Relación 3

-- I1M 2021-22: Rel_3.hs (20 de Octubre de 2021)
-- Definiciones por comprensión
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
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-- Introducción                                                       --
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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por
-- comprensión correspondientes al tema 5 que se encuentra
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m/temas/tema-5.html

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-- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función 
--    sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer 
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo,
--    sumaDeCuadrados 3    ==  14
--    sumaDeCuadrados 100  ==  338350
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-- José Manuel García, Lucía Hernández, Elsa Domínguez, Lucía González, Carmen Blanco
sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer 
sumaDeCuadrados n = sum [(x^2) | x <- [1..n]]

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-- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función 
--    replica :: Int -> a -> [a]
-- tal que (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo,  
--    replica 4 7     ==  [7,7,7,7]
--    replica 3 True  ==  [True, True, True]
-- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate.
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-- José Manuel García, Lucía Hernández, Elsa Domínguez, Lucía González, Carmen Blanco
replica :: Int -> a -> [a]
replica n x = [x | _ <- [1..n]]

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-- Ejercicio 3.1. Definir la función 
--    suma :: Integer -> Integer
-- tal (suma n) es la suma de los n primeros números. Por ejemplo,
--    suma 3  ==  6
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-- José Manuel García, Lucía Hernández, Elsa Domínguez, Lucía González, Carmen Blanco
suma :: Integer -> Integer
suma n = sum [x | x <- [1..n]]

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-- Ejercicio 3.2. Los triángulos aritméticos se forman como sigue
--     1
--     2  3
--     4  5  6
--     7  8  9 10
--    11 12 13 14 15
--    16 17 18 19 20 21
-- 
-- Definir la función
--    linea :: Integer -> [Integer]
-- tal que (linea n) es la línea n-ésima de los triángulos
-- aritméticos. Por ejemplo,  
--    linea 4  ==  [7,8,9,10]
--    linea 5  ==  [11,12,13,14,15]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- José Manuel García
linea :: Integer -> [Integer]
linea n = [(1 + sum [1..n-1])..(1 + sum [1..n-1])+(n-1)]
-- cada primer elemento de cada fila sigue la siguiente sucesión:
-- F1 : 1  = 1
-- F2 : 1 + 1 = 2
-- F3 : 1 + 1 + 2 = 4
-- F4 : 1 + 1 + 2 + 3 = 7
-- F5 : 1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11
-- ...
-- Además, la Fila n tiene n elementos (Ej. la fila 3 es [4,5,6], tiene 3 elementos)

-- Lucía Hernández
linea :: Integer -> [Integer]
linea n = [x | x<-[suma(n-1) +1..suma n]]

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-- Ejercicio 3.3. Definir la función 
--    triangulo :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (triangulo n) es el triángulo aritmético de altura n. Por
-- ejemplo, 
--    triangulo 3  ==  [[1],[2,3],[4,5,6]]
--    triangulo 4  ==  [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- José Manuel García, Lucía Hernández
triangulo :: Integer -> [[Integer]]
triangulo n = [linea x | x <- [1..n]]

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-- Ejercicio 4. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. 
-- 
-- Definir por comprensión la función 
--    perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo,  
--    perfectos 500  ==  [6,28,496]
-- Indicación: Usar la función factores del tema 5.
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--Lucía Hernández
factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n-1], mod n x == 0]
perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x<- [1..n], x == sum (factores x)]

-- Elsa Domínguez
factores1 :: Int -> [Int]
factores1 n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]               
perfectos1 :: Int -> [Int]
perfectos1 n = [x | x <- [1..n], sum (factores x) == 2*x]


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-- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina abundante si es menor
-- que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 y 30 son
-- abundantes pero 5 y 28 no lo son.
-- 
-- Definir la función 
--    numeroAbundante :: Int -> Bool
-- tal que (numeroAbundante n) se verifica si n es un número
-- abundante. Por ejemplo,  
--    numeroAbundante 5  == False
--    numeroAbundante 12 == True
--    numeroAbundante 28 == False
--    numeroAbundante 30 == True
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano
numeroAbundante :: Int -> Bool
numeroAbundante n = n < (sum (factores n) - n)
-- Lucía Hernández
numeroAbundante :: Int -> Bool
numeroAbundante n =  n < sum(factores n)
-- Elsa Domínguez
numeroAbundante2 :: Int -> Bool
numeroAbundante2 n = sum (factores n) > 2*n

