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))"
shows "∃x.(D(x) ∧ B(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_21:
assumes 1:"∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) "and
2:"∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))" and
"∀x. (P(x)⟶F(x))"
shows "¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_22:
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_23:
assumes 1:"¬(∃x. P(x)∧R(x))" and
2:"∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))"
shows "P(a)⟶Q(a)"
quickcheck
using assms by auto

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_23a:
assumes "∀x. (P(x)⟶¬R(x))"
"∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))"
shows "P(a) ⟶Q(a)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24:
assumes 1:"∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))" and "(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))"and
2:"(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))"and
3:"∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))" and
4:"∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))" and "∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))" and "∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))"and
5:"∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))" and "∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))" and
6:"∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))"
shows "∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_25:
assumes 1:"A(r,c)" and
2:"¬S(p,a)" and
3:"∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))" and
4:"∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))" and
5:"(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))" and
"r∧c∧p∧a" (*para que la demostración sea posible*)
shows "p=c"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_26:
assumes 1:"(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))" and
2:"∀x. (S(x)⟶ M(s,x))" and
3:"∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))" and
4:"∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))" and
"p∧s" and "¬(∃x. M(x,x))" and "¬(p=s)" and "(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)" (*Para la demostración *)
shows "¬S(p)"

proof
assume 5:"S(p)"
have 6:"S(p)⟶M(s,p)" using 2..
hence 7: "M(s,p)" using 5..
have 8: "∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))" using 4..
hence 9: "M(s,p)⟷¬M(p,s)" ..
hence 10:"¬M(p,s)" using 7..
have 11: "∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))" using 1..
have 12: "p≠s" using assms(7) .
have 13: "(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))" using 1..
hence 14: "(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)" ..
have "(¬G(p)) ∨G(p)" ..
moreover
{assume "¬G(p)"
have 15: "(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))" by auto
hence 16: "((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))" using 11 ..
hence 17: "(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))" using 3..
with assms(8) have 18: "s∧M(p,s)" ..
hence 19:"M(p,s)" ..
with 10 have 20: False ..}
moreover
{assume "G(p)"
with 5 have 15: "(S(p)∧G(p))" ..
with 14 have 16: "p=s" ..
with 12 have False ..}
ultimately
show False ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_27:
assumes 1:"∀x. (F(x)⟶P(x))" and
2:"∀x. (P(x)⟶L(x))" and
3:"F(n)"and
4:"¬L(m)"
shows "m≠n"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_28:
assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30:
assumes 1:"p(l)=p(j)"and
2:"e=m(r)"and
3:"A(e,c)"and
4:"c=p(j)"
shows "A((m(r)),(p(l)))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_31:
assumes 1:"∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))"and
2: "H(j,l)"
shows "m(p(j))= m(p(l))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes 1:"∀x. (C(x)⟶A(x))" and
2:"C(s)"and
3:"m=s" and "s"

shows "A(m)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_33:
assumes 1:"(V(e))"and
2:"a=p"and
3:"C(e) ∨ F(a)"and
4:"∀x. (C(x)⟶¬V(x))"
shows "F(a)"
using 3
proof
assume 5:"C(e)"
have "C(e)⟶¬(V(e))" using 4..
hence 6:"¬V(e)" using 5..
hence False using 1 ..
with 3 show "F(a)" by auto (*Para no tener que demostrar de nuevo or2*)
next
assume 5: "F(a)"
thus ?thesis .
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34:
assumes 1:"R(L(h))" and
2:"C(L(d))" and
3:"∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))" and
"L(h)∧L(d)"(*Para demostrarlo*)
shows "∃x. (C(x)∧R(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35:
assumes 1:"(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))"and
2: "C(j,t)" and
3:"D(t)∧¬D(g)"
"g≠t"
shows "¬C(j,g)"
quickcheck
proof
assume 4:"C(j,g)"
have "C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))" using 1 2 by auto
hence "(∀y. C(j,y)⟶(y=t))"..
hence "C(j,g)⟶(g=t)"..
hence "g=t" using 4..
with assms(4) show False..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_36:
assumes 1:"c≠s" and
2:"(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)" and
3:"T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))" and
4:"∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))"and
"¬(∃x. R(x,x))" and "¬(∃x. T(x,x))"
shows "¬Pl(s)"
quickcheck
using assms by auto

end
</source>

Relación 6

2013-03-31T11:07:47Z

Marsilden:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor

------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 0: "(∀x.(P(x)⟶V(x))"
1: "(∃x.(V(x)∧∀y.(V(y)⟶x=y))"
shows "∃x.(P(x)∧∀y.(P(y)⟶x=y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Alejandro Ballesteros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.(E(x)∧¬V(x)⟶∃y.(Ca(y,x)∧A(y)))"
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)))"
2: "(∀x.(Co(x)⟶¬V(x)))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
oops

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 0: "(∀x.((E(x)∧(¬V(x)))⟶ (∃y.(Ca(y,x)∧A(y)∧(¬(x=y))))))" and
1: "(∃x.(Co(x)∧E(x)∧(∃y.(Ca(y,x)∧Co(y)∧(A(y))∧(¬(x=y))))))" and
2: "(∀x.(Co(x)⟶(¬V(x))))"
shows "∃x.(A(x)∧Co(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_5:
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}
(* Pedro Ros. Los tres sin número son información adicional para demostrar el problema*)
lemma ejercicio_6:
assumes 1: "∀x. ∀y. (H(x,y)⟶(∃z. (P(z,x)∧P(z,y))))" and
2: "H(j,l)" and
3: "P(c,l)"
"∀x. ∀y.(H(x,y) ⟷H(y,x))" and
"∀x. (∃y. (P(y,x)))" and
"∀x. ∀y. (P(x,y)⟷(¬P(y,x)))"
shows "P(c,j)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_7:
assumes 1:"(∃x. (Pu(x)))⟶ (∀y. (Pr(y)⟶A(y)))" and
2:"(∀x. (A(x)⟶ (∀y. (D(y,x)⟶S(y)))))" and
3:"∃x. (Pu(x)) " and
4:"Pr(t)"
shows "∀x. (D(x,t)⟶(S(x)))"
quickcheck
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra. No da con-
traejemplo. *)

lemma ejercicio_8a:
assumes "∀x.∃y.(E(x) ∧ ¬P(x) ⟶ A(y) ∧ I(y,x))"
"∃x.∀y.(M(x) ∧ E(x) ∧ (I(y,x) ⟶ M(y)))"
"∀x.(M(x) ⟶ ¬P(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ M(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_9:
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_10a:
assumes "∀x.(A(x) ∧ G(x) ⟶ V(x) ∧ L(x))"
"∃x.(A(x) ∧ V(x) ∧ ¬L(x))"
shows "∃x.(A(x) ∧ ¬G(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_11:
assumes 1:"∀x. (∀y. ((y≠x)∧C(x,y)⟶(A(x,y)∨I(x))))"and
2:"∀x. (I(x)⟶ ¬R(x))" and
3:"∀x. ((E(x)⟶C(x,m)))" and
"∀x. (x≠m)"
shows "∀x. ((¬E(x)∨(C(x,m)∧¬R(x))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Antonio Jesús Molero"

lemma ejercicio_12:
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo demuestra y da un con-
traejemplo.*)

lemma ejercicio_13a:
assumes "∀x.(D(x) ∧ (∃y.(S(y) ∧ E(x,y))) ⟶ L(x))"
"∀x.(E(x,x) ⟶ L(x))"
"∀x.(D(x) ⟶ ¬E(x,x))"
shows "∀x.∀y.(D(x) ∧ S(y) ⟶ ¬E(x,y))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_14a:
assumes "∀x.∀y.(R(x) ∧ A(y) ⟶ Ob(x,y))"
"A(a)"
"¬Ob(b,a)"
shows "¬R(b)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_15a:
assumes "∃x.∀y.(¬C(x,y) ⟶ (∃z.(T(z) ∨ P(z,y))))"
"∀x.∃y.(¬C(x,y))"
"∀x.∀y.(¬P(x,y))"
shows "∃x.(T(x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba y además da un
contraejemplo. *)

