DAO (Demostración asistida por ordenador) - Contribuciones del usuario [es]

RA12 Relación 5

2018-07-15T12:01:41Z

WikiSysop:

<source lang="isabelle">
header {* R5: Argumentación en lógica de primer orden *}

theory R5
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
El objetivo de esta relación es formalizar y decidir la corrección
de los argumentos. En el caso de que sea correcto, demostrarlo usando
sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica de primer
orden (sin usar el método auto). En el caso de que sea incorrecto,
calcular un contraejemplo con QuickCheck.

Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· notnotI: P ⟹ ¬¬ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
· excluded_middle: ¬P ∨ P

· allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
· allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
· exI: P x ⟹ ∃x. P x
· exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

lemma no_ex: "¬(∃x. P(x)) ⟹ ∀x. ¬P(x)"
by auto

lemma no_para_todo: "¬(∀x. P(x)) ⟹ ∃x. ¬P(x)"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Sócrates es un hombre.
Los hombres son mortales.
Luego, Sócrates es mortal.
Usar s para Sócrates
H(x) para x es un hombre
M(x) para x es mortal
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Hay estudiantes inteligentes y hay estudiantes trabajadores. Por
tanto, hay estudiantes inteligentes y trabajadores.
Usar I(x) para x es inteligente
T(x) para x es trabajador
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Todos los participantes son vencedores. Hay como máximo un
vencedor. Hay como máximo un participante. Por lo tanto, hay
exactamente un participante.
Usar P(x) para x es un participante
V(x) para x es un vencedor
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Todo aquel que entre en el país y no sea un VIP será cacheado por
un aduanero. Hay un contrabandista que entra en el país y que solo
podrá ser cacheado por contrabandistas. Ningún contrabandista es un
VIP. Por tanto, algún aduanero es contrabandista.
Usar A(x) para x es aduanero
Ca(x,y) para x cachea a y
Co(x) para x es contrabandista
E(x) para x entra en el pais
V(x) para x es un VIP
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Juan teme a María. Pedro es temido por Juan. Luego, alguien teme a
María y a Pedro.
Usar j para Juan
m para María
p para Pedro
T(x,y) para x teme a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Los hermanos tienen el mismo padre. Juan es hermano de Luis. Carlos
es padre de Luis. Por tanto, Carlos es padre de Juan.
Usar H(x,y) para x es hermano de y
P(x,y) para x es padre de y
j para Juan
l para Luis
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
La existencia de algún canal de TV pública, supone un acicate para
cualquier canal de TV privada; el que un canal de TV tenga un
acicate, supone una gran satisfacción para cualquiera de sus
directivos; en Madrid hay varios canales públicos de TV; TV5 es un
canal de TV privada; por tanto, todos los directivos de TV5 están
satisfechos.
Usar Pu(x) para x es un canal de TV pública
Pr(x) para x es un canal de TV privada
A(x) para x posee un acicate
D(x,y) para x es un directivo del canal y
S(x) para x está satisfecho
t para TV5
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Quien intente entrar en un país y no tenga pasaporte, encontrará
algún aduanero que le impida el paso. A algunas personas
motorizadas que intentan entrar en un país le impiden el paso
únicamente personas motorizadas. Ninguna persona motorizada tiene
pasaporte. Por tanto, ciertos aduaneros están motorizados.
Usar E(x) para x entra en un país
P(x) para x tiene pasaporte
A(x) para x es aduanero
I(x,y) para x impide el paso a y
M(x) para x está motorizada
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Los aficionados al fútbol aplauden a cualquier futbolista
extranjero. Juanito no aplaude a futbolistas extranjeros. Por
tanto, si hay algún futbolista extranjero nacionalizado español,
Juanito no es aficionado al fútbol.
Usar Af(x) para x es aficicionado al fútbol
Ap(x,y) para x aplaude a y
E(x) para x es un futbolista extranjero
