-- I1M 2021-22: Relación 20
-- Algoritmo de Triangulación de Gauss con la librería Data.Matrix
-- Departamento de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
-- Universidad de Sevilla
-- ============================================================================
-- ============================================================================
-- Librerías auxiliares
-- ============================================================================
import qualified Data.Matrix as M
import Data.Ratio
-- ============================================================================
-- Operaciones elementales con filas y columnas
-- ============================================================================
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
-- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(intercambiaFilas f1 f2 m)' es la matriz obtenida intercambiando
-- las filas 'f1' y 'f2' de la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (intercambiaFilas 1 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 4 6 9 \
-- | 3 2 6 |
-- \ 5 1 0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
intercambiaFilas = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
-- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(intercambiaColumnas c1 c2 m)' es la matriz obtenida intercambiando
-- las columnas 'c1' y 'c2' de la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (intercambiaColumnas 1 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 0 1 5 \
-- | 6 2 3 |
-- \ 9 6 4 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
intercambiaColumnas = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
-- multiplicaFila :: Num a => Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(multiplicaFila f x m)' es la matriz obtenida multiplicando la fila
-- 'f' de la matriz 'm' por el número 'x'. Por ejemplo,
-- printMatrix (multiplicaFila 2 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 1 0 \
-- | 9 6 18 |
-- \ 4 6 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
multiplicaFila :: Num a => Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
multiplicaFila f x m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
-- multiplicaColumna :: Num a => Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(multiplicaColumna c x m)' es la matriz obtenida multiplicando la
-- columna 'c' de la matriz 'm' por el número 'x'. Por ejemplo,
-- printMatrix (multiplicaColumna 2 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 3 0 \
-- | 3 6 6 |
-- \ 4 18 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
multiplicaColumna :: Num a => Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
multiplicaColumna c x m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
-- sumaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(sumaFilas f1 f2 m)' es la matriz obtenida sumando la fila 'f2' a
-- la fila 'f1' en la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (sumaFilas 2 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 1 0 \
-- | 7 8 15 |
-- \ 4 6 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
sumaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
sumaFilas f1 f2 m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
-- sumaColumnas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(sumaColumnas c1 c2 m)' es la matriz obtenida sumando la columna
-- 'c2' a la columna 'c1' en la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (sumaColumnas 2 3 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 1 0 \
-- | 3 8 6 |
-- \ 4 15 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
sumaColumnas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
sumaColumnas c1 c2 m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
-- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(sumaFilaPor f1 f2 x m)' es la matriz obtenida sumando la fila 'f2'
-- multiplicada por 'x' a la fila 'f1' en la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (sumaFilaPor 2 3 10 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 1 0 \
-- | 43 62 96 |
-- \ 4 6 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
sumaFilaPor f1 f2 x m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
-- sumaColumnaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(sumaColumnaPor c1 c2 x m)' es la matriz obtenida sumando la
-- columna 'c2' multiplicada por 'x' a la columna 'c1' en la matriz 'm'. Por
-- ejemplo,
-- printMatrix (sumaColumnaPor 2 3 10 (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]))
-- / 5 1 0 \
-- | 3 62 6 |
-- \ 4 96 9 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
sumaColumnaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
sumaColumnaPor c1 c2 x m = undefined
-- ============================================================================
-- Método de Triangulación de Gauss
-- ============================================================================
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- El método de triangulación de Gauss consiste en realizar operaciones
-- elementales sobre una matriz hasta convertirla en una matriz triangular
-- superior. Esta transformación se puede utilizar para calcular el rango de
-- una matriz, el determinante de una matriz cuadrada, la inversa de una matriz
-- regular o resolver sistemas de ecuaciones lineales.
--
-- Dada una matriz A, el método comienza buscando un elemento no nulo en dicha
-- matriz y moviéndolo a la posicion (1,1). Este elemento se llama el pivote de
-- la primera columna y se busca en una fila y una columna mayores o iguales a
-- las de la posición (1,1). Para hacer esto se procede de la siguiente forma:
-- · Se localiza una columna mayor o igual que 1, en la que haya un elemento no
-- nulo en una fila mayor o igual que 1.
-- · Se intercambia dicha columna con la columna 1.
-- · Se localiza una fila mayor o igual que 1, en la que haya un elemento no
-- nulo en la columna 1.
-- · Se intercambia dicha fila con la fila 1.
