-- I1M 2021-22: Rel_3.hs (18 de Octubre de 2021)
-- Definiciones por comprensión
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
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-- Introducción --
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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por
-- comprensión correspondientes al tema 5 que se encuentra
-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/temas/tema-5.html
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-- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
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--elepalgal
sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
sumaDeCuadrados n = sum[ x^2 | x <- [1..n]]
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-- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función
-- replica :: Int -> a -> [a]
-- tal que (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo,
-- replica 4 7 == [7,7,7,7]
-- replica 3 True == [True, True, True]
-- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate.
-- ----------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
replica :: Int -> a -> [a]
replica n x = [x | _ <- [1..n] ]
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-- Ejercicio 3.1. Definir la función
-- suma :: Integer -> Integer
-- tal (suma n) es la suma de los n primeros números. Por ejemplo,
-- suma 3 == 6
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal, Maria Ampliato
suma :: Integer -> Integer
suma n = sum[ a | a <- [1..n]]
--Álvaro Galisteo:
suma1 :: Integer -> Integer
suma1 n = sum [1..n]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Los triángulos aritméticos se forman como sigue
-- 1
-- 2 3
-- 4 5 6
-- 7 8 9 10
-- 11 12 13 14 15
-- 16 17 18 19 20 21
--
-- Definir la función
-- linea :: Integer -> [Integer]
-- tal que (linea n) es la línea n-ésima de los triángulos
-- aritméticos. Por ejemplo,
-- linea 4 == [7,8,9,10]
-- linea 5 == [11,12,13,14,15]
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal
linea :: Integer -> [Integer]
linea 1 = [1]
linea n = [ a | a <- [(last xs + 1)..(suma n)]]
where xs = linea (n-1)
--Álvaro Galisteo, Maria Ampliato:
linea1 :: Integer -> [Integer]
linea1 n = [((suma (n-1))+1)..(suma n)]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.3. Definir la función
-- triangulo :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (triangulo n) es el triángulo aritmético de altura n. Por
-- ejemplo,
-- triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]]
-- triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal, Álvaro Galisteo:
triangulo :: Integer -> [[Integer]]
triangulo n = [ (linea x) | x <- [1..n]]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número.
--
-- Definir por comprensión la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo,
-- perfectos 500 == [6,28,496]
-- Indicación: Usar la función factores del tema 5.
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal
factores :: Integer -> [Integer]
factores n = [x | x <- [1..n], mod n x == 0]
perfectos :: Integer -> [Integer]
perfectos n = [ a | a <- [1..(n-1)], sum(init(factores a))==a ]
--Álvaro Galisteo, Maria Ampliato:
perfectos1 :: Int -> [Int]
perfectos1 n = [x | x <- [1..n], ((sum (factores x)) - x) == x]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina abundante si es menor
-- que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 y 30 son
-- abundantes pero 5 y 28 no lo son.
--
-- Definir la función
-- numeroAbundante :: Int -> Bool
-- tal que (numeroAbundante n) se verifica si n es un número
-- abundante. Por ejemplo,
-- numeroAbundante 5 == False
-- numeroAbundante 12 == True
-- numeroAbundante 28 == False
-- numeroAbundante 30 == True
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal
numeroAbundante :: Int -> Bool
numeroAbundante n = sum(init(factores n))>n
--Álvaro Galisteo, Maria Ampliato:
numeroAbundante1 :: Int -> Bool
numeroAbundante1 n = n < ((sum (factores n)) - n)
--Marina Garcia Ruz
numeroAbundante n | n < sum xs - n - 1 = True
| otherwise = False
where xs = factores n
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.2. Definir la función
-- numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int]
-- tal que (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números
-- abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo,
-- numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
-- numerosAbundantesMenores 48 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal, Álvaro Galisteo, Marina Garcia Ruz, Maria Ampliato:
numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int]
numerosAbundantesMenores n = [ x | x <- [1..n], numeroAbundante x]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.3. Definir la función
-- todosPares :: Int -> Bool
-- tal que (todosPares n) se verifica si todos los números abundantes
-- menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,
-- todosPares 10 == True
-- todosPares 100 == True
-- todosPares 1000 == False
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal
todosPares :: Int -> Bool
todosPares n = and[even x | x <- numerosAbundantesMenores n]
--Álvaro Galisteo:
todosPares1 :: Int -> Bool
todosPares1 n = [] == [x | x <- numerosAbundantesMenores n, odd x]
--Marina Garcia Ruz
todosPares2 n = length ([ x | x <- numerosAbundantesMenores n , even x ]) ==
length ( numerosAbundantesMenores n )
--Maria Ampliato
todosPares3 :: Int -> Bool
todosPares3 n = all even (numerosAbundantesMenores n)
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.4. Definir la constante
-- primerAbundanteImpar :: Int
-- que calcule el primer número natural abundante impar. Determinar el
-- valor de dicho número.