lemma ejercicio_16a:
assumes "(∀x.(A(x,a))) ⟶ (∀x.(A(x,b)))"
"(∃x.(D(x) ∧ A(x,a) ∧ A(x,b))) ⟶ (∀x.(A(x,a)))"
"(∀x.(¬A(x,b))) ⟶ (∀x.(D(x) ⟶ ¬A(x,a)))"
"¬A(m,b) ⟶ (∀x.(¬A(x,b)))"
shows "D(m) ∧ A(m,a) ⟶ (∀x.(A(x,a) ∧ A(x,b)))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(* Apli2 dice que está bien, pero Isabelle no lo prueba. No da contra-
ejemplo. *)

lemma ejercicio_17a:
assumes "∀x.∃y.(¬N(x) ∧ P(x) ⟶ D(y) ∧ M(y,x))"
"∃x.∀y.(P(x) ∧ B(x) ∧ (M(y,x) ⟶ B(y)))"
"∀x.(P(x) ⟶ ¬M(x,x))"
"∀x.(B(x) ⟶ ¬N(x))"
shows "∃x.(D(x) ∧ B(x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo."
(*Otra vez Isabelle no lo demuestra en auto, pero no da contraejemplo.
Está hecho con apli2, asi que supongo que está bien.*)

lemma ejercicio_18a:
assumes "∀x.∃y.(Hi(x,y))"
"∀x.∀y.∀z.(He(x,y) ∧ Hi(z,x) ⟶ ¬Hijo(z,y))"
"∀x.∀y.∀z.(Hi(x,z) ∧ He(y,x) ⟶ Hi(y,z))"
"∀x.(¬He(x,x) ∧ ¬Hi(x,x))"
"He(A,L)"
"He(a,m)"
"Hi(a,A)"
shows "¬Hi(m,L)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_20a:
assumes "∀x.(A(c,x) ⟷ C(x) ∧ ¬A(x,x))"
"C(c)"
shows "∀x.(¬A(c,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_21:
assumes 1:"∀x. ((∀y. ((F(y)∧D(x,y)))⟶(∀z. P(z)⟶D(x,z)))) "and
2:"∃x. (∃y. P(y)∧(¬D(x,y)))" and
"∀x. (P(x)⟶F(x))"
shows "¬(∀x. (∃y. (F(y)∧D(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_22:
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_23:
assumes 1:"¬(∃x. P(x)∧R(x))" and
2:"∀x. ((¬Q(x))⟶R(x))"
shows "P(a)⟶Q(a)"
quickcheck
using assms by auto

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_23:
assumes "∀x. (P(x)⟶¬R(x))"
"∀x.((P(x)∧(¬Q(x)))⟶R(x))"
shows "P(a) ⟶Q(a)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24:
assumes 1:"∀x. ((L(x)∨Ca(x)∨Or(x)∨Pa(x)∨Z(x))⟶A(x))" and "(∃x. L(x))∧(∃x. Ca(x))∧(∃x. Or(x))∧(∃x. Pa(x))∧(∃x. Z(x))"and
2:"(∃x. S(x))∧(∀y. S(y)⟶Pa(y))"and
3:"∀x. (A(x) ⟶ ((∀y.∀z.(Pa(z)⟶(A(y)∧M(y,x)∧Co(y,z))⟶Co(x,y))∧(Pa(y)⟶Co(x,y)) )))" and
4:"∀x. ((Or(x)∨Ca(x))⟶(∀y. (Pa(y)⟶M(x,y))))" and "∀x. (∀y. ((Z(y)∧Pa(x))⟶M(x,y)))" and "∀x. (∀y. ((L(y)∧Z(x))⟶M(x,y)))"and
5:"∀x. ∀y. ∀z. ((L(x)∧S(y)∧Z(z))⟶ (¬Co(x,y)∧ ¬Co(x,z)))" and "∀x. ∀y. ∀z.((Pa(x)∧Or(y)∧Ca(z))⟶ (Co(x,y)∧¬Co(x,z)))" and
6:"∀x. ∀y. (∃z. ((Pa(z)∧Ca(x)∧Or(y))⟶(Co(x,z)∨Co(y,z))))"
shows "∃x. (∃y. (∃z. (S(z)∧A(y)∧Co(y,z)∧A(x)∧Co(x,y))))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_25:
assumes 1:"A(r,c)" and
2:"¬S(p,a)" and
3:"∀x. ((¬S(x,a))⟶(A(x,r)))" and
4:"∀x. ∀y. (A(x,y)⟷A(y,x))" and
5:"(∃x. A(x,r))⟶(∀y. (A(y,r)⟶(y=x)))" and
"r∧c∧p∧a" (*para que la demostración sea posible*)
shows "p=c"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_26:
assumes 1:"(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))∧(∃x. (S(x)∧G(x)))" and
2:"∀x. (S(x)⟶ M(s,x))" and
3:"∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x))" and
4:"∀x. (∀y. (M(x,y)⟷¬M(y,x)))" and
"p∧s" and "¬(∃x. M(x,x))" and "¬(p=s)" and "(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))⟷ s∧M(p,s)" (*Para la demostración *)
shows "¬S(p)"

proof
assume 5:"S(p)"
have 6:"S(p)⟶M(s,p)" using 2..
hence 7: "M(s,p)" using 5..
have 8: "∀y. (M(s,y)⟷¬M(y,s))" using 4..
hence 9: "M(s,p)⟷¬M(p,s)" ..
hence 10:"¬M(p,s)" using 7..
have 11: "∀x. (S(x)∧G(x)⟷(x=s))" using 1..
have 12: "p≠s" using assms(7) .
have 13: "(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))" using 1..
hence 14: "(S(p)∧G(p)) ⟷ (p=s)" ..
have "(¬G(p)) ∨G(p)" ..
moreover
{assume "¬G(p)"
have 15: "(∀x. (S(x)∧G(x)⟷ (x=s)))⟶((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))" by auto
hence 16: "((∃x. ((S(x)∧G(x))∧M(p,x)))⟷(∃x. ((x=s)∧M(p,x))))" using 11 ..
hence 17: "(∃x. ((x=s)∧M(p,x)))" using 3..
with assms(8) have 18: "s∧M(p,s)" ..
hence 19:"M(p,s)" ..
with 10 have 20: False ..}
moreover
{assume "G(p)"
with 5 have 15: "(S(p)∧G(p))" ..
with 14 have 16: "p=s" ..
with 12 have False ..}
ultimately
show False ..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_27:
assumes 1:"∀x. (F(x)⟶P(x))" and
2:"∀x. (P(x)⟶L(x))" and
3:"F(n)"and
4:"¬L(m)"
shows "m≠n"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"
lemma ejercicio_28:
assumes "∀x.(M(p(x),x))"
"j = p(l)"
shows "M(j,l)"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_29a:
assumes "e(h) = r"
"h = m"
shows "e(m) = r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30:
assumes 1:"p(l)=p(j)"and
2:"e=m(r)"and
3:"A(e,c)"and
4:"c=p(j)"
shows "A((m(r)),(p(l)))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_31:
assumes 1:"∀x. ∀y. (H(x,y)⟶ ((p(x)⟷p(y))∧(m(x)⟷m(y))))"and
2: "H(j,l)"
shows "m(p(j))= m(p(l))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes 1:"∀x. (C(x)⟶A(x))" and
2:"C(s)"and
3:"m=s" and "s"