-- Por ejemplo, dada la matriz
--
-- / 0 0 1 \
-- | 0 4 8 |
-- \ 0 8 9 /
--
-- intercambiamos las columnas 1 y 2 y obtenemos
--
-- / 0 0 8 \
-- | 4 0 1 |
-- \ 8 0 9 /
--
-- a continuación intercambiamos las filas 1 y 2 y obtenemos
--
-- / 4 0 1 \
-- | 0 0 8 |
-- \ 8 0 9 /
--
-- A continuación se procede a anular los elementos que están en la primera
-- columna por debajo de la diagonal principal mediante operaciones elementales
-- en las que a cada fila se le suma o resta un múltiplo de la primera. Por
-- ejemplo, dada la matriz
--
-- / 2 2 1 \
-- | 6 8 9 |
-- \ -4 4 3 /
--
-- tenemos que
-- · Restar a la segunda fila el triple de la primera
-- · Sumar a la tercera fila el doble de la primera
-- y obtenemos:
-- / 2 2 1 \
-- | 0 2 6 |
-- \ 0 8 5 /
--
-- A continuación se continua el proceso a partir del segundo elemento de la
-- diagonal principal, posición (2,2), y así hasta llegar al último elemento de
-- la diagonal principal. En el ejemplo, bastaría con restar a la tercera fila
-- el cuadruple de la segunda, obteniendo:
--
-- / 2 2 1 \
-- | 0 2 6 |
-- \ 0 0 -19 /
--
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
-- matrizNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Bool
-- tal que '(matrizNoNulaDesde m f c)' se verifica si la matriz 'm' tiene una
-- columna a partir de la columna 'c' con algún elemento no nulo a partir de la
-- fila 'f'; es decir, si la submatriz de 'm' obtenida eliminando las 'f-1'
-- primeras filas y las 'c-1' primeras columnas es no nula. Por ejemplo,
-- matrizNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]) 2 2 == False
-- matrizNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]) 2 2 == True
-- ----------------------------------------------------------------------------
matrizNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Bool
matrizNoNulaDesde m f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
-- columnaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Bool
-- tal que '(columnaNoNulaDesde m f c)' se verifica si la matriz 'm' tiene
-- algún elemento no nulo en la columna 'c' a partir de la fila 'f'. Por
-- ejemplo,
-- columnaNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2],[5,1],[0,4]]) 2 1 == True
-- columnaNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2],[5,0],[0,0]]) 2 2 == False
-- ----------------------------------------------------------------------------
columnaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Bool
columnaNoNulaDesde m f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
-- indiceColumnaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que '(indiceColumnaNoNulaDesde m f c)' es el índice de la primera
-- columna, a partir de la columna 'c', en la que la matriz 'm' tiene un
-- elemento no nulo a partir de la fila 'f'. Por ejemplo,
-- indiceColumnaNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]) 2 2 ==
-- Just 2
-- indiceColumnaNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]) 2 2 ==
-- Just 3
-- indiceColumnaNoNulaDesde (M.fromLists [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]) 2 2 ==
-- Nothing
-- ----------------------------------------------------------------------------
indiceColumnaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
indiceColumnaNoNulaDesde m f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- indiceFilaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que '(indiceFilaNoNulaDesde m f c)' es el menor índice 'k', mayor o
-- igual que 'f', tal que el elemento de la matriz 'm' en la posición '(k,c)'
-- es no nulo. Por ejemplo,
-- indiceFilaNoNulaDesde (M.fromLists [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]) 2 3 ==
-- Just 2
-- indiceFilaNoNulaDesde (M.fromLists [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]) 2 3 ==
-- Nothing
-- ----------------------------------------------------------------------------
indiceFilaNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
indiceFilaNoNulaDesde m f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
-- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> Int -> Int -> M.Matrix a
-- tal que '(anulaColumnaDesde m f c)' es la matriz obtenida anulando todos los
-- elementos de la columna 'c' de la matriz 'm' por debajo de la posición
-- '(f,c)' (se supone que el elemento en la posición '(f,c)' no es nulo). Por
-- ejemplo,
-- printMatrix (anulaColumnaDesde (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]]) 1 2)
-- / 2.0 2.0 1.0 \
-- | -2.0 0.0 6.0 |
-- \ 2.0 0.0 5.0 /
-- printMatrix (anulaColumnaDesde (M.fromLists [[4,5],[2,7%2],[6,10]]) 1 1)
-- / 4 % 1 5 % 1 \
-- | 0 % 1 1 % 1 |
-- \ 0 % 1 5 % 2 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>
M.Matrix a -> Int -> Int -> M.Matrix a
anulaColumnaDesde m f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
-- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> M.Matrix a
-- tal que '(gaussAux m n)' es la matriz obtenida a partir de la matriz 'm'
-- aplicando el método de triangulación de Gauss a partir de la 'n'-ésima
-- posición de la diagonal principal. El proceso es el siguiente:
-- 1. Si 'n' es el último elemento de la diagonal principal, entonces se
-- devuelve 'm'.
