Tema 2: Programación funcional en Isabelle

header {* Tema 2: Programación funcional en Isabelle *}

theory Programacion_funcional_en_Isabelle imports Main begin

section {* Introducción *}

text {* Esta notas son una introducción a la demostración asistida

 utilizando el sistema Isabelle/HOL/Isar. La versión de Isabelle
 utilizada es la 2012.

 En este capítulos se presenta el lenguaje funcional que está
 incluido en Isabelle. El lenguaje funcional es muy parecido a
 Haskell. *}

section {* Números naturales, enteros y booleanos *}

text {* En Isabelle están definidos los número naturales con la sintaxis

 de Peano usando dos constructores: 0 (cero) y Suc (el sucesor).

 Los números como el 1 son abreviaturas de los correspondientes en la
 notación de Peano, en este caso "Suc 0".

 El tipo de los números naturales es nat.

 Por ejemplo, el siguiente del 0 es el 1. *}

value "Suc 0" -- "= 1"

text {* En Isabelle está definida la suma de los números naturales:

 (x + y) es la suma de x e y.

 Por ejemplo, la suma de los números naturales 1 y 2 es el número
 natural 3. *}

value "(1::nat) + 2" -- "= 3"

text {* La notación del par de dos puntos se usa para asignar un tipo a

 un término (por ejemplo, (1::nat) significa que se considera que 1 es
 un número natural).

 En Isabelle está definida el producto de los números naturales:
 (x * y) es el producto de x e y.

 Por ejemplo, el producto de los números naturales 2 y 3 es el número
 natural 6. *}

value "(2::nat) * 3" -- "= 6"

text {* En Isabelle está definida la división de números naturales:

 (n div m) es el cociente entero de x entre y.

 Por ejemplo, la división natural de 7 entre 3 es 2. *}

value "(7::nat) div 3" -- "= 2"

text {* En Isabelle está definida el resto de división de números

 naturales: (n mod m) es el resto de dividir n entre m.

 Por ejemplo, el resto de dividir 7 entre 3 es 1. *}

value "(7::nat) mod 3" -- "= 1"

text {* En Isabelle también están definidos los números enteros. El tipo

 de los enteros se representa por int.

 Por ejemplo, la suma de 1 y -2 es el número entero -1. *}

value "(1::int) + -2" -- "= -1"

text {* Los numerales están sobrecargados. Por ejemplo, el 1 puede ser

 un natural o un entero, dependiendo del contexto.

 Isabelle resuelve ambigüedades mediante inferencia de tipos.

 A veces, es necesario usar declaraciones de tipo para resolver la
 ambigüedad.

 En Isabelle están definidos los valores booleanos (True y False), las
 conectivas (¬, ∧, ∨, ⟶ y ↔) y los cuantificadores (∀ y ∃).

 El tipo de los booleanos es bool. *}

text {* La conjunción de dos fórmulas verdaderas es verdadera. *} value "True ∧ True" -- "= True"

text {* La conjunción de un fórmula verdadera y una falsa es falsa. *} value "True ∧ False" -- "= False"

text {* La disyunción de una fórmula verdadera y una falsa es

 verdadera. *}

value "True ∨ False" -- "= True"

text {* La disyunción de dos fórmulas falsas es falsa. *} value "False ∨ False" -- "= False"

text {* La negación de una fórmula verdadera es falsa. *} value "¬True" -- "= False"

text {* Una fórmula falsa implica una fórmula verdadera. *} value "False ⟶ True" -- "= True"

text {* Un lema introduce una proposición seguida de una demostración.

 Isabelle dispone de varios procedimientos automáticos para generar
 demostraciones, uno de los cuales es el de simplificación (llamado
 simp).

 El procedimiento simp aplica un conjunto de reglas de reescritura, que
 inicialmente contiene un gran número de reglas relativas a los objetos
 definidos. *}

text {* Ej. de simp: Todo elemento es igual a sí mismo. *} lemma "∀x. x = x" by simp

text {* Ej. de simp: Existe un elemento igual a 1. *} lemma "∃x. x = 1" by simp

section {* Definiciones no recursivas *}

text {* La disyunción exclusiva de A y B se verifica si una es verdadera

 y la otra no lo es. *}

definition xor :: "bool ⇒ bool ⇒ bool" where

 "xor A B ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)"

text {* Prop.: La disyunción exclusiva de dos fórmulas verdaderas es

 falsa.

 Dem.: Por simplificación, usando la definición de la disyunción
 exclusiva.

}

lemma "xor True True = False" by (simp add: xor_def)

text {* Se añade la definición de la disyunción exclusiva al conjunto de

 reglas de simplificación automáticas. *}

declare xor_def[simp]

lemma "xor True False = True" by simp

section {* Definiciones locales *}

text {* Se puede asignar valores a variables locales mediante 'let' y

 usarlo en las expresiones dentro de 'in'.

 Por ejemplo, si x es el número natural 3, entonces "x*x=9". *}

value "let x = 3::nat in x * x" -- "= 9"

section {* Pares *}

text {* Un par se representa escribiendo los elementos entre paréntesis

 y separados por coma.
 
 El tipo de los pares es el producto de los tipos.
 