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-- Ejercicio 5.2. Definir la función  
--    numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int]
-- tal que (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números
-- abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo,
--    numerosAbundantesMenores 50  ==  [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
--    numerosAbundantesMenores 48  ==  [12,18,20,24,30,36,40,42,48]
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano, Lucía Hernández, Elsa Domínguez
numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int]
numerosAbundantesMenores n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.3. Definir la función 
--    todosPares :: Int -> Bool
-- tal que (todosPares n) se verifica si todos los números abundantes
-- menores o iguales que n son pares. Por ejemplo,
--    todosPares 10    ==  True
--    todosPares 100   ==  True
--    todosPares 1000  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano
todosPares :: Int -> Bool
todosPares n = and [x `rem` 2 == 0 | x <- numerosAbundantesMenores n]
--Lucía Hernández 
todosPares :: Int -> Bool
todosPares n = [ x| x<-numerosAbundantesMenores n, even x ] == numerosAbundantesMenores n
-- Elsa Domínguez
todosPares :: Int -> Bool
todosPares n = length (filter odd (numerosAbundantesMenores n)) == 0

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-- Ejercicio 5.4. Definir la constante 
--    primerAbundanteImpar :: Int
-- que calcule el primer número natural abundante impar. Determinar el
-- valor de dicho número.
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--Álvaro Cano, Lucía Hernández, Elsa Domínguez
primerAbundanteImpar :: Int
primerAbundanteImpar = head [x | x <- [1,3..], numeroAbundante x]
-- Su cálculo es
--    ghci> primerAbundanteImpar
--    945

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-- Ejercicio 6 (Problema 1 del proyecto Euler) Definir la función 
--    euler1 :: Int -> Int
-- tal que (euler1 n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores
-- que n. Por ejemplo,
--    euler1 10  ==  23
-- 
-- Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que 1000.
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano
euler1 :: Int -> Int
euler1 n = sum [3*x | x <- [1..n] , 3*x < n] + sum [5*x | x <- [1..n], 5*x < n]
-- Cálculo:
--    ghci> euler1 1000
--    266333
-- Lucía Hernández
euler1 :: Int -> Int
euler1 n = sum [x |x<-[1..n-1], mod x 5 == 0 || mod x 3 == 0]
-- Cálculo:λ> euler1 1000
-- 233168
-- Elsa Domínguez
euler1' :: Int -> Int
euler1' n = sum [x | x <- [1..n-1], multiplo x 3 || multiplo x 5]
          where multiplo x y = rem x y == 0               
-- Cálculo:
-- λ> euler1' 1000
-- 233168

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-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    circulo :: Int -> Int
-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales
-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo, 
--    circulo 3  ==  9
--    circulo 4  ==  15
--    circulo 5  ==  22
--    circulo 100  ==  7949
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano, Elsa Domínguez
circulo :: Int -> Int
circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2 + y^2 < n^2]

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-- Ejercicio 8.1. Definir la función 
--    aproxE :: Double -> [Double]
-- tal que (aproXE n) es la lista cuyos elementos son los términos de la
-- sucesión (1+1/m)**m desde 1 hasta n. Por ejemplo, 
--    aproxE 1 == [2.0]
--    aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano, Lucía Hernández, Elsa Domínguez
aproxE :: Double -> [Double]
aproxE n = [(1+1/m)**m | m <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. żCuál es el límite de la sucesión (1+1/m)**m ?
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
-- El límite es el número e.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.3. Definir la función 
--    errorAproxE :: Double -> Double
-- tal que (errorE x) es el menor número de términos de la sucesión
-- (1+1/m)**m necesarios para obtener su límite con un error menor que
-- x. Por ejemplo, 
--    errorAproxE 0.1    ==  13.0
--    errorAproxE 0.01   ==  135.0
--    errorAproxE 0.001  ==  1359.0
-- Indicación: En Haskell, e se calcula como (exp 1).
-- ---------------------------------------------------------------------