-- 2. Si la submatriz de 'm' sin las 'n-1' primeras filas y las 'n-1'
-- primeras columnas es nula, entonces se devuelve 'm'.
-- 3. En caso contrario, se devuelve '(gaussAux m3 (n+1))' siendo
-- 3.1. 'c1' la primera columna a partir de la 'n' donde 'm' tiene
-- algún elemento no nulo a partir de la fila 'n',
-- 3.2. 'm1' la matriz obtenida intercambiando las columnas 'n' y 'c1'
-- de 'm',
-- 3.3. 'f1' la primera fila a partir de la 'n' donde la columna 'n' de
-- 'm1' tiene un elemento no nulo,
-- 3.4. 'm2' la matriz obtenida intercambiando las filas 'n' e 'f1' de
-- la matriz 'm1' y
-- 3.5. 'm3' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
-- columna 'n' de 'm2' por debajo de la fila 'n'.
-- Por ejemplo,
-- printMatrix (gaussAux (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]) 2)
-- / 1.0 2.0 3.0 \
-- | 1.0 2.0 4.0 |
-- \ 2.0 0.0 1.0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
fromJust :: Maybe Int -> Int
fromJust (Just x) = x
fromJust Nothing = error "Nothing"
gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> Int -> M.Matrix a
gaussAux m n = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
-- gauss :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(gauss m)' es la triangulación de la matriz 'm' por el método de
-- Gauss. Por ejemplo,
-- printMatrix (gauss (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]))
-- / 1.0 3.0 2.0 \
-- | 0.0 1.0 0.0 |
-- \ 0.0 0.0 0.0 /
-- printMatrix (gauss (M.fromLists [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]))
-- / 3 % 1 2 % 1 3 % 1 \
-- | 0 % 1 4 % 3 3 % 1 |
-- \ 0 % 1 0 % 1 1 % 1 /
-- printMatrix (gauss (M.fromLists [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]))
-- / 1.0 3.0 0.0 \
-- | 0.0 1.0 0.0 |
-- \ 0.0 0.0 0.0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
gauss :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> M.Matrix a
gauss m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
-- rango :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> Int
-- tal que '(rango m)' es el rango de la matriz 'm' calculado haciendo uso del
-- método de triangulación de Gauss. Por ejemplo
-- rango (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) == 2
-- rango (M.fromLists [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) == 3
-- rango (M.fromLists [[1.0,2,4],[2,4,8],[4,8,16]]) == 1
-- ----------------------------------------------------------------------------
rango :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> Int
rango m = undefined
-- ============================================================================
-- Cálculo del determinante por el método de triangulación de Gauss
-- ============================================================================
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- El cálculo del determinante de una matriz por el método de triangulación de
-- Gauss consiste en realizar operaciones elementales sobre la matriz hasta
-- convertirla en triangular superior. Como el determinante del producto de
-- matrices es igual al producto de los determinantes, entonces el determinante
-- de la matriz triangular será igual al producto de los determinantes de las
-- matrices que representan a las operaciones elementales utilizadas y el
-- determinante de la matriz original:
--
-- Dada una matriz cuadrada A, si la secuencia de operaciones elementales que
-- se usan para transformar A en una matriz triangular T son F1,...,Fk por
-- filas y C1,...,Ch por columnas:
-- Fk · ... · F2 · F1 · A · C1 · C2 · ... · Ch = T
-- entonces el determinante de T se relaciona con el de A de la siguiente
-- forma:
-- |Fk| · ... · |F2| · |F1| · |A| · |C1| · |C2| · ... · |Ch| = |T|
--
-- Las operaciones que consisten en sumar o restar a una fila (columna) un
-- múltiplo de otra se pueden expresar como el resultado de multiplicar por una
-- matriz con determinante 1.
--
-- El resultado de sumar a la segunda fila el doble de la primera se puede
-- obtener multiplicando por la izquierda por la matriz:
--
-- / 1 0 0 \
-- | 2 1 0 | con determinante 1
-- \ 0 0 1 /
--
-- El resultado de restar a la tercera columna la mitad de la primera se puede
-- obtener multiplicando por la derecha por la matriz:
--
-- / 1 0 -1/2 \
-- | 0 1 0 | con determinante 1
-- \ 0 0 1 /
--
-- Las operaciones que consisten en intercambiar dos filas o dos columnas se
-- pueden expresar como el resultado de multiplicar por una matriz con
-- determinante -1.
--
-- El resultado de intercambiar las filas segunda y tercera se puede obtener
-- multiplicando por la izquierda por la matriz:
--
-- / 1 0 0 \
-- | 0 0 1 | con determinante -1
-- \ 0 1 0 /
--
-- El resultado de intercambiar las columnas primera y tercera se puede obtener
-- multiplicando por la derecha por la matriz:
--
-- / 0 0 1 \
-- | 0 1 0 | con determinante -1
-- \ 1 0 0 /
--
-- El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al
-- producto de los elementos de la diagonal principal.