shows "A(m)"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_33:
assumes 1:"(V(e))"and
2:"a=p"and
3:"C(e) ∨ F(a)"and
4:"∀x. (C(x)⟶¬V(x))"
shows "F(a)"
using 3
proof
assume 5:"C(e)"
have "C(e)⟶¬(V(e))" using 4..
hence 6:"¬V(e)" using 5..
hence False using 1 ..
with 3 show "F(a)" by auto (*Para no tener que demostrar de nuevo or2*)
next
assume 5: "F(a)"
thus ?thesis .
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34:
assumes 1:"R(L(h))" and
2:"C(L(d))" and
3:"∀x. (∀y. (L(x)⟷L(y)))" and
"L(h)∧L(d)"(*Para demostrarlo*)
shows "∃x. (C(x)∧R(x))"
quickcheck
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35:
assumes 1:"(∃x. C(j,x))∧(∀y. C(j,y)⟶(y=x))"and
2: "C(j,t)" and
3:"D(t)∧¬D(g)"
"g≠t"
shows "¬C(j,g)"
quickcheck
proof
assume 4:"C(j,g)"
have "C(j,t)∧(∀y. C(j,y)⟶(y=t))" using 1 2 by auto
hence "(∀y. C(j,y)⟶(y=t))"..
hence "C(j,g)⟶(g=t)"..
hence "g=t" using 4..
with assms(4) show False..
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_36:
assumes 1:"c≠s" and
2:"(∀x. (Pr(x)⟶R(s,x)))⟷ Pl(s)" and
3:"T(c,s)⟶(∃x. (Pr(x)∧(¬R(s,x))∧R(c,x)))" and
4:"∀x. ((x≠s)⟶T(x,s))"and
"¬(∃x. R(x,x))" and "¬(∃x. T(x,x))"
shows "¬Pl(s)"
quickcheck
using assms by auto

end
</source>

Relación 6

2013-03-19T15:56:02Z

Marsilden:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"
lemma
assumes "∀x. ∀y. ((H(x) ∧ P(x) ∧ P(y))⟶ A(x,y))"
shows "∀x. ((H(x)∧ P(x))⟶A(x,x))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 6

2013-03-19T15:45:25Z

Marsilden:

<source lang="isar">
text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar en lógica de primer orden
argumentos expresados en lenguaje natural.

Antes de escribir la soluciones, comprobar con APLI2 la corrección de la
formalización.
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar el siguiente argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}
-- "En clase"

lemma ejercicio_1a:
assumes "∀x. (H(x) ⟶ M(x))"
"H(s)"
shows "M(s)"
proof -
have 0: "H(s) ⟶ M(s)" using assms(1) ..
thus "M(s)" using assms(2) ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 0:"(∃x. I(x)) ∧ (∃x. T(x))"
shows "∃x. (I(x)∧T(x))"
oops
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar el siguiente argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar el siguiente argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar el siguiente argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes "T(j,m)"
"T(j,p)"
shows "∃ x. ( T(x,m) ∧ T(x,p)) "
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar el siguiente argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar el siguiente argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar el siguiente argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar el siguiente argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Reme Sillero"

lemma
assumes "∀ x. ∀ y. ((Af(x) & E(y))⟶ Ap(x,y)) "
"∀y. (E(y) ⟶ (¬Ap(j,y)))"
shows "(∃x. (E(x) ∧ N(x))) ⟶(¬Af(j))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar el siguiente argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar el siguiente argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar el siguiente argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

-- Antonio Jesús Molero

lemma
assumes " ∀ x. (¬R(x) ⟶ R(P(x)))"
shows "∃x. (R(x) ∧ R(P (P(x))))"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar el siguiente argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar el siguiente argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar el siguiente argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar el siguiente argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar el siguiente argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar el siguiente argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar el siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar el siguiente argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar el siguiente argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar el siguiente argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar el siguiente argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar el siguiente argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Formalizar el siguiente argumento
Rosa ama a Curro. Paco no simpatiza con Ana. Quien no simpatiza con
Ana ama a Rosa. Si una persona ama a otra, la segunda ama a la
primera. Hay como máximo una persona que ama a Rosa. Por tanto,
Paco es Curro.
Usar A(x,y) para x ama a y
S(x,y) para x simpatiza con y
a para Ana
c para Curro
p para Paco
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Formalizar el siguiente argumento
Sólo hay un sofista que enseña gratuitamente, y éste es
Sócrates. Sócrates argumenta mejor que ningún otro sofista. Platón
argumenta mejor que algún sofista que enseña gratuitamente. Si una
persona argumenta mejor que otra segunda, entonces la segunda no
argumenta mejor que la primera. Por consiguiente, Platón no es un
sofista.
Usar G(x) para x enseña gratuitamente
M(x,y) para x argumenta mejor que y
S(x) para x es un sofista
p para Platón
s para Sócrates
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Formalizar el siguiente argumento
Todos los filósofos se han preguntado qué es la filosofía. Los que
se preguntan qué es la filosofía se vuelven locos. Nietzsche es
filósofo. El maestro de Nietzsche no acabó loco. Por tanto,
Nietzsche y su maestro son diferentes personas.
Usar F(x) para x es filósofo
L(x) para x se vuelve loco
P(x) para x se ha preguntado qué es la filosofía.
m para el maestro de Nietzsche
n para Nietzsche
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Formalizar el siguiente argumento
Los padres son mayores que los hijos. Juan es el padre de Luis. Por
tanto, Juan es mayor que Luis.
Usar M(x,y) para x es mayor que y
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Formalizar el siguiente argumento
El esposo de la hermana de Toni es Roberto. La hermana de Toni es
María. Por tanto, el esposo de María es Roberto.
Usar e(x) para el esposo de x
h para la hermana de Toni
m para María
r para Roberto
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Formalizar el siguiente argumento
Luis y Jaime tienen el mismo padre. La madre de Rosa es
Eva. Eva ama a Carlos. Carlos es el padre de Jaime. Por tanto,
la madre de Rosa ama al padre de Luis.
Usar A(x,y) para x ama a y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
c para Carlos
e para Eva
j para Jaime
l para Luis
r para Rosa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Formalizar el siguiente argumento
Si dos personas son hermanos, entonces tienen la misma madre y el
mismo padre. Juan es hermano de Luis. Por tanto, la madre del padre
de Juan es la madre del padre de Luis.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
m(x) para la madre de x
p(x) para el padre de x
j para Juan
l para Luis
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Formalizar el siguiente argumento
Todos los miembros del claustro son asturianos. El secretario forma
parte del claustro. El señor Martínez es el secretario. Por tanto,
el señor Martínez es asturiano.
Usar C(x) para x es miembro del claustro
A(x) para x es asturiano
s para el secretario
m para el señor Martínez
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Formalizar el siguiente argumento
Eduardo pudo haber visto al asesino. Antonio fue el primer testigo
de la defensa. O Eduardo estaba en clase o Antonio dio falso
testimonio. Nadie en clase pudo haber visto al asesino. Luego, el
primer testigo de la defensa dio falso testimonio.
Usar C(x) para x estaba en clase
F(x) para x dio falso testimonio
V(x) para x pudo haber visto al asesino
a para Antonio
e para Eduardo
p para el primer testigo de la defensa
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Formalizar el siguiente argumento
La luna hoy es redonda. La luna de hace dos semanas tenía forma de
cuarto creciente. Luna no hay más que una, es decir, siempre es la
misma. Luego existe algo que es a la vez redondo y con forma de
cuarto creciente.
Usar L(x) para la luna del momento x
R(x) para x es redonda
C(x) para x tiene forma de cuarto creciente
h para hoy
d para hace dos semanas
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Formalizar el siguiente argumento
Juana sólo tiene un marido. Juana está casada con Tomás. Tomás es
delgado y Guillermo no. Luego, Juana no está casada con Guillermo.
Usar D(x) para x es delgado
C(x,y) para x está casada con y
g para Guillermo
j para Juana
t para Tomás
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Formalizar el siguiente argumento
Sultán no es Chitón. Sultán no obtendrá un plátano a menos que
pueda resolver cualquier problema. Si el chimpancé Chitón trabaja
más que Sultán resolverá problemas que Sultán no puede resolver.
Todos los chimpancés distintos de Sultán trabajan más que Sultán.
Por consiguiente, Sultán no obtendrá un plátano.
Usar Pl(x) para x obtiene el plátano
Pr(x) para x es un problema
R(x,y) para x resuelve y
T(x,y) para x trabaja más que y
c para Chitón
s para Sultán
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T17:23:36Z