 La función fst devuelve el primer elemento de un par y la snd el
 segundo.

 Por ejemplo, si p es el par de números naturales (2,3), entonces la
 suma del primer elemento de p y 1 es igual al segundo elemento de
 p. *}

value "let p = (2,3)::nat × nat in fst p + 1 = snd p"

section {* Listas *}

text {* Una lista se representa escribiendo los elementos entre

 corchetes y separados por comas.
 
 La lista vacía se representa por [].
 
 Todos los elementos de una lista tienen que ser del mismo tipo.
 
 El tipo de las listas de elementos del tipo a es (a list).
 
 El término (x#xs) representa la lista obtenida añadiendo el elemento x
 al principio de la lista xs.

 Por ejemplo, la lista obtenida añadiendo sucesivamente a la lista
 vacía los elementos c, b y a es [a,b,c]. *}

value "a#(b#(c#[]))" -- "= [a,b,c]"

text {* Funciones de descomposión de listas:

 · (hd xs) es el primer elemento de la lista xs.
 · (tl xs) es el resto de la lista xs.

 Por ejemplo, si xs es la lista [a,b,c], entonces el primero de xs es a
 y el resto de xs es [b,c]. *}

value "let xs = [a,b,c] in hd xs = a ∧ tl xs = [b,c]" -- "= True"

text {* (length xs) es la longitud de la lista xs. Por ejemplo, la

 longitud de la lista [1,2,3] es 3. *}

value "length [1,2,3]" -- "= 3"

text {* En la sesión 47 de "Isabelle/HOL — Higher-Order Logic"

 http://goo.gl/sFsFF se encuentran más definiciones y propiedades de
 las listas. *}

section {* Registros *}

text {* Un registro es una colección de campos y valores.

 Por ejemplo, los puntos del plano se pueden representar mediante
 registros con dos campos, las coordenadas, con valores enteros. *}

record punto =

 coordenada_x :: int
 coordenada_y :: int

text {* Ejemplo, el punto pt tiene de coordenadas 3 y 7. *}

definition pt :: punto where

 "pt ≡ (|coordenada_x = 3, coordenada_y = 7|)"

text {* Ejemplo, la coordenada x del punto pt es 3. *}

value "coordenada_x pt" -- "= 3"

text {* Ejemplo, sea pt2 el punto obtenido a partir del punto pt

 cambiando el valor de su coordenada x por 4. Entonces la coordenada x
 del punto pt2 es 4. *}

value "let pt2 = pt(|coordenada_x:=4|) in coordenada_x (pt2)" -- "= 4"

section {* Funciones anónimas *}

text {* En Isabelle pueden definirse funciones anónimas.

 Por ejemplo, el valor de la función que a un número le asigna su doble
 aplicada a 1 es 2. *}

value "(λx. x + x) 1::nat" -- "= 2"

section {* Condicionales *}

text {* El valor absoluto del entero x es x, si "x ≥ 0" y es -x en caso

 contrario. *}

definition absoluto :: "int ⇒ int" where

 "absoluto x ≡ (if x ≥ 0 then x else -x)"

text {* Ejemplo, el valor absoluto de -3 es 3. *}

value "absoluto(-3)" -- "= 3"

text {* Def.: Un número natural n es un sucesor si es de la forma

 (Suc m). *}

definition es_sucesor :: "nat ⇒ bool" where

 "es_sucesor n ≡ (case n of 
   0     ⇒ False 
 | Suc m ⇒ True)"

text {* Ejemplo, el número 3 es sucesor. *}

value "es_sucesor 3" -- "= True"

section {* Tipos de datos y definiciones recursivas *}

text {* Una lista de elementos de tipo a es la lista Vacia o se obtiene

 añadiendo, con Cons, un elemento de tipo a a una lista de elementos de
 tipo a. *}

datatype 'a Lista = Vacia | Cons 'a "'a Lista"

text {* (conc xs ys) es la concatenación de las lista xs e ys. Por

 ejemplo, 
    conc (Cons a (Cons b Vacia)) (Cons c Vacia)
    = Cons a (Cons b (Cons c Vacia))

}

fun conc :: "'a Lista ⇒ 'a Lista ⇒ 'a Lista" where

 "conc Vacia ys       = ys"

| "conc (Cons x xs) ys = Cons x (conc xs ys)"

value "conc (Cons a (Cons b Vacia)) (Cons c Vacia)" -- "= Cons a (Cons b (Cons c Vacia))"

text {* (suma n) es la suma de los primeros n números naturales. Por

 ejemplo,
    suma 3 = 6

}

fun suma :: "nat ⇒ nat" where

 "suma 0       = 0"

| "suma (Suc m) = (Suc m) + suma m"

value "suma 3" -- "= 6"

text {* (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números

 impares. Por ejemplo,
    sumaImpares 3 = 9

}

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where

 "sumaImpares 0       = 0"

| "sumaImpares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + sumaImpares n"

value "sumaImpares 3" -- "= 9" text {* Prop.: La suma de los n primeros numeros impares es n\<^sup>2

 Dem.: Por inducción en n. *}

lemma "sumaImpares n = n * n" by (induct n) auto

end

De Demostración asistida por ordenador (2012-13)