--
-- De esta forma, para calcular el determinante de una matriz A, basta con
-- aplicar el proceso de triangulación de Gauss y 'anotar' el número de
-- intercambios de filas y de columnas. El determinante de A será igual al
-- producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular
-- resultante (|T|) por (-1) elevado al número de veces que se han hecho
-- intercambios de filas o de columnas.
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
-- matrizIntercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(matrizIntercambiaFilas f1 f2 m)' es la matriz que multiplicando
-- a la izquierda por la matriz 'm' produce el efecto de intercambiar las filas
-- 'f1' y 'f2' en 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (matrizIntercambiaFilas 1 2 (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 0 1 0 \
-- | 1 0 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- printMatrix (matrizIntercambiaFilas 1 3 (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 0 0 1 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 1 0 0 /
-- printMatrix (matrizIntercambiaFilas 2 3 (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 0 0 1 |
-- \ 0 1 0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
matrizIntercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
matrizIntercambiaFilas f1 f2 m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
-- matrizIntercambiaColumnas :: Num a =>
-- Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(matrizIntercambiaColumnas c1 c2 m)' es la matriz que multiplicando
-- a la derecha por la matriz 'm' produce el efecto de intercambiar las
-- columnas 'c1' y 'c2' en 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (matrizIntercambiaColumnas 1 2 (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 0 1 0 \
-- | 1 0 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- printMatrix (matrizIntercambiaColumnas 1 3 (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 0 0 1 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 1 0 0 /
-- printMatrix (matrizIntercambiaColumnas 2 3 (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 0 0 1 |
-- \ 0 1 0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
matrizIntercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> M.Matrix a -> M.Matrix a
matrizIntercambiaColumnas c1 c2 m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
-- matrizSumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(matrizSumaFilaPor f1 f2 x m)' es la matriz que multiplicando a la
-- izquierda por la matriz 'm' produce el efecto de sumar la fila 'f2'
-- multiplicada por 'x' a la fila 'f1' en la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (matrizSumaFilaPor 2 1 2 (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 2 1 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- printMatrix (matrizSumaFilaPor 3 1 5 (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 5 0 1 /
-- printMatrix (matrizSumaFilaPor 3 2 (-3) (M.fromLists [[5,1],[3,2],[4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 0 -3 1 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
matrizSumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
matrizSumaFilaPor f1 f2 x m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
-- matrizSumaColumnaPor :: Num a =>
-- Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(matrizSumaColumnaPor c1 c2 x m)' es la matriz que multiplicada a
-- la derecha por la matriz 'm' produce el efecto de sumar la columna 'c2'
-- multiplicada por 'x' a la columna 'c1' en la matriz 'm'. Por ejemplo,
-- printMatrix (matrizSumaColumnaPor 2 1 2 (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 1 2 0 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- printMatrix (matrizSumaColumnaPor 3 1 5 (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 1 0 5 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- printMatrix (matrizSumaColumnaPor 3 2 (-3) (M.fromLists [[5,1,3],[2,4,6]]))
-- / 1 0 0 \
-- | 0 1 -3 |
-- \ 0 0 1 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
matrizSumaColumnaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> M.Matrix a -> M.Matrix a
matrizSumaColumnaPor c1 c2 x m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir la función
-- determinanteGaussAux :: (Fractional a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> Int -> Int -> (Int,M.Matrix a)
-- tal que '(determinanteGaussAux m n i)' es el par '(k,mm)', donde 'mm' es la
-- matriz obtenida a partir de la matriz 'm' aplicando el método de
-- triangulación de Gauss a partir de la 'n'-ésima posición de la diagonal
-- principal; y el valor 'k' es igual a 'i' más el número de intercambios entre
-- filas y el número de intercambios entre columnas que se han producido
-- durante el cálculo. Por ejemplo,
-- fst (determinanteGaussAux (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 0)
-- 1
-- printMatrix (snd (determinanteGaussAux (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 0))
-- / 1.0 3.0 2.0 \
-- | 0.0 1.0 0.0 |
-- \ 0.0 0.0 0.0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
determinanteGaussAux :: (Fractional a, Eq a) =>
M.Matrix a -> Int -> Int -> (Int,M.Matrix a)
determinanteGaussAux m n i = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir la función