N(x) para x es un futbolista nacionalizado español
j para Juanito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Ningún aristócrata debe ser condenado a galeras a menos que sus
crímenes sean vergonzosos y lleve una vida licenciosa. En la ciudad
hay aristócratas que han cometido crímenes vergonzosos aunque su
forma de vida no sea licenciosa. Por tanto, hay algún aristócrata
que no está condenado a galeras.
Usar A(x) para x es aristócrata
G(x) para x está condenado a galeras
L(x) para x lleva una vida licenciosa
V(x) para x ha cometido crímenes vergonzoso
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Todo individuo que esté conforme con el contenido de cualquier
acuerdo internacional lo apoya o se inhibe en absoluto de asuntos
políticos. Cualquiera que se inhiba de los asuntos políticos, no
participará en el próximo referéndum. Todo español, está conforme
con el acuerdo internacional de Maastricht, al que sin embargo no
apoya. Por tanto, cualquier individuo o no es español, o en otro
caso, está conforme con el contenido del acuerdo internacional de
Maastricht y no participará en el próximo referéndum.
Usar C(x,y) para la persona x conforme con el contenido del acuerdo y
A(x,y) para la persona x apoya el acuerdo y
I(x) para la persona x se inibe de asuntos políticos
R(x) para la persona x participará en el próximo referéndum
E(x) para la persona x es española
m para el acuerdo de Maastricht
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Toda persona pobre tiene un padre rico. Por tanto, existe una
persona rica que tiene un abuelo rico.
Usar R(x) para x es rico
p(x) para el padre de x
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Todo deprimido que estima a un submarinista es listo. Cualquiera
que se estime a sí mismo es listo. Ningún deprimido se estima a sí
mismo. Por tanto, ningún deprimido estima a un submarinista.
Usar D(x) para x está deprimido
E(x,y) para x estima a y
L(x) para x es listo
S(x) para x es submarinista
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Todos los robots obedecen a los amigos del programador jefe.
Alvaro es amigo del programador jefe, pero Benito no le
obedece. Por tanto, Benito no es un robot.
Usar R(x) para x es un robot
Ob(x,y) para x obedece a y
A(x) para x es amigo del programador jefe
b para Benito
a para Alvaro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
En una pecera nadan una serie de peces. Se observa que:
* Hay algún pez x que para cualquier pez y, si el pez x no se come
al pez y entonces existe un pez z tal que z es un tiburón o bien
z protege al pez y.
* No hay ningún pez que se coma a todos los demás.
* Ningún pez protege a ningún otro.
Por tanto, existe algún tiburón en la pecera.
Usar C(x,y) para x se come a y
P(x,y) para x protege a y
T(x) para x es un tiburón
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Supongamos conocidos los siguientes hechos acerca del número de
aprobados de dos asignaturas A y B:
* Si todos los alumnos aprueban la asignatura A, entonces todos
aprueban la asignatura B.
* Si algún delegado de la clase aprueba A y B, entonces todos los
alumnos aprueban A.
* Si nadie aprueba B, entonces ningún delegado aprueba A.
* Si Manuel no aprueba B, entonces nadie aprueba B.
Por tanto, si Manuel es un delegado y aprueba la asignatura A,
entonces todos los alumnos aprueban las asignaturas A y B.
Usar A(x,y) para x aprueba la asignatura y
D(x) para x es delegado
m para Manuel
a para la asignatura A
b para la asignatura B
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
En cierto país oriental se ha celebrado la fase final del
campeonato mundial de fútbol. Cierto diario deportivo ha publicado
las siguientes estadísticas de tan magno acontecimiento:
* A todos los porteros que no vistieron camiseta negra les marcó un
gol algún delantero europeo.
* Algún portero jugó con botas blancas y sólo le marcaron goles
jugadores con botas blancas.
* Ningún portero se marcó un gol a sí mismo.
* Ningún jugador con botas blancas vistió camiseta negra.
Por tanto, algún delantero europeo jugó con botas blancas.
Usar P(x) para x es portero
D(x) para x es delantero europeo