--Álvaro Cano
errorAproxE :: Double -> Double
errorAproxE x = head [m | m <- [1..], (exp 1 - (1+1/m)**m) < x]
-- Elsa Domínguez
errorAproxE' :: Double -> Double
errorAproxE' x = head [m | m <- [1..], abs (exp 1 - (1+1/m)**m) < x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir la función
--    aproxLimSeno :: Double -> [Double]
-- tal que (aproxLimSeno n) es la lista cuyos elementos son los términos
-- de la sucesión  
--    sen(1/m) 
--    --------
--      1/m 
-- desde 1 hasta n. Por ejemplo,
--    aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
--    aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
aproxLimSeno :: Double -> [Double]
aproxLimSeno n = [sin (1/m) / (1/m) | m <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. żCuál es el límite de la sucesión sen(1/m)/(1/m) ?
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Elsa Domínguez
-- El límite es 1. 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Definir la función 
--    errorLimSeno :: Double -> Double
-- tal que (errorLimSeno x) es el menor número de términos de la sucesión 
-- sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor
-- que x. Por ejemplo, 
--    errorLimSeno 0.1     ==   2.0
--    errorLimSeno 0.01    ==   5.0
--    errorLimSeno 0.001   ==  13.0
--    errorLimSeno 0.0001  ==  41.0
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
errorLimSeno :: Double -> Double
errorLimSeno x = head [m | m <- [1..], abs (1 - sin (1/m) / (1/m)) < x] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.1. Definir la función 
--    calculaPi :: Double -> Double
-- tal que (calculaPi n) es la aproximación del número pi calculada
-- mediante la expresión 
--    4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- Por ejemplo,
--    calculaPi 3    ==  2.8952380952380956
--    calculaPi 300  ==  3.1449149035588526
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
calculaPi :: Double -> Double
calculaPi n = 4*(sum [(-1)**x / (2*x + 1) | x <- [0..n]])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.2. Definir la función 
--    errorPi :: Double -> Double
-- tal que (errorPi x) es el menor número de términos de la serie
--    4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,
--    errorPi 0.1    ==    9.0
--    errorPi 0.01   ==   99.0
--    errorPi 0.001  ==  999.0
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
errorPi :: Double -> Double
errorPi x = head [n | n <- [1..], abs (pi - calculaPi n) < x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.1. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica
-- si x^2 + y^2 = z^2. 
-- 
-- Definir, por comprensión, la función 
--    pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo, 
--    pitagoricas 10  ==  [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Lucía Hernández, Elsa Domínguez
pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <-[1..n], y <-[1..n], z <-[1..n], x^2+y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.2. Definir la función 
--    numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
-- tal que (numeroDePares t) es el número de elementos pares de la terna
-- t. Por ejemplo,
--    numeroDePares (3,5,7)  ==  0
--    numeroDePares (3,6,7)  ==  1
--    numeroDePares (3,6,4)  ==  2
--    numeroDePares (4,6,4)  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Lucía Hernández
numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
numeroDePares (x,y,z) = length [i | i<-[x,y,z], even i]

-- Elsa Domínguez
numeroDePares1 :: (Int,Int,Int) -> Int
numeroDePares1 (x,y,z) = sum [1 | a <- [x,y,z], even a]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.3. Definir la función
--    conjetura :: Int -> Bool
-- tal que (conjetura n) se verifica si todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n tiene un número impar de números
-- pares. Por ejemplo,
--    conjetura 10  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
conjetura :: Int -> Bool
conjetura n = and [odd (numeroDePares (x,y,z)) | (x,y,z) <- pitagoricas n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.4. Demostrar la conjetura para todas las ternas
-- pitagóricas. 
-- ---------------------------------------------------------------------


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-- Ejercicio 12.1. (Problema 9 del Proyecto Euler). Una terna pitagórica
-- es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y
-- a^2+b^2=c^2. Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica. 
-- 
-- Definir la función 
--    ternasPitagoricas :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas
-- cuya suma es x. Por ejemplo,
--    ternasPitagoricas 12  ==  [(3,4,5)]
--    ternasPitagoricas 60  ==  [(10,24,26),(15,20,25)]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x], b <- [a+1..x], c <- [b+1..x], a^2 + b^2 == c^2, a+b+c == x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12.2. Definir la constante 
--    euler9 :: Integer
-- tal que euler9 es producto abc donde (a,b,c) es la única terna
-- pitagórica tal que a+b+c=1000.  
--
-- Calcular el valor de euler9.
-- ---------------------------------------------------------------------