-- determinanteGauss :: (Fractional a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> (Int,M.Matrix a)
-- tal que '(determinanteGauss m)' es el par '(n,mm)', donde 'mm' es la
-- triangulación de la matriz 'm' por el método de Gauss y 'n' es el número
-- total de intercambios entre filas e intercambios entre columnas que se han
-- producido durante el cálculo. Por ejemplo,
-- fst (determinanteGauss (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]))
-- 1
-- printMatrix (snd (determinanteGauss (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]])))
-- / 1.0 3.0 2.0 \
-- | 0.0 1.0 0.0 |
-- \ 0.0 0.0 0.0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
determinanteGauss :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> (Int,M.Matrix a)
determinanteGauss m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
-- determinante :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> a
-- tal que '(determinante m)' es el determinante de la matriz 'm', calculado
-- usando el método de triangulación de Gauss. Por ejemplo,
-- determinante (M.fromLists [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]])
-- 2.0
-- ----------------------------------------------------------------------------
determinante :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> a
determinante m = undefined
-- ============================================================================
-- Cálculo de la inversa por el método de Gauss-Jordan
-- ============================================================================
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- El cálculo de la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan
-- consiste en realizar operaciones elementales por filas sobre la matriz hasta
-- convertirla en la identidad. Si estas mismas operaciones elementales por
-- filas se aplican en el mismo orden sobre la matriz identidad, el resultado
-- será la inversa de la matriz original:
--
-- Dada una matriz cuadrada A, si la secuencia de operaciones elementales por
-- filas F1,...,Fk transforma la matriz A en la identidad:
-- Fk · F(k-1) · F(k-2) · ... · F2 · F1 · A = Id
-- entonces dicha secuencia de operaciones elementales evaluadas sobre la
-- matriz identidad debe proporcionar la inversa de la matriz A:
-- Fk · F(k-1) · F(k-2) · ... · F2 · F1 · Id = A⁻¹
--
-- Para transformar una matriz cuadrada A en la matriz identidad se aplica un
-- proceso similar al método de triangulación de Gauss en el que no sólo se
-- eliminan los elementos que hay por debajo de la diagonal principal, también
-- se eliminan los elementos por encima de la diagonal principal y se reducen a
-- la unidad los elementos de dicha diagonal. Todo esto mediante operaciones
-- elementales por filas, es decir, no se debe realizar ninguna operación por
-- columnas (en el método de triangulación de Gauss se realizan intercambios
-- de columnas para posicionar elementos no nulos en la diagonal principal). Si
-- en algún momento del proceso no se pueden realizar más operaciones
-- elementales por filas para transformar la matriz A en la matriz identidad
-- (en esta situación el método de triangulación de Gauss realizaría un
-- intercambio de columnas), eso quiere decir que la submatriz que hay desde
-- ese punto de la diagonal tiene una columna nula y por tanto su determinante
-- sería nulo; en esta situación la matriz original no tendría inversa.
--
-- Veamos un ejemplo del método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una
-- matriz:
-- / 2 2 1 \ / 1 0 0 \
-- Dada la matriz A = | 2 4 8 | y la auxiliar B = | 0 1 0 |
-- \ 10 8 9 / \ 0 0 1 /
--
-- Como el elemento de la posición (1,1) no es nulo, se utiliza para eliminar
-- los elementos de dicha columna de la siguiente forma:
-- · Se resta a la segunda fila la primera
-- · Se resta a la tercera fila la primera multiplicada por 5
-- · Se divide la primera fila por 2
-- El resultado de estas operaciones en A y en B es el siguiente:
--
-- / 1 1 1/2 \ / 1 0 0 \
-- A⁽¹⁾ = | 0 2 7 | B⁽¹⁾ = | -1 1 0 |
-- \ 0 -2 4 / \ -5 0 1 /
--
-- Como el elemento de la posición (2,2) no es nulo, se utiliza para eliminar
-- los elementos de dicha columna de la siguiente forma:
-- · Se resta a la primera fila la mitad de la segunda
-- · Se suma a la tercera fila la primera
-- · Se divide la segunda fila por 2
-- El resultado de estas operaciones en A y en B es el siguiente:
--
-- / 1 0 -3 \ / 1 -1/2 0 \
-- A⁽²⁾ = | 0 1 7/2 | B⁽²⁾ = | -1/2 1/2 0 |
-- \ 0 0 11 / \ -6 1 1 /
--
-- Finalmente como el elemento de la posición (3,3) no es nulo, se utiliza para
-- eliminar los elementos de dicha columna de la siguiente forma:
-- · Se suma a la primera fila la tercera multiplicada por 3/11
-- · Se resta a la segunda fila la tercera multiplicada por 7/22
-- · Se divide la tercera fila por 11
-- El resultado de estas operaciones en A y en B es el siguiente:
--
-- / 1 0 0 \ / -7/11 -5/22 3/11 \
-- A⁽³⁾ = | 0 1 0 | B⁽³⁾ = | 31/22 2/11 -7/22 |
-- \ 0 0 1 / \ -6/11 1/11 1/11 /
--
-- Finalmente la matriz B se transforma en la inversa de la matriz A; se puede
-- comprobar que A · B⁽³⁾ = B⁽³⁾ · A = Id
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función
-- identidad :: (Num a) => Int -> M.Matrix a
-- tal que '(identidad n)' es la matriz identidad de 'n' filas y 'n' columnas.