-- ---------------------------------------------------------------------
--elepalgal, Álvaro Galisteo, Marina Garcia Ruz, Maria Ampliato:
primerAbundanteImpar :: Int
primerAbundanteImpar = head[ x | x <- [1..], numeroAbundante x, odd x]
-- Su cálculo es
-- primerAbundanteImpar es el primer elemento de la lista formada por los
-- numeros abundantes impares: 945
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6 (Problema 1 del proyecto Euler) Definir la función
-- euler1 :: Int -> Int
-- tal que (euler1 n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores
-- que n. Por ejemplo,
-- euler1 10 == 23
--
-- Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que 1000.
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo, Marina Garcia Ruz :
euler1 :: Int -> Int
euler1 n = sum[x | x <- [1..(n-1)], mod x 3 == 0 || mod x 5 == 0]
-- Cálculo: Calculo la suma de los elemntos de la lista de los números menores al dado,
-- y que son congruentes con 0 modulo o congruente con 0 módulo 5
-- *Main> euler1 1000
-- 233168
--Maria Ampliato:
euler1 :: Int -> Int
euler1 n = sum [x | x <- [1..(n-1)], mod x 3 == 0] + sum [x | x <- [1..(n-1)], mod x 5 == 0]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
-- circulo :: Int -> Int
-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales
-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo,
-- circulo 3 == 9
-- circulo 4 == 15
-- circulo 5 == 22
-- circulo 100 == 7949
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Enrique Rodriguez Quintero, Marina Garcia Ruz, Álvaro Galisteo :
circulo :: Int -> Int
circulo n = length[(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2 + y^2 < n^2]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir la función
-- aproxE :: Double -> [Double]
-- tal que (aproXE n) es la lista cuyos elementos son los términos de la
-- sucesión (1+1/m)**m desde 1 hasta n. Por ejemplo,
-- aproxE 1 == [2.0]
-- aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
aproxE :: Double -> [Double]
aproxE n = [(1+1/m)**m | m <- [1..n]]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. żCuál es el límite de la sucesión (1+1/m)**m ?
-- ---------------------------------------------------------------------
--El límite de la sucesión es el número e
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.3. Definir la función
-- errorAproxE :: Double -> Double
-- tal que (errorE x) es el menor número de términos de la sucesión
-- (1+1/m)**m necesarios para obtener su límite con un error menor que
-- x. Por ejemplo,
-- errorAproxE 0.1 == 13.0
-- errorAproxE 0.01 == 135.0
-- errorAproxE 0.001 == 1359.0
-- Indicación: En Haskell, e se calcula como (exp 1).
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
errorAproxE :: Double -> Double
errorAproxE x = head [y | y <- [1..], (exp 1 - (1+1/y)**y) < x]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir la función
-- aproxLimSeno :: Double -> [Double]
-- tal que (aproxLimSeno n) es la lista cuyos elementos son los términos
-- de la sucesión
-- sen(1/m)
-- --------
-- 1/m
-- desde 1 hasta n. Por ejemplo,
-- aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
-- aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Juan Castillo, Álvaro Galisteo:
aproxLimSeno :: Double -> [Double]
aproxLimSeno n = [(sin (1/m))/(1/m) | m <- [1..n]]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. żCuál es el límite de la sucesión sen(1/m)/(1/m) ?