euler9 :: Integer
euler9 = undefined

-- El cálculo del valor de euler9 es

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. El producto escalar de dos listas de enteros xs y ys de
-- longitud n viene dado por la suma de los productos de los elementos
-- correspondientes. 
-- 
-- Definir por comprensión la función 
--    productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int
-- tal que (productoEscalar xs ys) es el producto escalar de las listas
-- xs e ys. Por ejemplo,
--    productoEscalar [1,2,3] [4,5,6]  ==  32
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int
productoEscalar xs ys = sum [a*b | (a,b) <- zip xs ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir, por comprensión, la función
--    sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
--    sumaConsecutivos [3,1,5,2]  ==  [4,6,7]
--    sumaConsecutivos [3]        ==  []
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [a+b | (a,b) <- zip xs (tail xs)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Los polinomios pueden representarse de forma dispersa o
-- densa. Por ejemplo, el polinomio 6x^4-5x^2+4x-7 se puede representar
-- de forma dispersa por [6,0,-5,4,-7] y de forma densa por
-- [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)].  
-- 
-- Definir la función 
--    densa :: [Int] -> [(Int,Int)]
-- tal que (densa xs) es la representación densa del polinomio cuya
-- representación dispersa es xs. Por ejemplo, 
--   densa [6,0,-5,4,-7]  ==  [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)]
--   densa [6,0,0,3,0,4]  ==  [(5,6),(2,3),(0,4)]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
densa :: [Int] -> [(Int,Int)]
densa xs = [(a,b) | (a,b) <- zip (reverse [0..(length xs-1)]) xs, b /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.0. La bases de datos sobre actividades de personas pueden
-- representarse mediante listas de elementos de la forma (a,b,c,d),
-- donde a es el nombre de la persona, b su actividad, c su fecha de
-- nacimiento y d la de su fallecimiento. Un ejemplo es la siguiente que
-- usaremos a lo largo de este ejercicio,
-- ---------------------------------------------------------------------

personas :: [(String,String,Int,Int)]
personas = [("Cervantes","Literatura",1547,1616),
            ("Velazquez","Pintura",1599,1660),
            ("Picasso","Pintura",1881,1973),
            ("Beethoven","Musica",1770,1823),
            ("Poincare","Ciencia",1854,1912),
            ("Quevedo","Literatura",1580,1654),
            ("Goya","Pintura",1746,1828),
            ("Einstein","Ciencia",1879,1955),
            ("Mozart","Musica",1756,1791),
            ("Botticelli","Pintura",1445,1510),
            ("Borromini","Arquitectura",1599,1667),
            ("Bach","Musica",1685,1750)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.1. Definir la función
--    nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (nombres bd) es la lista de los nombres de las personas de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,  
--    ghci> nombres personas
--     ["Cervantes","Velazquez","Picasso","Beethoven","Poincare",
--      "Quevedo","Goya","Einstein","Mozart","Botticelli","Borromini","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
nombres bd = [(a) | (a,_,_,_) <- bd]
  
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.2. Definir la función
--    musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (musicos bd) es la lista de los nombres de los músicos de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,  
--    musicos personas  ==  ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
musicos bd = [(a) | (a,b,_,_) <- bd, b == "Musica"]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.3. Definir la función 
--    seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String]
-- tal que (seleccion bd m) es la lista de los nombres de las personas
-- de la base de datos bd cuya actividad es m. Por ejemplo,  
--    ghci> seleccion personas "Pintura"
--    ["Velazquez","Picasso","Goya","Botticelli"]
--    ghci> seleccion personas "Musica"
--    ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String]
seleccion bd m = [(a) | (a,b,_,_) <- bd, b == m]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.4. Definir, usando el apartado anterior, la función
--    musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
-- tal que (musicos' bd) es la lista de los nombres de los músicos de la
-- base de datos bd. Por ejemplo,   
--    ghci> musicos' personas
--    ["Beethoven","Mozart","Bach"]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String]
musicos' bd = seleccion bd "Musica"

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16.5. Definir la función 
--    vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String]
-- tal que (vivas bd a) es la lista de los nombres de las personas de la
-- base de datos bd  que estaban vivas en el ańo a. Por ejemplo,  
--    ghci> vivas personas 1600
--    ["Cervantes","Velazquez","Quevedo","Borromini"]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Elsa Domínguez
vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String]
vivas ps a = [(p) | (p,_,c,d) <- ps, c <= a && a <= d]