Marsilden:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

-- "Reme Sillero"
lemma ejercicio_18a:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof
assume "p"
show "q" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T16:43:17Z

Marsilden:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ (q ⟶ r)"
show "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof (rule impI)
assume "p ⟶ q"
show "p ⟶ r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p ⟶ q` have "q" ..
have "q ⟶ r" using `p⟶ (q ⟶ r)` `p` ..
show "r" using `q ⟶ r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T16:38:41Z

Marsilden:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Relación 3

2013-03-15T16:37:57Z

Marsilden:

<source lang="isar">
header {* R3: Deducción natural proposicional *}

theory R3
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios
usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica
proposicional (sin usar el método auto).

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

section {* Implicaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
p ⟶ q, p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
proof -
show 3: "q" using 1 2 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_1b:
assumes "p ⟶ q"
"p"
shows "q"
proof -
show "q" using assms(1,2) by (rule mp)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_1c:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "p"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_2a:
assumes 1:"p ⟶ q" and
2:"q ⟶ r" and
3:"p"
shows "r"
proof -
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
show 5: "r" using 2 4 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_2b:
assumes "p ⟶ q"
"q ⟶ r"
"p"
shows "r"
proof -
have "q" using assms(1,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_3a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and
2: "p ⟶ q" and
3: "p"
shows "r"
proof -
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 2 3 by (rule mp)
show 6: "r" using 4 5 by (rule mp)
qed

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_3b:
assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
"p ⟶ q"
"p"
shows "r"
proof -
have "q ⟶ r" using assms(1,3) ..
have "q" using assms(2,3) ..
with `q ⟶ r` show "r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_4a:
assumes 1: "p ⟶ q" and
2: "q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
proof -
{assume 3:"p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
thus "p ⟶ r" by (rule impI)
qed

lemma ejercicio_4d:
assumes "p ⟶ q" and
"q ⟶ r"
shows "p ⟶ r"
using assms by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Isabel Duarte"
lemma ejercicio_5a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "q ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have "q ⟶ r" using 1 4 ..
hence 5: "r" using 3 ..}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "q ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "José Mª Contreras"
lemma ejercicio_6a:
assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof -
{assume 2: "p ⟶ q"
{assume 3: "p"
have 4: "q ⟶ r" using 1 3 ..
have 5: "q" using 2 3 ..
have "r" using 4 5 ..}
hence "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
p ⊢ q ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_7:
assumes "p"
shows "q ⟶ p"
proof -
{assume 1: "q"}
show "q⟶ p" using assms(1) by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_8:
"p ⟶ (q ⟶ p)"
proof -
{assume 1: "p"
hence 2: "q ⟶ p" by (rule impI)}
thus "p ⟶q⟶p" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro, Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_9:
assumes 1: "p ⟶ q"
shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)"
proof-
{assume 2: "q ⟶ r"
{assume 3: "p"
have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "r" using 2 4 by (rule mp)}
hence 6: "p ⟶ r" by (rule impI)}
thus "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_10:
assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))"
shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))"
proof
assume "r"
show "q⟶ (p⟶ s)"
proof
assume "q"
show "p⟶ s"
proof
assume "p"
with assms have "q⟶ r⟶ s" ..
hence "r⟶ s" using `q` ..
thus "s" using `r`..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"

lemma ejercicio_11a:
"(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
assume 1: "p ⟶ (q ⟶ r)"
show 2: "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)"
proof
assume 3: "p⟶ q"
show 4: "p⟶ r"
proof
assume 5: "p"
have 6: "q" using 3 5 by (rule mp)
have 7:"q⟶ r" using 1 5 by (rule mp)
show 8: "r" using 7 6 ..
qed
qed
qed

-- "Reme Sillero"

lemma ejercicio_11b:
"(p \<longrightarrow> (q \<longrightarrow> r)) \<longrightarrow> ((p \<longrightarrow> q) \<longrightarrow> (p \<longrightarrow> r))"
proof (rule impI)
assume "p \<longrightarrow> (q \<longrightarrow> r)"
show "(p \<longrightarrow> q) \<longrightarrow> (p \<longrightarrow> r)"
proof (rule impI)
assume "p \<longrightarrow> q"
show "p \<longrightarrow> r"
proof (rule impI)
assume "p"
with `p \<longrightarrow> q` have "q" ..
have "q \<longrightarrow> r" using `p\<longrightarrow> (q \<longrightarrow> r)` `p` ..
show "r" using `q \<longrightarrow> r` `q` ..
qed
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_12a:
assumes "(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof -
have 1: "(p⟶ q)⟶ r" using assms by this
{assume 2: "p"
{assume 3: "q"
{assume 4: "p"
have 5: "q" using 3 by this}
hence 6: "p⟶ q" ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶ r" ..}
thus 9: "p⟶ (q⟶ r)" ..
qed

section {* Conjunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
p, q ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros Reina"

lemma ejercicio_13:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
proof -
show "p ∧ q" using 1 2 by (rule conjI)
qed

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_13b:
assumes 1:"p" and
2:"q"
shows "p ∧ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
p ∧ q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
proof -
show "p" using assms by (rule conjunct1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_14b:
assumes "p ∧ q"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
p ∧ q ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
proof -
show "q" using assms by (rule conjunct2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_15b:
assumes "p ∧ q"
shows "q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_16:
assumes "p ∧ (q ∧ r)"
shows "(p ∧ q)∧ r"
proof -
have 1: "p" using assms by (rule conjunct1)
have 2: "(q ∧ r)" using assms by (rule conjunct2)
have 3: "q" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "r" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(p∧q)" using 1 3 by (rule conjI)
show 6: "(p∧q) ∧ r" using 5 4 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
(p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_17:
assumes "(p∧ q) ∧ r"
shows "p ∧ (q∧ r)"
proof -
have 1: "r" using assms by (rule conjunct2)
have 2: "(p∧q)" using assms by (rule conjunct1)
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 by (rule conjunct2)
have 5: "(q∧r)" using 4 1 by (rule conjI)
show 6: "p∧(q∧r)" using 3 5 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
p ∧ q ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_18:
assumes "p ∧ q"
shows "p ⟶ q"
proof -
have 1: "q" using assms by (rule conjunct2)
show "p⟶ q" using 1 by (rule impI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Carmen Martinez Navarro , Erlinda Menendez Perez"

lemma ejercicio_19:
assumes 1: "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
shows "p ⟶ (q ∧ r)"
proof (rule impI)
assume 2: "p"
have 3: "p ⟶ q" using assms by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 3 2 by (rule mp)
have 5: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
have 6: "r" using 5 2 by (rule mp)
show "q ∧ r" using 4 6 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Jesús Horno Cobo"