-- ---------------------------------------------------------------------
--El límite de la sucesión es 1.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Definir la función
-- errorLimSeno :: Double -> Double
-- tal que (errorLimSeno x) es el menor número de términos de la sucesión
-- sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor
-- que x. Por ejemplo,
-- errorLimSeno 0.1 == 2.0
-- errorLimSeno 0.01 == 5.0
-- errorLimSeno 0.001 == 13.0
-- errorLimSeno 0.0001 == 41.0
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
errorLimSeno :: Double -> Double
errorLimSeno x = head [m | m <- [1..], (1 - (sin(1/m))/(1/m)) < x]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.1. Definir la función
-- calculaPi :: Double -> Double
-- tal que (calculaPi n) es la aproximación del número pi calculada
-- mediante la expresión
-- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- Por ejemplo,
-- calculaPi 3 == 2.8952380952380956
-- calculaPi 300 == 3.1449149035588526
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Juan Castillo, Álvaro Galisteo:
calculaPi :: Double -> Double
calculaPi n = sum [4*(((-1)**m)/(2*m+1)) | m <- [0..n]]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.2. Definir la función
-- errorPi :: Double -> Double
-- tal que (errorPi x) es el menor número de términos de la serie
-- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,
-- errorPi 0.1 == 9.0
-- errorPi 0.01 == 99.0
-- errorPi 0.001 == 999.0
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo
errorPi :: Double -> Double
errorPi x = head [m | m <- [1..], abs (pi - calculaPi m ) < x]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.1. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica
-- si x^2 + y^2 = z^2.
--
-- Definir, por comprensión, la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- pitagoricas 10 == [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Marina Garcia Ruz , Juan Castillo, Álvaro Galisteo:
pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
pitagoricas n = [ (x,y,z) | x <- [1..n] , y <- [1..n] , z <- [1..n] ,
((x^2)+(y^2) == (z^2)) ]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.2. Definir la función
-- numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
-- tal que (numeroDePares t) es el número de elementos pares de la terna
-- t. Por ejemplo,
-- numeroDePares (3,5,7) == 0
-- numeroDePares (3,6,7) == 1
-- numeroDePares (3,6,4) == 2
-- numeroDePares (4,6,4) == 3
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Enrique Rodriguez Quintero
numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
numeroDePares (x,y,z) = length[ x | even x] + length[ y | even y] + length[ z | even z]
--Marina Garcia Ruz
numeroDePares (x,y,z) = sum ([ 1 | even x ] ++ [ 1 | even y ] ++ [ 1 | even z])
--Álvaro Galisteo:
numeroDePares1 :: (Int,Int,Int) -> Int
numeroDePares1 (x,y,z) = length [n | n <- [x,y,z], even n]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.3. Definir la función
-- conjetura :: Int -> Bool
-- tal que (conjetura n) se verifica si todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n tiene un número impar de números
-- pares. Por ejemplo,
-- conjetura 10 == True
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Juan Castillo
conjetura :: Int -> Bool
conjetura n = all odd (map (numeroDePares) (pitagoricas n))
--Álvaro Galisteo:
conjetura :: Int -> Bool
conjetura n = all odd [numeroDePares x | xs <- [pitagoricas n], x <- XS]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.4. Demostrar la conjetura para todas las ternas
-- pitagóricas.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12.1. (Problema 9 del Proyecto Euler). Una terna pitagórica
-- es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y
-- a^2+b^2=c^2. Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.
--
-- Definir la función
-- ternasPitagoricas :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas
-- cuya suma es x. Por ejemplo,
-- ternasPitagoricas 12 == [(3,4,5)]
-- ternasPitagoricas 60 == [(10,24,26),(15,20,25)]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Juan Castillo, Álvaro Galisteo:
ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x],b <- [1..x], c <-[1..x],
a^2 + b^2 == c^2, (a<b)&&(b<c), a+b+c == x]
--Patricia Camino
ternasPitagoricas1 :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasPitagoricas1 x = [ (a,b,c) | c<-[1..], b<-[1..c], a<-[1..b],a^2+b^2==c^2, a+b+c==x]
--Cristina Ruiz
ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x],b <- [1..x], c <- [1..x],
a^2+b^2==c^2 , a+b+c == x, a < b, b < c ]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12.2. Definir la constante
-- euler9 :: Integer
-- tal que euler9 es producto abc donde (a,b,c) es la única terna
-- pitagórica tal que a+b+c=1000.
--
-- Calcular el valor de euler9.