-- Por ejemplo,
-- printMatrix (identidad 2)
-- / 1 0 \
-- \ 0 1 /
-- printMatrix (identidad 3)
-- / 1 0 0 \
-- | 0 1 0 |
-- \ 0 0 1 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
identidad :: (Num a) => Int -> M.Matrix a
identidad = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
-- esIdentidad :: (Num a) => M.Matrix a -> Bool
-- tal que '(esIdentidad m)' se verifica si 'm' es una matriz identidad. Por
-- ejemplo,
-- esIdentidad (M.fromLists [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]) == False
-- esIdentidad (M.fromLists [[1,0,0],[0,3,0],[0,0,5]]) == False
-- esIdentidad (M.fromLists [[2,0,0],[0,2,0],[0,0,2]]) == False
-- esIdentidad (identidad 3) == True
-- ----------------------------------------------------------------------------
esIdentidad :: (Num a, Eq a) => M.Matrix a -> Bool
esIdentidad m = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir la función
-- anulaColumnaTotal :: (Fractional a, Eq a) =>
-- M.Matrix a -> Int -> Int -> M.Matrix a
-- tal que '(anulaColumnaTotal m f c)' es la matriz obtenida anulando todos los
-- elementos de la columna 'c' de la matriz 'm' fuera de la posición '(f,c)'
-- (se supone que el elemento en la posición '(f,c)' no es nulo), y reduciendo
-- a la unidad el elemento de la posición '(f,c)', todo mediante operaciones
-- elementales por filas. Por ejemplo,
-- printMatrix (anulaColumnaTotal (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]]) 1 2)
-- / 1.0 1.0 0.5 \
-- | -2.0 0.0 6.0 |
-- \ 2.0 0.0 5.0 /
-- printMatrix (anulaColumnaTotal (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]]) 2 2)
-- / 1.0 0.0 -3.0 \
-- | 0.5 1.0 2.0 |
-- \ 6.0 0.0 -7.0 /
-- printMatrix (anulaColumnaTotal (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]]) 3 2)
-- / -0.5 0.0 -1.25 \
-- | -3.0 0.0 3.5 |
-- \ 1.25 1.0 1.125 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
anulaColumnaTotal :: (Fractional a, Eq a) =>
M.Matrix a -> Int -> Int -> M.Matrix a
anulaColumnaTotal m f c = multiplicaFila f (1/(m1 M.! (f,c))) m1
where m1 = anulaColumnaTotalAux m f c 1
anulaColumnaTotalAux :: (Fractional a, Eq a) =>
M.Matrix a -> Int -> Int -> Int -> M.Matrix a
anulaColumnaTotalAux m f c i | i > M.nrows m = m
| i == f = anulaColumnaTotalAux m f c (i + 1)
| otherwise = anulaColumnaTotalAux (sumaFilaPor i f v m) f c (i + 1)
where v = (-(m M.! (i,c))/(m M.! (f,c)))
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir la función
-- anulaColumnaTotalGJ :: (Fractional a, Eq a) =>
-- ParMatrix a -> Int -> Int -> ParMatrix a
-- tal que '(anulaColumnaTotalGJ (m,w) f c)' es el par de matrices formado por
-- la matriz obtenida anulando todos los elementos de la columna 'c' de la
-- matriz 'm' fuera de la posición '(f,c)' (se supone que el elemento en la
-- posición '(f,c)' no es nulo), y reduciendo a la unidad el elemento de la
-- posición '(f,c)', todo mediante operaciones elementales por filas; y la
-- matriz obtenida realizando las mismas operaciones elementales sobre la
-- matriz 'w'. Por ejemplo,
-- printMatrix (fst (anulaColumnaTotalGJ (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]], identidad 3) 2 2))
-- / 1.0 0.0 -3.0 \
-- | 0.5 1.0 2.0 |
-- \ 6.0 0.0 -7.0 /
-- printMatrix (snd (anulaColumnaTotalGJ (M.fromLists [[2.0,2,1],[2,4,8],[10,8,9]], identidad 3) 2 2))
-- / 1.0 -0.5 0.0 \
-- | 0.0 0.25 0.0 |
-- \ 0.0 -2.0 1.0 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
type ParMatrix a = (M.Matrix a, M.Matrix a)
anulaColumnaTotalGJ :: (Fractional a, Eq a) =>
ParMatrix a -> Int -> Int -> ParMatrix a
anulaColumnaTotalGJ (m,w) f c = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
-- inversaGaussJordan :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> M.Matrix a