lemma ejercicio_20:
assumes 1:"p ⟶ q ∧ r"
shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)"
proof -
{ assume 3: "p"
have 4: "q ∧ r" using 1 3 by (rule mp)
have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) }
hence 6: "p ⟶ q" by (rule impI)
{ assume 7: "p"
have 8: "q ∧ r" using 1 7 by (rule mp)
have 9: "r" using 8 by (rule conjunct2) }
hence 10: "p ⟶ r" by (rule impI)
show "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" using 6 10 by (rule conjI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_21a:
assumes 1:"p ⟶ (q ⟶ r)"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
show "r"
proof -
have 3: "p" using 2 by (rule conjunct1)
have 4: "q" using 2 ..
have 5: "(q⟶ r)" using 1 3 ..
show 6: "r" using 5 4 ..
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_22a:
assumes "p ∧ q ⟶ r"
shows "p ⟶ (q ⟶ r)"
proof
assume "p"
show "q⟶ r"
proof
assume "q"
have "p∧q" using `p` `q` ..
show "r" using assms `p∧q`..
qed
qed
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
(p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_23a:
assumes 1:"(p ⟶ q) ⟶ r"
shows "p ∧ q ⟶ r"
proof
assume 2:"p∧q"
hence 3:"p" ..
have 4:"q" using 2 ..
hence 5: "p⟶ q" ..
show"r" using 1 5 by (rule mp)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_24a:
assumes "p ∧ (q ⟶ r)"
shows "(p ⟶ q) ⟶ r"
proof
assume 0:"p⟶ q"
show "r"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q" using 0 1 ..
have 3: "q⟶ r" using assms ..
show 3: "r" using 3 2 ..
qed
qed

section {* Disyunciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
p ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI1)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_25b:
assumes "p"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
q ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
proof -
show "p∨q" using assms by (rule disjI2)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_26b:
assumes "q"
shows "p ∨ q"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar
p ∨ q ⊢ q ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_27:
assumes "p ∨ q"
shows "q ∨ p"
proof -
have "p ∨ q" using assms by this
moreover
{ assume 2: "p"
have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
moreover
{ assume 3: "q"
have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar
q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_28a:
assumes "q ⟶ r"
shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof
assume 1: "p∨q"
moreover
{assume "p"
hence "p∨r" by (rule disjI1)}
moreover
{assume "q"
have "r" using assms `q`..
hence "p∨r" ..}
ultimately
show "p∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar
p ∨ p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29a:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
proof-
have "p∨p" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
ultimately
show "p" ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_29b:
assumes "p ∨ p"
shows "p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar
p ⊢ p ∨ p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30a:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
proof -
show "p∨p" using assms ..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_30b:
assumes "p"
shows "p ∨ p"
using assms ..

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar
p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_31a:
assumes "p ∨ (q ∨ r)"
shows "(p ∨ q) ∨ r"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∨ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence "(p∨q)" ..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "(q∨r)"
moreover
{assume "q"
hence "(p∨q)"..
hence "(p∨q)∨r" ..}
moreover
{assume "r"
hence "(p∨q)∨r" ..}
ultimately
have "(p∨q)∨r"..}
ultimately
show "(p∨q)∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar
(p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros"
lemma ejercicio_32:
assumes "(p ∨ q) ∨ r"
shows "p ∨ (q ∨ r)"
using assms(1)
proof
assume "p∨q"
thus "p∨q∨r"
proof
assume "p"
thus "p∨q∨r" ..
next
assume "q"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed
next
assume "r"
hence "q∨r" ..
thus "p∨q∨r" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar
p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro"
lemma ejercicio_33a:
assumes "p ∧ (q ∨ r)"
shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
proof -
have 1: "p" using assms ..
have 2: "q∨r" using assms ..
moreover
{assume 3: "q"
have "(p∧q)" using 1 3 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
moreover
{assume 4: "r"
have "p∧r" using 1 4 ..
hence "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..}
ultimately
show "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_34a:
assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)"
shows "p ∧ (q ∨ r)"
proof -
have 1: "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "(p ∧ q)"
hence "p" ..
have "q" using `p ∧ q` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
moreover
{assume "(p∧r)"
hence "p" ..
have "r" using `p ∧ r` ..
hence "(q∨r)"..
have "p∧(q∨r)" using `p``(q∨r)`..}
ultimately
show "p ∧ (q ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar
p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_35a:
assumes "p ∨ (q ∧ r)"
shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
proof -
have 1: "p ∨ (q ∧ r)" using assms by this
moreover
{assume "p"
hence 2: "(p∨q)" ..
have 3: "(p∨r)" using `p` ..
have 4: "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" using 2 3 ..}
moreover
{assume 5:"(q∧r)"
hence 6: "q" ..
have 7: "r" using 5 ..
have 8: "p∨q" using 6 ..
have 9: "p∨r" using 7 ..
have "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"using 8 9 ..}
ultimately
show "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_36:
assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)"
shows "p ∨ (q ∧ r)"
proof -
have "p∨q" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "q"
have "p∨r" using assms..
moreover
{assume "p"
hence "p∨(q∧r)"..}
moreover
{assume "r"
with `q` have "q∧r"..
hence "p∨(q∧r)"..}
ultimately have "p∨(q∧r)"..}
ultimately show "p∨(q∧r)"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar
(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Erlinda Menendez Perez , Carmen Martinez Navarro"

lemma ejercicio_37:
assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
shows "p ∨ q ⟶ r"
proof (rule impI)
assume 1: "p ∨ q"
thus "r"
proof (rule disjE)
assume 2:"p"
have 3: "p ⟶ r" using assms by (rule conjunct1)
show "r" using 3 2 by (rule mp)
next
assume 5:"q"
have 6: "q ⟶ r" using assms by (rule conjunct2)
show "r" using 6 5 by (rule mp)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 38. Demostrar
p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_38:
assumes "p ∨ q ⟶ r"
shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)"
proof -
{assume 1: "p"
have 2:"p ∨ q" using 1 ..
have 3: "r" using assms 2 ..}
hence 4: "p⟶r" ..
{assume 5: "q"
have 6: "p ∨ q" using 5 ..
have 7: "r" using assms 6 ..}
hence 8: "q⟶r" ..
show "(p⟶r)∧(q⟶r)" using 4 8 ..
qed

section {* Negaciones *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 39. Demostrar
p ⊢ ¬¬p
------------------------------------------------------------------ *}
-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof -
show "¬¬p" using assms by (rule notnotI)
qed

-- "Pedro G. Ros Reina"
lemma ejercicio_39b:
assumes "p"
shows "¬¬p"
using assms by (rule notnotI)

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_39c:
assumes "p"
shows "¬¬p"
proof (rule notI)
assume "¬p"
show False using `¬p` assms..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 40. Demostrar
¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_40:
assumes "¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume 1: "p"
show "q" using assms 1 by (rule notE)}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 41. Demostrar
p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_41:
assumes "p ⟶ q"
shows "¬q ⟶ ¬p"
proof (rule impI)
{assume "¬q"
with assms show "¬p" by (rule mt) }
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 42. Demostrar
p∨q, ¬q ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_42:
assumes "p∨q"
"¬q"
shows "p"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
hence "p" by this}
moreover
{assume "q"
with assms (2) have "p" ..}
ultimately show "p" ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 43. Demostrar
p ∨ q, ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_43:
assumes "p ∨ q"
"¬p"
shows "q"
proof -
note `p∨q`
moreover
{assume "p"
with assms (2) have False..
hence "q"..}
moreover
{assume "q"
hence "q" .}
ultimately show "q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 44. Demostrar
p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_44:
assumes "p ∨ q"
shows "¬(¬p ∧ ¬q)"
proof -
{assume "¬p∧¬q"
note `p∨q`
moreover
{have "¬p" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct1)
assume "p"
with `¬p`have False by (rule notE)}
moreover
{have "¬q" using `¬p∧¬q`by (rule conjunct2)
assume "q"
with `¬q`have False by (rule notE)}
ultimately have False by (rule disjE)}
thus "¬(¬p∧¬q)" by (rule notI)
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 45. Demostrar
p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl montes Pajuelo"

