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<source lang='haskell'>

-- I1M 2021-22: Relación 12 Solución
-- Tipos de datos algebraicos: Árboles binarios.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación se presenta ejercicios sobre árboles binarios
-- definidos como tipos de datos algebraicos.
--
-- Los ejercicios corresponden al tema 9 que se encuentra en
-- http://www.cs.us.es/cursos/i1m/temas/tema-9.html

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Librerías auxiliares --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck
import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles
-- binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = H
-- | N a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Por ejemplo, el árbol
-- 9
-- / \
-- / \
-- 3 7
-- / \
-- 2 4
-- se representa por
-- N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = H a
| N a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.1. Definir la función
-- nHojas :: Arbol a -> Int
-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,
-- nHojas (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 3
-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int
nHojas (H _) = 1
nHojas (N _ i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- nNodos (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos (H _) = 0
nNodos (N _ i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el
-- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool
prop_nHojas x =
nHojas x == nNodos x + 1

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_nHojas
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2
-- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (N 1 (H 4) (H 5))) (H 7)) == 3
-- profundidad (N 4 (N 5 (H 4) (H 2)) (N 3 (H 7) (H 4))) == 2
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad (H _) = 0
profundidad (N _ i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad x =
nNodos x <= 2 ^ profundidad x - 1

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir la función
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
-- preorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden (H x) = [x]
preorden (N x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol más el número de hojas.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden x =
length (preorden x) == nNodos x + nHojas x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_length_preorden
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.3. Definir la función
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol
-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz
-- del árbol. Por ejemplo,
-- postorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden (H x) = [x]
postorden (N x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.4. Definir, usando un acumulador, la función
-- preordenIt :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
-- preordenIt (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7]
--
-- Nota: No usar (++) en la definición
-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]
preordenIt x' = preordenItAux x' []
where preordenItAux (H x) xs = x:xs
preordenItAux (N x i d) xs =
x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.5. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es equivalente
-- a preorden.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool
prop_preordenIt x =
preordenIt x == preorden x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_preordenIt
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- espejo (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (H 7) (N 3 (H 4) (H 2))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo (H x) = H x
espejo (N x i d) = N x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo x =
espejo (espejo x) == x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x =
postorden (espejo x) == reverse (preorden x)

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_recorrido
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.1. La función take está definida por
-- take :: Int -> [a] -> [a]
-- take 0 = []
-- take (n+1) [] = []
-- take (n+1) (x:xs) = x : take n xs
--
-- Definir la función
-- takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a
-- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por
-- ejemplo,
-- takeArbol 0 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == H 9
-- takeArbol 1 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (H 3) (H 7)
-- takeArbol 2 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)
-- takeArbol 3 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)
-- ---------------------------------------------------------------------

takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a
takeArbol _ (H x) = H x
takeArbol 0 (N x _ _) = H x
takeArbol n (N x i d) =
N x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.2. Comprobar con QuickCheck que la profundidad de
-- (takeArbol n x) es menor o igual que n, para todo número natural n y
-- todo árbol x.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_takeArbol :: Int -> Arbol Int -> Property
prop_takeArbol n x =
n >= 0 ==> profundidad (takeArbol n x) <= n

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_takeArbol
-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.1. La función
-- repeat :: a -> [a]
-- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por
-- infinitos elementos x. Por ejemplo,
-- repeat 3 == [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,...
-- La definición de repeat es
-- repeat x = xs where xs = x:xs
--
-- Definir la función
-- repeatArbol :: a -> Arbol a
-- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por
-- ejemplo,
-- takeArbol 0 (repeatArbol 3) == H 3
-- takeArbol 1 (repeatArbol 3) == N 3 (H 3) (H 3)
-- takeArbol 2 (repeatArbol 3) == N 3 (N 3 (H 3) (H 3)) (N 3 (H 3) (H 3))
-- ---------------------------------------------------------------------

repeatArbol :: a -> Arbol a
repeatArbol x = N x t t
where t = repeatArbol x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.2. La función
-- replicate :: Int -> a -> [a]
-- está definida por
-- replicate n = take n . repeat
-- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos
-- son x. Por ejemplo,
-- replicate 3 5 == [5,5,5]
--
-- Definir la función
-- replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
-- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son
-- x. Por ejemplo,
-- replicateArbol 0 5 == H 5
-- replicateArbol 1 5 == N 5 (H 5) (H 5)
-- replicateArbol 2 5 == N 5 (N 5 (H 5) (H 5)) (N 5 (H 5) (H 5))
-- ---------------------------------------------------------------------

replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.3. Comprobar con QuickCheck que el número de hojas de
-- (replicateArbol n x) es 2^n, para todo número natural n
--
-- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamańo de las pruebas como
-- se indica a continuación
-- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_replicateArbol
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_replicateArbol :: Int -> Int -> Property
prop_replicateArbol n x =
n >= 0 ==> nHojas (replicateArbol n x) == 2^n

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_replicateArbol
-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.1. Definir la función
-- mapArbol :: (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a
-- tal que (mapArbol f x) es el árbol obtenido aplicándole a cada nodo de
-- x la función f. Por ejemplo,
-- ghci> mapArbol (*2) (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7))
-- N 18 (N 6 (H 4) (H 8)) (H 14)
-- ---------------------------------------------------------------------

mapArbol :: (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a
mapArbol f (H x) = H (f x)
mapArbol f (N x i d) = N (f x) (mapArbol f i) (mapArbol f d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.2. Comprobar con QuickCheck que
-- (mapArbol (1+)) . espejo = espejo . (mapArbol (1+))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_mapArbol_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_mapArbol_espejo x =
(mapArbol (1+) . espejo) x == (espejo . mapArbol (1+)) x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_mapArbol_espejo
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que
-- (map (1+)) . preorden = preorden . (mapArbol (1+))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_map_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_map_preorden x =
(map (1+) . preorden) x == (preorden . mapArbol (1+)) x

-- La comprobación es
-- ghci> quickCheck prop_map_preorden
-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = fmap H arbitrary
arbol n | n>0 = oneof [fmap H arbitrary,
liftM3 N arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)
arbol _ = error "Imposible"

</source>

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