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
euler9 :: Integer
euler9 = head [a*b*c | a <- [1..], b <- [1..], c <- [1..], a+b+c == 1000 ]
-- El cálculo del valor de euler9 es 998
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. El producto escalar de dos listas de enteros xs y ys de
-- longitud n viene dado por la suma de los productos de los elementos
-- correspondientes.
--
-- Definir por comprensión la función
-- productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int
-- tal que (productoEscalar xs ys) es el producto escalar de las listas
-- xs e ys. Por ejemplo,
-- productoEscalar [1,2,3] [4,5,6] == 32
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int
productoEscalar xs ys = let f x y = x*y in
sum [(uncurry f) (x,y) | (x,y) <- zip xs ys]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------
sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = undefined
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Los polinomios pueden representarse de forma dispersa o
-- densa. Por ejemplo, el polinomio 6x^4-5x^2+4x-7 se puede representar
-- de forma dispersa por [6,0,-5,4,-7] y de forma densa por
-- [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)].
--
-- Definir la función
-- densa :: [Int] -> [(Int,Int)]
-- tal que (densa xs) es la representación densa del polinomio cuya
-- representación dispersa es xs. Por ejemplo,
-- densa [6,0,-5,4,-7] == [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)]
-- densa [6,0,0,3,0,4] == [(5,6),(2,3),(0,4)]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
densa :: [Int] -> [(Int,Int)]
densa xs = [(x,y) | (x,y) <- zip (reverse [0..(length xs - 1)]) xs, y /= 0]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.0. La bases de datos sobre actividades de personas pueden
-- representarse mediante listas de elementos de la forma (a,b,c,d),
-- donde a es el nombre de la persona, b su actividad, c su fecha de
-- nacimiento y d la de su fallecimiento. Un ejemplo es la siguiente que
-- usaremos a lo largo de este ejercicio,
-- ---------------------------------------------------------------------
personas :: [(String,String,Int,Int)]
personas = [("Cervantes","Literatura",1547,1616),
("Velazquez","Pintura",1599,1660),
("Picasso","Pintura",1881,1973),
("Beethoven","Musica",1770,1823),
("Poincare","Ciencia",1854,1912),
("Quevedo","Literatura",1580,1654),
("Goya","Pintura",1746,1828),
("Einstein","Ciencia",1879,1955),
("Mozart","Musica",1756,1791),
("Botticelli","Pintura",1445,1510),
("Borromini","Arquitectura",1599,1667),
("Bach","Musica",1685,1750)]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.1. Definir la función
-- nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (nombres bd) es la lista de los nombres de las personas de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,
-- ghci> nombres personas
-- ["Cervantes","Velazquez","Picasso","Beethoven","Poincare",
-- "Quevedo","Goya","Einstein","Mozart","Botticelli","Borromini","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
nombres bd = [x| (x,_,_,_) <- bd]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.2. Definir la función
-- musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (musicos bd) es la lista de los nombres de los músicos de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,
-- musicos personas == ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
musicos bd = [x | (x,y,_,_) <- bd, y == "Musica"]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.3. Definir la función
-- seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String]
-- tal que (seleccion bd m) es la lista de los nombres de las personas
-- de la base de datos bd cuya actividad es m. Por ejemplo,
-- ghci> seleccion personas "Pintura"
-- ["Velazquez","Picasso","Goya","Botticelli"]
-- ghci> seleccion personas "Musica"
-- ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String]
seleccion bd m = [x | (x,y,_,_) <- bd, y == m]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.4. Definir, usando el apartado anterior, la función
-- musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (musicos' bd) es la lista de los nombres de los músicos de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,
-- ghci> musicos' personas
-- ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
musicos' bd = seleccion bd "Musica"
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.5. Definir la función
-- vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String]
-- tal que (vivas bd a) es la lista de los nombres de las personas de la
-- base de datos bd que estaban vivas en el ańo a. Por ejemplo,
-- ghci> vivas personas 1600
-- ["Cervantes","Velazquez","Quevedo","Borromini"]
-- ---------------------------------------------------------------------
--Álvaro Galisteo:
vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String]
vivas ps a = [x | (x,_,y,z) <- ps, y <= a, a <= z]
![Informática de 1º de Matemáticas [Curso 2021-22, Grupo 3]](/WIKIS/I1M2021G3/resources/assets/logoUS.png)