lemma ejercicio_45:
assumes "p ∧ q"
shows "¬(¬p ∨ ¬q)"
proof (rule notI)
assume "¬p∨¬q"
show False
proof (rule disjE)
{show "¬p∨¬q" using `¬p∨¬q`.
next
show "¬p⟹False"
proof -
{assume "¬p"
have "p" using assms..
with `¬p`show False..}
qed
next
show "¬q⟹False"
proof -
{assume "¬q"
have "q" using assms..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 46. Demostrar
¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_46:
assumes "¬(p ∨ q)"
shows "¬p ∧ ¬q"
proof (rule conjI)
show "¬p"
proof (rule notI)
{assume "p"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
next
show "¬q"
proof (rule notI)
{assume "q"
hence "p∨q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 47. Demostrar
¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_47:
assumes "¬p ∧ ¬q"
shows "¬(p ∨ q)"
proof (rule notI)
assume "p∨q"
show False
proof (rule disjE)
{show "p∨q" using `p∨q` .
next
show "p⟹False"
proof -
{have "¬p" using assms..
assume "p"
with `¬p`show False..}
qed
next
show "q⟹False"
proof -
{have "¬q" using assms..
assume "q"
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 48. Demostrar
¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_48:
assumes "¬p ∨ ¬q"
shows "¬(p ∧ q)"
proof (rule disjE)
show "¬p∨¬q" using assms .
next
show "¬p⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬p"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "p"..
with `¬p`show False..}
qed}
qed
next
show "¬q⟹¬(p∧q)"
proof -
{assume "¬q"
show "¬(p∧q)"
proof (rule notI)
{assume "p∧q"
hence "q"..
with `¬q`show False..}
qed}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 49. Demostrar
⊢ ¬(p ∧ ¬p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_49:
"¬(p ∧ ¬p)"
proof (rule notI)
assume "p∧¬p"
hence "¬p"..
have "p" using `p∧¬p`..
with `¬p`show False..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 50. Demostrar
p ∧ ¬p ⊢ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_50:
assumes "p ∧ ¬p"
shows "q"
proof (rule notE)
show "p" using assms ..
show "¬p" using assms ..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 51. Demostrar
¬¬p ⊢ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_51:
assumes "¬¬p"
shows "p"
proof (rule ccontr)
assume "¬p"
with `¬¬p` show False..
qed

-- "Pedro Ros"
lemma ejercicio_51b:
assumes "¬¬p"
shows "p"
using assms by (rule notnotD)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 52. Demostrar
⊢ p ∨ ¬p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_52:
"p ∨ ¬p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬(p∨¬p)"
have "p"
proof (rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed
hence "p∨¬p"..
with `¬(p∨¬p)` show False..}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 53. Demostrar
⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_53:
"((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p"
proof (rule impI)
assume "(p⟶q)⟶p"
show "p"
proof (rule ccontr)
note `(p⟶q)⟶p`
assume "¬p"
with `(p⟶q)⟶p` have "¬(p⟶q)" by (rule mt)
{assume "p"
with `¬p` have "q" by (rule notE)}
hence "p⟶q" by (rule impI)
with `¬(p⟶q)` show False by (rule notE)
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 54. Demostrar
¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_54:
assumes "¬q ⟶ ¬p"
shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
{assume "p"
hence "¬¬p" by (rule notnotI)
with `¬q⟶¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
show "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬¬q` show False..}
qed}
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 55. Demostrar
¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_55:
assumes "¬(¬p ∧ ¬q)"
shows "p ∨ q"
proof (rule disjE)
show "¬p∨p"..
show "¬p⟹p∨q"
proof -
{assume "¬p"
have "q"
proof (rule ccontr)
{assume "¬q"
with `¬p` have "¬p∧¬q"..
with assms show False..}
qed
then show "p∨q"..}
qed
show "p⟹p∨q"
proof -
{assume "p"
then show "p∨q"..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 56. Demostrar
¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_56:
assumes "¬(¬p ∨ ¬q)"
shows "p ∧ q"
proof(rule conjI)
show "p"
proof(rule ccontr)
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
show "q"
proof(rule ccontr)
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..
with assms show False..}
qed
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 57. Demostrar
¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_57:
assumes "¬(p ∧ q)"
shows "¬p ∨ ¬q"
proof -
have "¬p∨p"..
moreover
{assume "¬p"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "p"
have "¬q∨q"..
moreover
{assume "¬q"
hence "¬p∨¬q"..}
moreover
{assume "q"
with `p`have "p∧q"..
with `¬(p∧q)` have "¬p∨¬q"..}
ultimately have "¬p∨¬q"..}
ultimately show "¬p∨¬q"..
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 58. Demostrar
⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
------------------------------------------------------------------ *}

-- "Raúl Montes Pajuelo"

lemma ejercicio_58:
"(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)"
proof -
have "¬p ∨ p" ..
moreover
{assume "¬p"
{assume "p"
with `¬p` have "q" ..}
hence "p⟶q" ..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..}
moreover
{assume "p"
{assume "q"
note `p`}
hence "q⟶p"..
hence "(p⟶q)∨(q⟶p)"..}
ultimately show "(p⟶q)∨(q⟶p)" ..
qed

end
</source>

Problema 1

2013-02-23T12:05:03Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

== Enunciado ==
Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
*: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
*: prof(p → p ∨ q) = 2.
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
<source lang="haskell">

import Data.Char
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
|Vari Char
|Nega F
|Conj F F
|Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d)

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1+ (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 <= 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = (nv m) <= 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = (prof m)<= 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que
n <= 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n<= 2^n ==> 2n<=2^(n+1), luego si (n+1)<=2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1<=n.

nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) <= 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}

-- Reme Sillero

-- Mis definiciones de número de variables y de profundidad son prácticamente iguales a las definidas por mi compañero pero he añadido
-- constructores que pienso que hacen falta.

-- Primero definimos todo lo relativo a tipo y a representación:

module SintaxisSemantica where

import Data.List

type SimboloProposicional = String

data Prop = Atom SimboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

no :: Prop -> Prop
no = Neg

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- Pasamos a definir las funciones:

--1.

n_variables :: Prop -> Integer
n_variables (Atom p) = 1
n_variables (Neg p) = n_variables p
n_variables (Conj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Disj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Impl p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Equi p q) = n_variables p + n_variables q

--*SintaxisSemantica> n_variables (p <--> (p \/ q ))
--3

--2.

profundidad :: Prop -> Integer
profundidad (Atom p) = 0
profundidad (Neg p) = 1 + profundidad p
profundidad (Conj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Disj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Impl p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Equi p q) = 1 + profundidad p + profundidad q

--*SintaxisSemantica> profundidad (p --> (p /\ q ))
--2

</source>

Problema 1

2013-02-23T12:02:05Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

Problema 1

2013-02-23T12:00:27Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

== Enunciado ==
Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
*: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
*: prof(p → p ∨ q) = 2.
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
<source lang="haskell">

import Data.Char
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
|Vari Char
|Nega F
|Conj F F
|Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d)

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1+ (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 <= 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = (nv m) <= 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = (prof m)<= 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que
n <= 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n<= 2^n ==> 2n<=2^(n+1), luego si (n+1)<=2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1<=n.

nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) <= 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}

-- Reme Sillero
-- Mis definiciones de número de variables y de profundidad son prácticamente iguales a las definidas por mi compañero pero he añadido
-- constructores que pienso que hacen falta.

