Jalonso en 18:17 15 jul 2018

2018-07-15T18:17:56Z

Jalonso: Protegió «Rel 1» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

2011-03-01T21:54:57Z

Protegió «Rel 1» ([edit=sysop] (indefinido) [move=sysop] (indefinido))

Jalonso en 21:53 1 mar 2011

2011-03-01T21:53:18Z

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<source lang="isar">
header {* Razonamiento en Isabelle sobre programas *}

theory Relacion_1_sol
imports Main Efficient_Nat
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: "nat \<Rightarrow> nat"
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaImpares :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat \<Rightarrow> nat"
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) =
sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: "nat \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a list"
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 2 = [2,2,2]
------------------------------------------------------------------ *}

fun copia :: "nat \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a list" where
"copia 0 x = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"

value "copia 3 2" -- "= [2,2,2]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: "('a \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> 'a list \<Rightarrow> bool"
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (\<lambda>x. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (\<lambda>x. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota; La conjunción se representa por \<and>
------------------------------------------------------------------ *}

fun todos :: "('a \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> 'a list \<Rightarrow> bool" where
"todos p [] = True"
| "todos p (x#xs) = (p x \<and> todos p xs)"

value "todos (\<lambda>x. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (\<lambda>x. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "todos (\<lambda>y. y=x) (copia n x)"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: "nat \<Rightarrow> nat"
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

fun factR :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"factR 0 = 1"
| "factR (Suc n) = Suc n * factR n"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: Integer -> Integer
factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer
factI' 0 x = x -- factI'.1
factI' (n+1) x = factI' n (n+1)*x -- factI'.2
Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los
números naturales.
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
y, como corolario, que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
by (induct n arbitrary: x) auto

corollary "factI n = factR n"
by (simp add: fact)

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Definir, recursivamente y sin usar (@). la función
amplia :: "'a list \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a list"
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [2,5] 3 = [2,5,3]
------------------------------------------------------------------ *}

fun amplia :: "'a list \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a list" where
"amplia [] y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

value "amplia [2,5] 3" -- "= [2,5,3]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induct xs) auto

end
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Jalonso en 21:53 1 mar 2011

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