N(x) para x viste camiseta negra
B(x) para x juega con botas blancas
M(x,y) para x marcó un gol a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Las relaciones de parentesco verifican la siguientes propiedades
generales:
* Si x es hermano de y, entonces y es hermano de x.
* Todo el mundo es hijo de alguien.
* Nadie es hijo del hermano de su padre.
* Cualquier padre de una persona es también padre de todos los
hermanos de esa persona.
* Nadie es hijo ni hermano de sí mismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Peláez: Don Antonio,
Don Luis, Antoñito y Manolito y sabemos que Don Antonio y Don Luis
son hermanos, Antoñito y Manolito son hermanos, y Antoñito es hijo
de Don Antonio. Por tanto, Don Luis no es el padre de Manolito.
Usar A para Don Antonio
He(x,y) para x es hermano de y
Hi(x,y) para x es hijo de y
L para Don Luis
a para Antoñito
m para Manolito
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. [Problema del apisonador de Schubert (en inglés,
"Schubert’s steamroller")] Formalizar, y decidir la corrección, del
siguiente argumento
Si uno de los miembros del club afeita a algún otro (incluido a
sí mismo), entonces todos los miembros del club lo han afeitado
a él (aunque no necesariamente al mismo tiempo). Guido, Lorenzo,
Petruccio y Cesare pertenecen al club de barberos. Guido ha
afeitado a Cesare. Por tanto, Petruccio ha afeitado a Lorenzo.
Usar g para Guido
l para Lorenzo
p para Petruccio
c para Cesare
B(x) para x es un miembro del club de barberos
A(x,y) para x ha afeitado a y
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Carlos afeita a todos los habitantes de Las Chinas que no se
afeitan a sí mismo y sólo a ellos. Carlos es un habitante de las
Chinas. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie.
Usar A(x,y) para x afeita a y
C(x) para x es un habitante de Las Chinas
c para Carlos
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Quien desprecia a todos los fanáticos desprecia también a todos los
políticos. Alguien no desprecia a un determinado político. Por
consiguiente, hay un fanático al que no todo el mundo desprecia.
Usar D(x,y) para x desprecia a y
F(x) para x es fanático
P(x) para x es político
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
El hombre puro ama todo lo que es puro. Por tanto, el hombre puro
se ama a sí mismo.
Usar A(x,y) para x ama a y
H(x) para x es un hombre
P(x) para x es puro
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
Ningún socio del club está en deuda con el tesorero del club. Si
un socio del club no paga su cuota está en deuda con el tesorero
del club. Por tanto, si el tesorero del club es socio del club,
entonces paga su cuota.
Usar P(x) para x es socio del club
Q(x) para x paga su cuota
R(x) para x está en deuda con el tesorero
a para el tesorero del club
------------------------------------------------------------------ *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Formalizar, y decidir la corrección, del siguiente
argumento
1. Los lobos, zorros, pájaros, orugas y caracoles son animales y
existen algunos ejemplares de estos animales.
2. También hay algunas semillas y las semillas son plantas.
3. A todo animal le gusta o bien comer todo tipo de plantas o bien
le gusta comerse a todos los animales más pequeños que él mismo
que gustan de comer algunas plantas.
4. Las orugas y los caracoles son mucho más pequeños que los
pájaros, que son mucho más pequeños que los zorros que a su vez
son mucho más pequeños que los lobos.
5. A los lobos no les gusta comer ni zorros ni semillas, mientras
que a los pájaros les gusta comer orugas pero no caracoles.
6. Las orugas y los caracoles gustan de comer algunas plantas.
7. Luego, existe un animal al que le gusta comerse un animal al que
le gusta comer semillas.
Usar A(x) para x es un animal
Ca(x) para x es un caracol
Co(x,y) para x le gusta comerse a y
L(x) para x es un lobo
M(x,y) para x es más pequeño que y
Or(x) para x es una oruga
Pa(x) para x es un pájaro
Pl(x) para x es una planta
S(x) para x es una semilla
Z(x) para x es un zorro
------------------------------------------------------------------ *}