-- tal que '(inversaGaussJordan m)' es la inversa de la matriz 'm' calculada
-- mediante el método de Gauss-Jordan. En caso de que la matriz 'm' no sea
-- cuadrada o no sea invertible, se deben indicar mensajes de error. Por
-- ejemplo,
-- inversaGaussJordan (M.fromLists [[2%1,2%1,1%1],
-- [2%1,4%1,8%1]]) =>
-- *** Exception: La matriz no es cuadrada
-- inversaGaussJordan (M.fromLists [[2%1,2%1,1%1],
-- [2%1,4%1,8%1],
-- [0%1,2%1,7%1]]) =>
-- *** Exception: La matriz no es invertible
-- printMatrix (inversaGaussJordan (M.fromLists [[2%1,2%1,1%1],[2%1,4%1,8%1],[10%1,8%1,9%1]]))
-- / (-7) % 11 (-5) % 22 3 % 11 \
-- | 31 % 22 2 % 11 (-7) % 22 |
-- \ (-6) % 11 1 % 11 1 % 11 /
-- ----------------------------------------------------------------------------
inversaGaussJordan :: (Fractional a, Eq a) => M.Matrix a -> M.Matrix a
inversaGaussJordan m = undefined
-- ============================================================================
-- Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación
-- ============================================================================
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- El método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de
-- ecuaciones lineales consiste en realizar operaciones elementales por filas a
-- la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales hasta
-- convertirla en la identidad. Si estas mismas operaciones elementales por
-- filas se aplican en el mismo orden sobre la matriz columna formada por los
-- términos independentes del sistema de ecuaciones lineales, el resultado será
-- la solución del sistema.
--
-- Este método proporciona una solución a un sistema de ecuaciones lineales
-- siempre que éste sea compatible determinado, es decir, que tenga solución
-- única.
--
-- Dado un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo:
--
-- x + 3y - 2z = 5
-- 3x + 5y + 6z = 7
-- 2x + 4y + 3z = 8
--
-- Identificamos dos matrices en el sistema, la matriz de los coeficientes y la
-- matriz ampliada. En el ejemplo anterior:
--
-- / 1 3 -2 \
-- Matriz de los coeficientes = | 3 5 6 |
-- \ 2 4 3 /
--
-- / 1 3 -2 5 \
-- Matriz ampliada = | 3 5 6 7 |
-- \ 2 4 3 8 /
--
-- Para analizar la existencia de solución de un sistema de ecuaciones
-- lineales, se estudia el rango de la matriz de los coeficientes y el rango
-- de la matriz ampliada. De acuerdo con el número de soluciones, se distinguen
-- tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales:
-- · Sistemas incompatibles - No tienen solución. En estos sistemas el rango de
-- la matriz de los coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada.
-- · Sistemas compatibles determinados - Tienen una única solución. En estos
-- sistemas el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la
-- matriz ampliada e igual al número de ecuaciones.
-- · Sistemas compatibles indeterminados - Tienen infinitas soluciones. En
-- estos sistemas el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango
-- de la matriz ampliada pero menor que el número de ecuaciones.
--
-- En el ejemplo anterior tanto el rango de la matriz de los coeficientes como
-- el rango de la matriz ampliada es 3, igual al número de ecuaciones. Por
-- tanto dicho sistema es compatible determinado.
--
-- Para calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible
-- determinado por el método de eliminación de Gauss-Jordan, se realizan
-- operaciones elementales por filas para reducir la matriz de los coeficientes
-- a la identidad. Al aplicar estas mismas operaciones sobre la matriz
-- ampliada, obtenemos en la última columna la solución del sistema.