-- Primero definimos todo lo relativo a tipo y a representación:

module SintaxisSemantica where

import Data.List

type SimboloProposicional = String

data Prop = Atom SimboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

no :: Prop -> Prop
no = Neg

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- Pasamos a definir las funciones:

--1.
n_variables :: Prop -> Integer
n_variables (Atom p) = 1
n_variables (Neg p) = n_variables p
n_variables (Conj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Disj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Impl p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Equi p q) = n_variables p + n_variables q

--*SintaxisSemantica> n_variables (p <--> (p \/ q ))
--3

--2.
profundidad :: Prop -> Integer
profundidad (Atom p) = 0
profundidad (Neg p) = 1 + profundidad p
profundidad (Conj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Disj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Impl p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Equi p q) = 1 + profundidad p + profundidad q

--*SintaxisSemantica> profundidad (p --> (p /\ q ))
--2

</source>

Problema 1

2013-02-23T11:50:52Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

Problema 1

2013-02-23T11:50:15Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

== Enunciado ==
Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
*: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
*: prof(p → p ∨ q) = 2.
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
<source lang="haskell">

import Data.Char
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
|Vari Char
|Nega F
|Conj F F
|Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d)

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1+ (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 <= 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = (nv m) <= 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = (prof m)<= 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que
n <= 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n<= 2^n ==> 2n<=2^(n+1), luego si (n+1)<=2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1<=n.

nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) <= 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}
</source>

-- Reme Sillero

-- Mi definición de número de variables y de profundidad es prácticamente igual a la definida por mi compañero, pero he añadido más
-- constructores que pienso que hacen falta.

-- Primero definimos todo lo necesario en cuanto a tipo y representación:

--import Data.List

--type SimboloProposicional = String

--data Prop = Atom SimboloProposicional
-- | Neg Prop
-- | Conj Prop Prop
-- | Disj Prop Prop
-- | Impl Prop Prop
-- | Equi Prop Prop
-- deriving (Eq,Ord)

-- Pasamos a definir las dos funciones pedidas:

--1.

--n_variables :: Prop -> Integer
--n_variables (Atom p) = 1
--n_variables (Neg p) = n_variables p
--n_variables (Conj p q) = n_variables p + n_variables q
--n_variables (Disj p q) = n_variables p + n_variables q
--n_variables (Impl p q) = n_variables p + n_variables q
--n_variables (Equi p q) = n_variables p + n_variables q

-- *SintaxisSemantica> n_variables (p <--> (p \/ q ))
-- 3

--2.

--profundidad :: Prop -> Integer
--profundidad (Atom p) = 0
--profundidad (Neg p) = 1 + profundidad p
--profundidad (Conj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
--profundidad (Disj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
--profundidad (Impl p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
--profundidad (Equi p q) = 1 + profundidad p + profundidad q

-- *SintaxisSemantica> profundidad (p --> (p \/ q ))
-- 2

Problema 1

2013-02-23T11:48:55Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

== Enunciado ==
Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
*: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
*: prof(p → p ∨ q) = 2.
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
<source lang="haskell">

import Data.Char
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
|Vari Char
|Nega F
|Conj F F
|Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d)

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1+ (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 <= 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = (nv m) <= 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = (prof m)<= 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que
n <= 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n<= 2^n ==> 2n<=2^(n+1), luego si (n+1)<=2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1<=n.

nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) <= 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}
</source>

-- Reme Sillero

-- Mi definición de número de variables y de profundidad es prácticamente igual a la definida por mi compañero, pero he añadido más
-- constructores que pienso que hacen falta.

-- Primero definimos todo lo necesario en cuanto a tipo y representación:

import Data.List

type SimboloProposicional = String

data Prop = Atom SimboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

-- Pasamos a definir las dos funciones pedidas:

--1.

n_variables :: Prop -> Integer
n_variables (Atom p) = 1
n_variables (Neg p) = n_variables p
n_variables (Conj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Disj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Impl p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Equi p q) = n_variables p + n_variables q

-- *SintaxisSemantica> n_variables (p <--> (p \/ q ))
-- 3

--2.

profundidad :: Prop -> Integer
profundidad (Atom p) = 0
profundidad (Neg p) = 1 + profundidad p
profundidad (Conj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Disj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Impl p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Equi p q) = 1 + profundidad p + profundidad q

-- *SintaxisSemantica> profundidad (p --> (p \/ q ))
-- 2

Problema 1

2013-02-23T11:47:02Z

Marsilden: /* Soluciones colaborativas */

== Enunciado ==
Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
*: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
*: prof(p → p ∨ q) = 2.
Demostrar por inducción, que para toda fórmula F, nv(F) ≤ 2^prof(F)

== Soluciones colaborativas ==
<source lang="haskell">

import Data.Char
--Pedro G. Ros

-- Primero definimos los operadores como tipo:

data F = Const Bool
|Vari Char
|Nega F
|Conj F F
|Impl F F

--Ahora las funciones:
nv:: F -> Int
nv (Vari a) = 1
nv (Impl a b) = (nv a) + (nv b)
nv (Nega p) = (nv p)
nv (Conj c d)= (nv c) + (nv d)

-- *Main> nv (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
-- 3

prof::F-> Int
prof (Vari a) = 0
prof (Impl a b) = 1 + (prof a) + (prof b)
prof (Nega b) = 1+ (prof b)
prof (Conj a b) = 1+ (prof a) + (prof b)

-- *Main> prof (Impl (Vari 'p') (Conj (Vari 'p') (Vari 'q')))
--2

{-
La demostración por inducción es sencilla:
Caso base:
nv (Vari a) = 1 <= 2^(prof (Vari a)) = 2^0 = 1

Supongamos cierta la hipótesis para m y n dos proposiciones, y pongamos los casos:

nv (Nega m) = (nv m) <= 1+ 2^(prof m)
y obviamente: prof (Nega m) = (prof m)<= 2^(prof m)

Ya que estamos practicando la inducción haré que
n <= 2^n.
(i) Se cumple trivialmente en el 1.
(ii) Suponemos cierto que se cumple en n.
(iii) n<= 2^n ==> 2n<=2^(n+1), luego si (n+1)<=2n ya hemos acabado, cosa obvia si 1<=n.

nv (Impl m n) = (nv m) + (nv n) <= 2^(prof m) + 2^(prof n)
prof (Impl m n) = 1+ (prof m) + (prof n), y también es trivial ver que 2^(prof Impl m n) es una cota superior a la dada por la hipótesis de inducción.

nv (Conj m n) == nv (Impl m n)

Por lo que hemos acabado y queda demostrado para todo tipo de fórmula F.

-}
</source>

-- Reme Sillero

-- Mi definición de número de variables y de profundidad es prácticamente igual a la definida por mi compañero, pero he añadido más
-- constructores que pienso que hacen falta.