end
</source>

RA12 Relación 4

2018-07-15T12:00:38Z

WikiSysop:

<source lang="Isabelle">
header {* R4: Deducción natural en lógica de primer orden con Isabelle/HOL *}

theory R4
imports Main
begin

text {*
Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
cuantificadores y de la igualdad:
· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P
· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q
· notnotD: ¬¬ P ⟹ P
· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q
· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
· disjI1: P ⟹ P ∨ Q
· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R
· FalseE: False ⟹ P
· notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
· notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
· iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
· iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P
· iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
· ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P

· allI: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
· allE: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
· exI: P x ⟹ ∃x. P x
· exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

· refl: t = t
· subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
· trans: ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
· sym: s = t ⟹ t = s
· not_sym: t ≠ s ⟹ s ≠ t
· ssubst: ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
· box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
· arg_cong: x = y ⟹ f x = f y
· fun_cong: f = g ⟹ f x = g x
· cong: ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
*}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_1:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar
∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_2:
assumes "∃x. ¬(P x)"
shows "¬(∀x. P x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar
∀x. P x ⊢ ∀y. P y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_3:
assumes "∀x. P x"
shows "∀y. P y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_4:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
shows "(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar
∀x. P x ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_5:
assumes "∀x. P x ⟶ ¬(Q x)"
shows "¬(∃x. P x ∧ Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar
∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_6:
assumes "∀x y. P x y"
shows "∀u v. P u v"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar
∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_7:
assumes "∃x y. P x y"
shows "∃u v. P u v"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar
∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_8:
assumes "∃x. ∀y. P x y"
shows "∀y. ∃x. P x y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar
∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_9:
assumes "∃x. P a ⟶ Q x"
shows "P a ⟶ (∃x. Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar
P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_10:
fixes P Q :: "'b ⇒ bool"
assumes "P a ⟶ (∃x. Q x)"
shows "∃x. P a ⟶ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar
(∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_11:
assumes "(∃x. P x) ⟶ Q a"
shows "∀x. P x ⟶ Q a"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar
∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_12:
assumes "∀x. P x ⟶ Q a"
shows "∃x. P x ⟶ Q a"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar
(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_13:
assumes "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P x ∨ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar
∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_14:
assumes "∃x. P x ∧ Q x"
shows "(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Demostrar
∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_15:
assumes "∀x y. P y ⟶ Q x"
shows "(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar
¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_16:
assumes "¬(∀x. ¬(P x))"
shows "∃x. P x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 17. Demostrar
∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_17:
assumes "∀x. ¬(P x)"
shows "¬(∃x. P x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 18. Demostrar
∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_18:
assumes "∃x. P x"
shows "¬(∀x. ¬(P x))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 19. Demostrar
P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_19:
assumes "P a ⟶ (∀x. Q x)"
shows "∀x. P a ⟶ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 20. Demostrar
{∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z,
∀x. ¬(R x x)}
⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_20:
assumes "∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z"
"∀x. ¬(R x x)"
shows "∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 21. Demostrar
{∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_21:
assumes "∀x. P x ∨ Q x"
"∃x. ¬(Q x)"
"∀x. R x ⟶ ¬(P x)"
shows "∃x. ¬(R x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 22. Demostrar
{∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_22:
assumes "∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x"
"¬(∃x. P x ∧ R x)"
shows "∀x. P x ⟶ Q x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 23. Demostrar
∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_23:
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
shows "∃x y. R x y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 24. Demostrar
(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_24:
"(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 25. Demostrar
(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_25:
"(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 26. Demostrar
((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_26:
"((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 27. Demostrar o refutar
((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_27:
"((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 28. Demostrar o refutar
((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_28:
"((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 29. Demostrar o refutar
(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_29:
"(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 30. Demostrar o refutar
(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_30:
"(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)"
oops

section {* Ejercicios sobre igualdad *}

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 31. Demostrar o refutar
P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_31b:
assumes "P a"
shows "∀x. x = a ⟶ P x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 32. Demostrar o refutar
∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_32:
fixes R :: "'c ⇒ 'c ⇒ bool"
assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
"¬(∃x. R x x)"
shows "∃(x::'c) y. x ≠ y"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 33. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)}
⊢ P (f a) a (f a)
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_33:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "P (f a) a (f a)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 34. Demostrar o refutar
{∀x. P a x x,
∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_34b:
assumes "∀x. P a x x"
"∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
shows "∃z. P (f a) z (f (f a))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 35. Demostrar o refutar
{∀y. Q a y,
∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)}
⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_35:
assumes "∀y. Q a y"
"∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)"
shows "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 36. Demostrar o refutar
{x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_36b:
"⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 37. Demostrar o refutar
{x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x
------------------------------------------------------------------ *}

lemma ejercicio_37b:
"⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x"
oops

end
</source>