--
-- En el ejemplo anterior la matriz ampliada es:
--
-- / 1 3 -2 5 \
-- Matriz ampliada = | 3 5 6 7 |
-- \ 2 4 3 8 /
--
-- Como el elemento de la posición (1,1) no es nulo, se puede utilizar para
-- eliminar los elementos de la primera columna de la siguiente forma:
-- · Se resta a la segunda fila el triple de la primera
-- · Se resta a la tercera fila el doble de la primera
-- El resultado de estas operaciones es el siguiente:
--
-- / 1 3 -2 5 \
-- Matriz ampliada = | 0 -4 12 -8 |
-- \ 0 -2 7 -2 /
--
-- A continuación, como el elemento de la posición (2,2) no es nulo, se utiliza
-- para eliminar los elementos de la segunda columna de la siguiente forma:
-- · Se divide la segunda fila por -4
-- · Se resta a la primera fila el tripe de la segunda
-- · Se suma a la tercera fila el doble de la segunda
-- El resultado de estas operaciones es el siguiente:
--
-- / 1 0 7 -1 \
-- Matriz ampliada = | 0 1 -3 2 |
-- \ 0 0 1 2 /
--
-- Finalmente, como el elemento de la posición (3,3) no es nulo, se utiliza
-- para eliminar los elementos de la tercera columna de la siguiente forma:
-- · Se resta a la primera fila siete veces la tercera
-- · Se suma a la segunda fila el triple de la tercera
-- El resultado de estas operaciones es el siguiente:
--
-- / 1 0 0 -15 \
-- Matriz ampliada = | 0 1 0 8 |
-- \ 0 0 1 2 /
--
-- La solución del sistema de ecuaciones lineales es (x,y,z) = (-15,8,2).
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Utilizaremos el tipo SistemaLineal para representar los sistemas de
-- ecuaciones lineales como una lista con listas formadas por los coeficientes
-- y el término independiente de cada una de las ecuaciones (las filas de la
-- matriz ampliada).
type SistemaLineal = [[Float]]
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Utilizaremos el tipo Clasificacion para distinguir los tres tipos de
-- sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo con el número de soluciones:
-- · SI: Sistemas incompatibles
-- · SCD: Sistemas compatibles determinados
-- · SCI: Sistemas compatibles indeterminados
data Clasificacion = SI
| SCD
| SCI
deriving (Eq, Show)
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 29. Definir la función
-- clasificacionSistemaLineal :: SistemaLineal -> Clasificacion
-- tal que '(clasificacionSistemaLineal sl)' es SI si el sistema lineal 'sl' es
-- incompatible (sin solución), SCD si el sistema lineal 'sl' es compatible
-- determinado (una única solución) y SCI si el sistema lineal es compatible
-- indeterminado (infinitas soluciones). Por ejemplo,
-- clasificacionSistemaLineal [[1,2,1],[2,4,7]] == SI
-- clasificacionSistemaLineal [[1,2,1],[1,4,2]] == SCD
-- clasificacionSistemaLineal [[1,2,1],[2,4,2]] == SCI
-- ----------------------------------------------------------------------------
clasificacionSistemaLineal :: SistemaLineal -> Clasificacion
clasificacionSistemaLineal sl = undefined
-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
-- solucionSistemaLineal :: SistemaLineal -> [Float]
-- tal que '(solucionSistemaLineal sl)' es la solución del sistema lineal 'sl'
-- calculada por el método de eliminación de Gauss-Jordan, en caso de que dicho
-- sistema sea compatible determinado. En otro caso se devuelve un mensaje de
-- error indicando la razón. Por ejemplo
-- solucionSistemaLineal [[1,2,1],[2,4,7]] =>
-- *** Exception: El sistema no es compatible determinado
-- solucionSistemaLineal [[1,2,1],[1,4,2]] == [0.0,0.5]
-- solucionSistemaLineal [[1,2,1],[2,4,2]] =>
-- *** Exception: El sistema no es compatible determinado
-- solucionSistemaLineal [[1,3,-2,5],[3,5,6,7],[2,4,3,8]] ==
-- [-15.0,8.0,2.0]
-- ----------------------------------------------------------------------------
solucionSistemaLineal :: SistemaLineal -> [Float]
solucionSistemaLineal sl = undefined
-- ============================================================================
data Mat = Mat [[String]] Int
instance Show Mat where
show (Mat x m) = "/ " ++ (showRow (x !! 0) m) ++ "\\\n" ++
(showIntermediateRows x 1 m) ++
"\\ " ++ (showRow (x !! (length x - 1)) m) ++ "/"
showRow :: [String] -> Int -> String
showRow [] m = []
showRow (x:xs) m = (replicate (m - (length x)) ' ') ++ x ++ " " ++ (showRow xs m)
showIntermediateRows :: [[String]] -> Int -> Int -> String
showIntermediateRows xxs i m | i >= length xxs - 1 = []
| otherwise = "| " ++ showRow (xxs !! i) m ++ "|\n" ++
showIntermediateRows xxs (i+1) m
printMatrix :: Show a => M.Matrix a -> Mat
printMatrix m = Mat (M.toLists nm) mx
where nm = (M.mapPos (\ (i,j) e -> show e) m)
mx = maximum (map (length) (M.toList nm))
![Informática de 1º de Matemáticas [Curso 2021-22, Grupo 3]](/WIKIS/I1M2021G3/resources/assets/logoUS.png)