-- Primero definimos todo lo necesario en cuanto a tipo y representación:

import Data.List

type SimboloProposicional = String

data Prop = Atom SimboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

no :: Prop -> Prop
no = Neg

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- Pasamos a definir las dos funciones pedidas:

--1.

n_variables :: Prop -> Integer
n_variables (Atom p) = 1
n_variables (Neg p) = n_variables p
n_variables (Conj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Disj p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Impl p q) = n_variables p + n_variables q
n_variables (Equi p q) = n_variables p + n_variables q

-- *SintaxisSemantica> n_variables (p <--> (p \/ q ))
-- 3

--2.

profundidad :: Prop -> Integer
profundidad (Atom p) = 0
profundidad (Neg p) = 1 + profundidad p
profundidad (Conj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Disj p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Impl p q) = 1 + profundidad p + profundidad q
profundidad (Equi p q) = 1 + profundidad p + profundidad q

-- *SintaxisSemantica> profundidad (p --> (p \/ q ))
-- 2

Relación 2

2013-02-22T10:32:56Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Pedro G. Ros
significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom p) a = elem (Atom p) a
significado (Neg p) a = not (significado p a)
significado (Conj p q) a= (significado p a)&& (significado q a)
significado (Disj p q) a =(significado p a)|| (significado q a)
significado (Impl p q) a = if (significado p a) then (significado q a)==
True else True
significado (Equi p q) a = (significado (Impl p q) a )&&(significado (Impl q p)) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i (Atom p) = significado (Atom p) i
esModeloFórmula i (Conj a b)= significado (Conj a b) i
esModeloFórmula i (Disj a b) = esModeloFórmula i (Conj a b)
esModeloFórmula i (Impl a b)=esModeloFórmula i (Conj a b)
esModeloFórmula i (Equi a b)=(esModeloFórmula i (Impl a b))&&(esModeloFórmula i (Impl b a))
esModeloFórmula i (Neg b)=not(esModeloFórmula i b)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = [x|x<-(interpretacionesForm f),esModeloFórmula x f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = modelosFormula f == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Reme Sillero

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = modelosFormula f /= []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>

Relación 2

2013-02-21T15:41:12Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Pedro G. Ros
significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom p) a = elem (Atom p) a
significado (Neg p) a = not (significado p a)
significado (Conj p q) a= (significado p a)&& (significado q a)
significado (Disj p q) a =(significado p a)|| (significado q a)
significado (Impl p q) a = if (significado p a) then (significado q a)==
True else True
significado (Equi p q) a = (significado (Impl p q) a )&&(significado (Impl q p)) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
--Muy fea y animo a eliminar lo sobrante y dejarla bonita.
esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i (Atom p) = significado (Atom p) i
esModeloFórmula i (Conj p q)= significado (Conj p q) i
esModeloFórmula i (Disj p q) = (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Disj p q) i)
esModeloFórmula i (Neg p) = significado (Neg p) i
esModeloFórmula i (Impl p q)= (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Impl p q) i)
esModeloFórmula i (Equi p q)= (esModeloFórmula i (Impl p q))&&(esModeloFórmula i (Impl q p))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = [x|x<-(interpretacionesForm f),esModeloFórmula x f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = modelosFormula f == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = modelosFormula f /= []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>

Relación 2

2013-02-21T15:40:00Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Pedro G. Ros
significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom p) a = elem (Atom p) a
significado (Neg p) a = not (significado p a)
significado (Conj p q) a= (significado p a)&& (significado q a)
significado (Disj p q) a =(significado p a)|| (significado q a)
significado (Impl p q) a = if (significado p a) then (significado q a)==
True else True
significado (Equi p q) a = (significado (Impl p q) a )&&(significado (Impl q p)) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
--Muy fea y animo a eliminar lo sobrante y dejarla bonita.
esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i (Atom p) = significado (Atom p) i
esModeloFórmula i (Conj p q)= significado (Conj p q) i
esModeloFórmula i (Disj p q) = (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Disj p q) i)
esModeloFórmula i (Neg p) = significado (Neg p) i
esModeloFórmula i (Impl p q)= (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Impl p q) i)
esModeloFórmula i (Equi p q)= (esModeloFórmula i (Impl p q))&&(esModeloFórmula i (Impl q p))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = [x|x<-(interpretacionesForm f),esModeloFórmula x f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = modelosFormula f == []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>

Relación 2

2013-02-21T15:38:38Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Pedro G. Ros
significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom p) a = elem (Atom p) a
significado (Neg p) a = not (significado p a)
significado (Conj p q) a= (significado p a)&& (significado q a)
significado (Disj p q) a =(significado p a)|| (significado q a)
significado (Impl p q) a = if (significado p a) then (significado q a)==
True else True
significado (Equi p q) a = (significado (Impl p q) a )&&(significado (Impl q p)) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
--Muy fea y animo a eliminar lo sobrante y dejarla bonita.
esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i (Atom p) = significado (Atom p) i
esModeloFórmula i (Conj p q)= significado (Conj p q) i
esModeloFórmula i (Disj p q) = (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Disj p q) i)
esModeloFórmula i (Neg p) = significado (Neg p) i
esModeloFórmula i (Impl p q)= (esModeloFórmula i (Conj p q))&&(significado (Impl p q) i)
esModeloFórmula i (Equi p q)= (esModeloFórmula i (Impl p q))&&(esModeloFórmula i (Impl q p))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Pedro G. Ros
modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = [x|x<-(interpretacionesForm f),esModeloFórmula x f]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>

Relación 2

2013-02-20T17:45:45Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
significado = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm x|x<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>

Relación 2

2013-02-20T17:13:23Z

Marsilden:

<source lang="haskell">
-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es>
-- ---------------------------------------------------------------------

module SintaxisSemantica where

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
-- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
-- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
-- respectivamente.
-- ---------------------------------------------------------------------

type SímboloProposicional = String

data Prop = Atom SímboloProposicional
| Neg Prop
| Conj Prop Prop
| Disj Prop Prop
| Impl Prop Prop
| Equi Prop Prop
deriving (Eq,Ord)

instance Show Prop where
show (Atom p) = p
show (Neg p) = "no " ++ show p
show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------

p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q = Atom "q"
r = Atom "r"
s = Atom "s"
t = Atom "t"
u = Atom "u"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
-- no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------

no :: Prop -> Prop
no = Neg

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
-- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
-- f /\ g es la conjunción de f y g
-- f \/ g es la disyunción de f y g
-- f --> g es la implicación de f a g
-- f <--> g es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------

infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\) = Conj
(\/) = Disj
(-->) = Impl
(<-->) = Equi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
-- símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
-- símbolosPropFórm (p /\ q --> p) ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Antonio Molero

simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom p) = [(Atom p)]
simbolosPropForm (Neg p) = simbolosPropForm p
simbolosPropForm (Conj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Disj p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Impl p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q
simbolosPropForm (Equi p q) = simbolosPropForm p `union` simbolosPropForm q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------

type Interpretación = [Prop]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
-- significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] ==> False
-- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
significado = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo,
-- subconjuntos "abc" ==> ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- subconjuntos xs] ++ subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
-- interpretacionesFórm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesFórm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo,
-- interpretacionesFórm (p /\ q --> p) ==> [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Reme Sillero

interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
interpretacionesForm p = subconjuntos (simbolosPropForm p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
-- esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFórmula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo,
-- esModeloFórmula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> False
-- esModeloFórmula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloFórmula :: Interpretación -> Prop -> Bool
esModeloFórmula i f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
-- modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (modelosFórmula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
-- modelosFórmula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosFórmula :: Prop -> [Interpretación]
modelosFórmula f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
-- esVálida :: Prop -> Bool
-- tal que (esVálida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
-- esVálida (p --> p) ==> True
-- esVálida (p --> q) ==> False
-- esVálida ((p --> q) \/ (q --> p)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esVálida :: Prop -> Bool
esVálida f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
-- esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esInsatisfacible (p /\ (no p)) ==> True
-- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
-- esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo,
-- esSatisfacible (p /\ (no p)) ==> False
-- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
-- uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (uniónGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
-- uniónGeneral [] ==> []
-- uniónGeneral [[1]] ==> [1]
-- uniónGeneral [[1],[1,2],[2,3]] ==> [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

uniónGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
uniónGeneral = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
-- símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
-- símbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] ==> [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------

símbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
símbolosPropConj s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
-- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
-- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
interpretacionesConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
-- esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo,
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> True
-- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretación -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
-- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
-- ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
-- ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretación]
modelosConjunto s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
-- esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo,
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> True
-- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
-- esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo,
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]
-- ==> False
-- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]
-- ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
-- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
-- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True
-- esConsecuencia [p] (p /\ q) ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = undefined
</source>