Relación 1

2011-03-30T19:51:49Z

Maricumpli: amplia

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header {* Razonamiento en Isabelle sobre programas *}

theory Relacion_1
imports Main Efficient_Nat
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: "nat ⇒ nat"
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaImpares ::" nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*(Suc n) - 1)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat"
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(Suc n)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(Suc n)"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list"
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 2 = [2,2,2]
------------------------------------------------------------------ *}

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = []"
| "copia (Suc n) x = x#(copia n x)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool"
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota; La conjunción se representa por ∧
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: "nat ⇒ nat"
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

fun factR :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"factR 0 = 1"
|"factR (Suc n)= (Suc n)* factR n"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: Integer -> Integer
factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer
factI' 0 x = x -- factI'.1
factI' (n+1) x = factI' n (n+1)*x -- factI'.2
Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los
números naturales.
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat \<Rightarrow> nat\<Rightarrow> nat" where
"factI' 0 x = x"
|"factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)* x"

fun factI :: "nat \<Rightarrow> nat" where
"factI n = factI' n 1"

lemma "factI = factR"
quickcheck
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
y, como corolario, que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Definir, recursivamente y sin usar (@). la función
amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list"
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [2,5] 3 = [2,5,3]
------------------------------------------------------------------ *}
fun amplia :: "'a list \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a list" where

"amplia [] y = [y]"
|"amplia (x#xs) y = x # (amplia xs y)"
text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

end
</source>

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